2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册-第四章 指数函数与对数函数 单元素养检测 （Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册-第四章 指数函数与对数函数 单元素养检测 （Word含答案解析） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 349.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-12 00:00:00 | ||
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文档简介
2021-2022学年新人教（2019）A版第四章单元素养检测
(120分钟 150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)
1．函数f(x)＝＋lg (1＋x)的定义域是( )
A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)
C．(－1，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
2．下列计算正确的是( )
A．log26－log23＝log23 B．log26－log23＝1
C．log39＝3 D．log3(－4)2＝2log3(－4)
3．已知函数f(x)＝则f(f())＝( )
A．4 B． C．－4 D．－
4．函数f(x)＝的大致图象为( )
5．下列大小关系正确的是( )
A．0.43<30.4C．log40.3<0.43<30.4 D．log40.3<30.4<0.43
6．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B. (－1，0)
C．(0，1) D. (1，2)
7．定义运算a b＝则函数f(x)＝1 2x的图象是( )
8．已知函数f(x)＝(log2x)2＋log4(4x)＋1，则函数f(x)的最小值是( )
A．2 B． C． D．1
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．已知y＝x(x－1)(x＋1)的图象如图所示．令f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01，则下列关于f(x)＝0的解叙述正确的是( )
A．有三个实根
B．当0＜x＜1时恰有一实根
C．当－1＜x＜0时恰有一实根
D．当x＜－1时恰有一实根(有且仅有一实根)
10．对于0A．loga(1＋a)B．loga(1＋a)>loga(1＋)
C．a1＋a<
D．a1＋a>
11．若f(x)＝lg (x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为( )
A．[1，2) B．[1，2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
12．已知函数f(x)＝其中0A． B． C． D．
三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．(1)计算＋lg 4＋2lg 5＝________；(2)若xlog32＝1，则4x＋2－x＝________．
14．函数f(x)＝2x3－3x2＋1的零点为________．
15．设f(x)为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝log2(x＋2).则f(0)＝________，当x＜0时，f(x)＝________.
16．某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系图象如图所示．假设其函数关系为指数函数，并给出下列说法：
①此指数函数的底数为2；
②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30 m2；
③野生水葫芦从4 m2蔓延到12 m2只需1.5个月；
④设野生水葫芦蔓延至2 m2，3 m2，6 m2所需的时间分别为t1，t2，t3，则有t1＋t2＝t3；
⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．
其中，正确的是________．(填序号).
四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)计算：
(1).
(2)lg 25＋lg 2－lg －log29×log32.
18．(12分)已知函数f(x)＝a2x＋2ax－1(a＞1，且a为常数)在区间[－1，1]上的最大值为14.
(1)求f(x)的表达式．
(2)求满足f(x)＝7时，x的值．
19．(12分)定义在R上的偶函数y＝f(x)在(－∞，0]上递增，函数f(x)的一个零点为－，求满足f(logx)≥0的x的取值范围.
20．(12分)已知函数f(x－3)＝loga(a>0，a≠1).
(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由．
(2)当021．(12分)一片森林原来的面积为a，计算每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到森林面积的一半时，所用时间是10年．为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.
(1)求每年砍伐面积的百分比．
(2)到今年为止，该森林已被砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
22．(12分)设函数f(x)＝log3(9x)·log3(3x)，且≤x≤9.
(1)求f(3)的值．
(2)令t＝log3x，将f(x)表示成以t为自变量的函数，并由此求函数f(x)的最大值与最小值及与之对应的x的值.
2021-2022学年新人教（2019）A版第四章单元素养检测
(120分钟 150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)
1．函数f(x)＝＋lg (1＋x)的定义域是( )
A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)
C．(－1，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
【解析】选C.要使函数f(x)有意义，则
解得x>－1，且x≠1.
故函数f(x)的定义域为(－1，1)∪(1，＋∞).
2．下列计算正确的是( )
A．log26－log23＝log23 B．log26－log23＝1
C．log39＝3 D．log3(－4)2＝2log3(－4)
【解析】选B.在B选项中，log26－log23＝log2＝log22＝1，故该选项正确．、
3．已知函数f(x)＝则f(f())＝( )
A．4 B． C．－4 D．－
【解析】选B.f(f())＝f(log3)＝f(－2)＝2－2＝.
