2021-2022学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册-第四章 指数函数与对数函数 单元素养检测 (Word含答案解析)

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名称 2021-2022学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册-第四章 指数函数与对数函数 单元素养检测 (Word含答案解析)
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文件大小 349.0KB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2021-12-12 00:00:00

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文档简介

2021-2022学年新人教(2019)A版第四章单元素养检测
(120分钟 150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的)
1.函数f(x)=+lg (1+x)的定义域是(  )
A.(-∞,-1)     B.(1,+∞)
C.(-1,1)∪(1,+∞) D.(-∞,+∞)
2.下列计算正确的是(  )
A.log26-log23=log23  B.log26-log23=1
C.log39=3 D.log3(-4)2=2log3(-4)
3.已知函数f(x)=则f(f())=(  )
A.4   B.   C.-4   D.-
4.函数f(x)=的大致图象为(  )
5.下列大小关系正确的是(  )
A.0.43<30.4C.log40.3<0.43<30.4 D.log40.3<30.4<0.43
6.函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是(  )
A.(-2,-1)    B. (-1,0)
C.(0,1) D. (1,2)
7.定义运算a b=则函数f(x)=1 2x的图象是(  )
8.已知函数f(x)=(log2x)2+log4(4x)+1,则函数f(x)的最小值是(  )
A.2 B. C. D.1
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
9.已知y=x(x-1)(x+1)的图象如图所示.令f(x)=x(x-1)(x+1)+0.01,则下列关于f(x)=0的解叙述正确的是(  )
A.有三个实根
B.当0<x<1时恰有一实根
C.当-1<x<0时恰有一实根
D.当x<-1时恰有一实根(有且仅有一实根)
10.对于0A.loga(1+a)B.loga(1+a)>loga(1+)
C.a1+a<
D.a1+a>
11.若f(x)=lg (x2-2ax+1+a)在区间(-∞,1]上递减,则a的取值范围为(  )
A.[1,2) B.[1,2]
C.[1,+∞) D.[2,+∞)
12.已知函数f(x)=其中0A. B. C. D.
三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.(1)计算+lg 4+2lg 5=________;(2)若xlog32=1,则4x+2-x=________.
14.函数f(x)=2x3-3x2+1的零点为________.
15.设f(x)为定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=log2(x+2).则f(0)=________,当x<0时,f(x)=________.
16.某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系图象如图所示.假设其函数关系为指数函数,并给出下列说法:
①此指数函数的底数为2;
②在第5个月时,野生水葫芦的面积就会超过30 m2;
③野生水葫芦从4 m2蔓延到12 m2只需1.5个月;
④设野生水葫芦蔓延至2 m2,3 m2,6 m2所需的时间分别为t1,t2,t3,则有t1+t2=t3;
⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度.
其中,正确的是________.(填序号).
四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)计算:
(1).
(2)lg 25+lg 2-lg -log29×log32.
18.(12分)已知函数f(x)=a2x+2ax-1(a>1,且a为常数)在区间[-1,1]上的最大值为14.
(1)求f(x)的表达式.
(2)求满足f(x)=7时,x的值.
19.(12分)定义在R上的偶函数y=f(x)在(-∞,0]上递增,函数f(x)的一个零点为-,求满足f(logx)≥0的x的取值范围.
20.(12分)已知函数f(x-3)=loga(a>0,a≠1).
(1)判断f(x)的奇偶性,并说明理由.
(2)当021.(12分)一片森林原来的面积为a,计算每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到森林面积的一半时,所用时间是10年.为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的.
(1)求每年砍伐面积的百分比.
(2)到今年为止,该森林已被砍伐了多少年?
(3)今后最多还能砍伐多少年?
22.(12分)设函数f(x)=log3(9x)·log3(3x),且≤x≤9.
(1)求f(3)的值.
(2)令t=log3x,将f(x)表示成以t为自变量的函数,并由此求函数f(x)的最大值与最小值及与之对应的x的值.
2021-2022学年新人教(2019)A版第四章单元素养检测
(120分钟 150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的)
1.函数f(x)=+lg (1+x)的定义域是(  )
A.(-∞,-1)     B.(1,+∞)
C.(-1,1)∪(1,+∞) D.(-∞,+∞)
【解析】选C.要使函数f(x)有意义,则
解得x>-1,且x≠1.
故函数f(x)的定义域为(-1,1)∪(1,+∞).