4．函数f(x)＝的大致图象为( )
【解析】选D.由f(－x)＝f(x)可知f(x)是偶函数，排除A，B；当x→∞时，f(x)→0，选项C错误．
5．下列大小关系正确的是( )
A．0.43<30.4C．log40.3<0.43<30.4 D．log40.3<30.4<0.43
【解析】选C.根据题意，由于log40.3<0，0<0.43<1，30.4>1，那么根据与0，1的大小关系比较可知结论为log40.3<0.43<30.4.
6．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B. (－1，0)
C．(0，1) D. (1，2)
【解析】选B.因为函数f(x)＝2x＋3x在其定义域内是递增的，那么根据f(－1)＝－3＝－<0，f(0)＝1＋0＝1>0，那么根据函数的零点存在性定理可知，函数的零点所在的一个区间为(－1，0).
7．定义运算a b＝则函数f(x)＝1 2x的图象是( )
【解析】选A.由题意f(x)＝1 2x＝
8．已知函数f(x)＝(log2x)2＋log4(4x)＋1，则函数f(x)的最小值是( )
A．2 B． C． D．1
【解析】选B.化简f(x)＝(log2x)2＋log4(4x)＋1＝(log2x)2＋1＋log2x＋1＝＋2－≥2－＝，即f(x)的最小值为.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．已知y＝x(x－1)(x＋1)的图象如图所示．令f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01，则下列关于f(x)＝0的解叙述正确的是( )
A．有三个实根
B．当0＜x＜1时恰有一实根
C．当－1＜x＜0时恰有一实根
D．当x＜－1时恰有一实根(有且仅有一实根)
【解析】选AD.f(x)的图象是将函数y＝x(x－1)(x＋1)的图象向上平移0.01个单位得到．故f(x)的图象与x轴有三个交点，它们分别在区间(－∞，－1)，(0，)和(，1)内．
10．对于0A．loga(1＋a)B．loga(1＋a)>loga(1＋)
C．a1＋a<
D．a1＋a>
【解析】选BD.由0loga(1＋)，故A错误，B正确；由0，故C错误，D正确．
11．若f(x)＝lg (x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为( )
A．[1，2) B．[1，2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
【解析】选A.令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，则有即解得1≤a<2，即a∈[1，2).
12．已知函数f(x)＝其中0A． B． C． D．
【解析】选AB.当0的大致图象如图所示．
因为当x≤m时，f(x)＝x2－2mx＋m2＋2＝(x－m)2＋2≥2，所以要使得关于x的方程f(x)＝a有三个不同的根，则logm>2.
又0三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．(1)计算＋lg 4＋2lg 5＝________；(2)若xlog32＝1，则4x＋2－x＝________．
【解析】(1)原式＝1＋lg 4＋lg 25＝1＋lg (4×25)＝1＋lg 102＝1＋2＝3.
(2)依题意x＝＝log23，故4x＋2－x＝22x＋2－x＝22log23＋2－log23＝9＋＝.
答案：(1)3 (2)
14．函数f(x)＝2x3－3x2＋1的零点为________．
【解析】因为f(x)＝2x3－3x2＋1，若f(x)＝0，则2x3－3x2＋1＝0，可解得：x＝1或，
即函数f(x)的零点为1和.
答案：1和
15．设f(x)为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝log2(x＋2).则f(0)＝________，当x＜0时，f(x)＝________.
【解析】根据题意，f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)＝0,
设x＜0，则－x＞0，则f(－x)＝log2(－x＋2)，
又由函数f(x)为奇函数，则f(x)＝－f(－x)＝－log2(－x＋2).
答案：0 －log2(－x＋2)
16．某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系图象如图所示．假设其函数关系为指数函数，并给出下列说法：
①此指数函数的底数为2；
②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30 m2；
③野生水葫芦从4 m2蔓延到12 m2只需1.5个月；
④设野生水葫芦蔓延至2 m2，3 m2，6 m2所需的时间分别为t1，t2，t3，则有t1＋t2＝t3；
⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．
其中，正确的是________．(填序号).