2.下列计算正确的是(  )
A.log26-log23=log23  B.log26-log23=1
C.log39=3 D.log3(-4)2=2log3(-4)
【解析】选B.在B选项中,log26-log23=log2=log22=1,故该选项正确.、
3.已知函数f(x)=则f(f())=(  )
A.4   B.   C.-4   D.-
【解析】选B.f(f())=f(log3)=f(-2)=2-2=.
4.函数f(x)=的大致图象为(  )
【解析】选D.由f(-x)=f(x)可知f(x)是偶函数,排除A,B;当x→∞时,f(x)→0,选项C错误.
5.下列大小关系正确的是(  )
A.0.43<30.4C.log40.3<0.43<30.4 D.log40.3<30.4<0.43
【解析】选C.根据题意,由于log40.3<0,0<0.43<1,30.4>1,那么根据与0,1的大小关系比较可知结论为log40.3<0.43<30.4.
6.函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是(  )
A.(-2,-1)    B. (-1,0)
C.(0,1) D. (1,2)
【解析】选B.因为函数f(x)=2x+3x在其定义域内是递增的,那么根据f(-1)=-3=-<0,f(0)=1+0=1>0,那么根据函数的零点存在性定理可知,函数的零点所在的一个区间为(-1,0).
7.定义运算a b=则函数f(x)=1 2x的图象是(  )
【解析】选A.由题意f(x)=1 2x=
8.已知函数f(x)=(log2x)2+log4(4x)+1,则函数f(x)的最小值是(  )
A.2 B. C. D.1
【解析】选B.化简f(x)=(log2x)2+log4(4x)+1=(log2x)2+1+log2x+1=+2-≥2-=,即f(x)的最小值为.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
9.已知y=x(x-1)(x+1)的图象如图所示.令f(x)=x(x-1)(x+1)+0.01,则下列关于f(x)=0的解叙述正确的是(  )
A.有三个实根
B.当0<x<1时恰有一实根
C.当-1<x<0时恰有一实根
D.当x<-1时恰有一实根(有且仅有一实根)
【解析】选AD.f(x)的图象是将函数y=x(x-1)(x+1)的图象向上平移0.01个单位得到.故f(x)的图象与x轴有三个交点,它们分别在区间(-∞,-1),(0,)和(,1)内.
10.对于0A.loga(1+a)B.loga(1+a)>loga(1+)
C.a1+a<
D.a1+a>
【解析】选BD.由0loga(1+),故A错误,B正确;由0,故C错误,D正确.
11.若f(x)=lg (x2-2ax+1+a)在区间(-∞,1]上递减,则a的取值范围为(  )
A.[1,2) B.[1,2]
C.[1,+∞) D.[2,+∞)
【解析】选A.令函数g(x)=x2-2ax+1+a=(x-a)2+1+a-a2,对称轴为x=a,要使函数在(-∞,1]上递减,则有即解得1≤a<2,即a∈[1,2).
12.已知函数f(x)=其中0A. B. C. D.
【解析】选AB.当0的大致图象如图所示.
因为当x≤m时,f(x)=x2-2mx+m2+2=(x-m)2+2≥2,所以要使得关于x的方程f(x)=a有三个不同的根,则logm>2.
又0三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.(1)计算+lg 4+2lg 5=________;(2)若xlog32=1,则4x+2-x=________.
【解析】(1)原式=1+lg 4+lg 25=1+lg (4×25)=1+lg 102=1+2=3.
(2)依题意x==log23,故4x+2-x=22x+2-x=22log23+2-log23=9+=.
答案:(1)3 (2)
14.函数f(x)=2x3-3x2+1的零点为________.
【解析】因为f(x)=2x3-3x2+1,若f(x)=0,则2x3-3x2+1=0,可解得:x=1或,
即函数f(x)的零点为1和.
答案:1和
15.设f(x)为定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=log2(x+2).则f(0)=________,当x<0时,f(x)=________.
【解析】根据题意,f(x)为定义在R上的奇函数,则f(0)=0,
设x<0,则-x>0,则f(-x)=log2(-x+2),
又由函数f(x)为奇函数,则f(x)=-f(-x)=-log2(-x+2).
答案:0 -log2(-x+2)
16.某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系图象如图所示.假设其函数关系为指数函数,并给出下列说法:
①此指数函数的底数为2;
②在第5个月时,野生水葫芦的面积就会超过30 m2;
③野生水葫芦从4 m2蔓延到12 m2只需1.5个月;
④设野生水葫芦蔓延至2 m2,3 m2,6 m2所需的时间分别为t1,t2,t3,则有t1+t2=t3;
⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度.
其中,正确的是________.(填序号).
【解析】因为关系为指数函数,
所以可设y=ax(a>0且a≠1).由题图可知2=a1.所以a=2,即底数为2,所以说法①正确;因为25=32>30,所以说法②正确;
设水葫芦蔓延至4 m2,12 m2的时间分别为t1,t2,当面积为4时,由4=2t1,解得t1=2,当面积为12时,由12=2t2,解得t2=log212=2+log23.t2-t1=log23≠1.5,
所以说法③不正确;
t1=1,t2=log23,t3=log26,所以t1+t2=t3.
所以说法④正确;因为指数函数增加速度越来越快,
所以说法⑤不正确.故正确的有①②④.
答案:①②④
四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)计算:
(1).
(2)lg 25+lg 2-lg -log29×log32.
【解析】(1)原式==10+9+2-27=-6.
(2)原式=lg 5+lg 2-lg 10-2log23×log32=1+-2=-.
18.(12分)已知函数f(x)=a2x+2ax-1(a>1,且a为常数)在区间[-1,1]上的最大值为14.
(1)求f(x)的表达式.
(2)求满足f(x)=7时,x的值.
【解析】(1)令t=ax>0,因为x∈[-1,1],a>1,所以ax∈,f(x)=y=t2+2t-1=(t+1)2-2,故当t=a时,函数y取得最大值为a2+2a-1=14,求得a=3,所以f(x)=32x+2×3x-1.
(2)由f(x)=7,可得32x+2×3x-1=7,即(3x+4)·(3x-2)=0,求得3x=2,所以x=log32.
19.(12分)定义在R上的偶函数y=f(x)在(-∞,0]上递增,函数f(x)的一个零点为-,求满足f(logx)≥0的x的取值范围.
【解析】因为-是函数的一个零点,所以f(-)=0.
因为y=f(x)是偶函数且在(-∞,0]上递增,所以当logx≤0,解得x≥1,当logx≥-,解得x≤2,所以1≤x≤2.
由对称性可知,当logx>0时,≤x<1.综上所述,x的取值范围是.
20.(12分)已知函数f(x-3)=loga(a>0,a≠1).
(1)判断f(x)的奇偶性,并说明理由.
(2)当0【解析】令x-3=u,则x=u+3,于是f(u)=loga(a>0,a≠1,-3所以f(x)=loga(a>0,a≠1,-3(1)因为f(-x)+f(x)=loga+loga=loga1=0,
所以f(-x)=-f(x),又定义域(-3,3)关于原点对称.所以f(x)是奇函数.
(2)令t==-1-,则t在(-3,3)上单调递增,当021.(12分)一片森林原来的面积为a,计算每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到森林面积的一半时,所用时间是10年.为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的.
(1)求每年砍伐面积的百分比.
(2)到今年为止,该森林已被砍伐了多少年?
(3)今后最多还能砍伐多少年?
【解析】(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0(2)设经过m年剩余面积为原来的,
则a(1-x)m=a,即=,=,解得m=5,故到今年为止,该森林已被砍伐5年.
(3)设从今年开始,以后最多能砍伐n年,则n年后剩余面积为a(1-x)n.
令a(1-x)n≥a,即(1-x)n≥, ≥,≤,解得n≤15.故今后最多还能砍伐15年.
22.(12分)设函数f(x)=log3(9x)·log3(3x),且≤x≤9.
(1)求f(3)的值.
(2)令t=log3x,将f(x)表示成以t为自变量的函数,并由此求函数f(x)的最大值与最小值及与之对应的x的值.
【解析】(1)f(3)=log327·log39=3×2=6.
(2)因为t=log3x,又因为≤x≤9,所以-2≤log3x≤2,即-2≤t≤2.
由f(x)=(log3x+2)·(log3x+1)=(log3x)2+3log3x+2=t2+3t+2.
令g(t)=t2+3t+2=-,t∈[-2,2].
①当t=-时,g(t)min=-,即log3x=-,则x=3-=,
所以f(x)min=-,此时x=;
②当t=2时,g(t)max=g(2)=12,即log3x=2,x=9,所以f(x)max=12,此时x=9.
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