【解析】因为关系为指数函数，
所以可设y＝ax(a>0且a≠1).由题图可知2＝a1.所以a＝2，即底数为2，所以说法①正确；因为25＝32>30，所以说法②正确；
设水葫芦蔓延至4 m2，12 m2的时间分别为t1，t2，当面积为4时，由4＝2t1，解得t1＝2，当面积为12时，由12＝2t2，解得t2＝log212＝2＋log23.t2－t1＝log23≠1.5，
所以说法③不正确；
t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，所以t1＋t2＝t3.
所以说法④正确；因为指数函数增加速度越来越快，
所以说法⑤不正确．故正确的有①②④.
答案：①②④
四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)计算：
(1).
(2)lg 25＋lg 2－lg －log29×log32.
【解析】(1)原式＝＝10＋9＋2－27＝－6.
(2)原式＝lg 5＋lg 2－lg 10－2log23×log32＝1＋－2＝－.
18．(12分)已知函数f(x)＝a2x＋2ax－1(a＞1，且a为常数)在区间[－1，1]上的最大值为14.
(1)求f(x)的表达式．
(2)求满足f(x)＝7时，x的值．
【解析】(1)令t＝ax＞0，因为x∈[－1，1]，a＞1，所以ax∈，f(x)＝y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2，故当t＝a时，函数y取得最大值为a2＋2a－1＝14，求得a＝3，所以f(x)＝32x＋2×3x－1.
(2)由f(x)＝7，可得32x＋2×3x－1＝7，即(3x＋4)·(3x－2)＝0，求得3x＝2，所以x＝log32.
19．(12分)定义在R上的偶函数y＝f(x)在(－∞，0]上递增，函数f(x)的一个零点为－，求满足f(logx)≥0的x的取值范围.
【解析】因为－是函数的一个零点，所以f(－)＝0.
因为y＝f(x)是偶函数且在(－∞，0]上递增，所以当logx≤0，解得x≥1，当logx≥－，解得x≤2，所以1≤x≤2.
由对称性可知，当logx＞0时，≤x＜1.综上所述，x的取值范围是.
20．(12分)已知函数f(x－3)＝loga(a>0，a≠1).
(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由．
(2)当0【解析】令x－3＝u，则x＝u＋3，于是f(u)＝loga(a>0，a≠1，－3所以f(x)＝loga(a>0，a≠1，－3(1)因为f(－x)＋f(x)＝loga＋loga＝loga1＝0，
所以f(－x)＝－f(x)，又定义域(－3，3)关于原点对称．所以f(x)是奇函数．
(2)令t＝＝－1－，则t在(－3，3)上单调递增，当021．(12分)一片森林原来的面积为a，计算每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到森林面积的一半时，所用时间是10年．为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.
(1)求每年砍伐面积的百分比．
(2)到今年为止，该森林已被砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
【解析】(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0(2)设经过m年剩余面积为原来的，
则a(1－x)m＝a，即＝，＝，解得m＝5，故到今年为止，该森林已被砍伐5年．
(3)设从今年开始，以后最多能砍伐n年，则n年后剩余面积为a(1－x)n.
令a(1－x)n≥a，即(1－x)n≥， ≥，≤，解得n≤15.故今后最多还能砍伐15年．
22．(12分)设函数f(x)＝log3(9x)·log3(3x)，且≤x≤9.
(1)求f(3)的值．
(2)令t＝log3x，将f(x)表示成以t为自变量的函数，并由此求函数f(x)的最大值与最小值及与之对应的x的值.
【解析】(1)f(3)＝log327·log39＝3×2＝6.
(2)因为t＝log3x，又因为≤x≤9，所以－2≤log3x≤2，即－2≤t≤2.
由f(x)＝(log3x＋2)·(log3x＋1)＝(log3x)2＋3log3x＋2＝t2＋3t＋2.
令g(t)＝t2＋3t＋2＝－，t∈[－2，2].
①当t＝－时，g(t)min＝－，即log3x＝－，则x＝3－＝，
所以f(x)min＝－，此时x＝；
②当t＝2时，g(t)max＝g(2)＝12，即log3x＝2，x＝9，所以f(x)max＝12，此时x＝9.
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(120分钟 150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)
1．函数f(x)＝＋lg (1＋x)的定义域是( )
A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)
C．(－1，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
2．下列计算正确的是( )
A．log26－log23＝log23 B．log26－log23＝1
C．log39＝3 D．log3(－4)2＝2log3(－4)
3．已知函数f(x)＝则f(f())＝( )
A．4 B． C．－4 D．－
4．函数f(x)＝的大致图象为( )
5．下列大小关系正确的是( )
A．0.43<30.4
6．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B. (－1，0)
C．(0，1) D. (1，2)
7．定义运算a b＝则函数f(x)＝1 2x的图象是( )
8．已知函数f(x)＝(log2x)2＋log4(4x)＋1，则函数f(x)的最小值是( )
A．2 B． C． D．1
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．已知y＝x(x－1)(x＋1)的图象如图所示．令f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01，则下列关于f(x)＝0的解叙述正确的是( )
A．有三个实根
B．当0＜x＜1时恰有一实根
C．当－1＜x＜0时恰有一实根
D．当x＜－1时恰有一实根(有且仅有一实根)
10．对于0
C．a1＋a<
D．a1＋a>
11．若f(x)＝lg (x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为( )
A．[1，2) B．[1，2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
12．已知函数f(x)＝其中0
三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．(1)计算＋lg 4＋2lg 5＝________；(2)若xlog32＝1，则4x＋2－x＝________．
14．函数f(x)＝2x3－3x2＋1的零点为________．
15．设f(x)为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝log2(x＋2).则f(0)＝________，当x＜0时，f(x)＝________.
16．某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系图象如图所示．假设其函数关系为指数函数，并给出下列说法：
①此指数函数的底数为2；
②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30 m2；
③野生水葫芦从4 m2蔓延到12 m2只需1.5个月；
④设野生水葫芦蔓延至2 m2，3 m2，6 m2所需的时间分别为t1，t2，t3，则有t1＋t2＝t3；
⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．
其中，正确的是________．(填序号).
四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)计算：
(1).
(2)lg 25＋lg 2－lg －log29×log32.
18．(12分)已知函数f(x)＝a2x＋2ax－1(a＞1，且a为常数)在区间[－1，1]上的最大值为14.
(1)求f(x)的表达式．
(2)求满足f(x)＝7时，x的值．
19．(12分)定义在R上的偶函数y＝f(x)在(－∞，0]上递增，函数f(x)的一个零点为－，求满足f(logx)≥0的x的取值范围.
20．(12分)已知函数f(x－3)＝loga(a>0，a≠1).
(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由．
(2)当0
(1)求每年砍伐面积的百分比．
(2)到今年为止，该森林已被砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
22．(12分)设函数f(x)＝log3(9x)·log3(3x)，且≤x≤9.
(1)求f(3)的值．
(2)令t＝log3x，将f(x)表示成以t为自变量的函数，并由此求函数f(x)的最大值与最小值及与之对应的x的值.
2021-2022学年新人教（2019）A版第四章单元素养检测
(120分钟 150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)
1．函数f(x)＝＋lg (1＋x)的定义域是( )
A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)
C．(－1，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
【解析】选C.要使函数f(x)有意义，则
解得x>－1，且x≠1.
故函数f(x)的定义域为(－1，1)∪(1，＋∞).
2．下列计算正确的是( )
A．log26－log23＝log23 B．log26－log23＝1
C．log39＝3 D．log3(－4)2＝2log3(－4)
【解析】选B.在B选项中，log26－log23＝log2＝log22＝1，故该选项正确．、
3．已知函数f(x)＝则f(f())＝( )
A．4 B． C．－4 D．－
【解析】选B.f(f())＝f(log3)＝f(－2)＝2－2＝.
4．函数f(x)＝的大致图象为( )
【解析】选D.由f(－x)＝f(x)可知f(x)是偶函数，排除A，B；当x→∞时，f(x)→0，选项C错误．
5．下列大小关系正确的是( )
A．0.43<30.4
【解析】选C.根据题意，由于log40.3<0，0<0.43<1，30.4>1，那么根据与0，1的大小关系比较可知结论为log40.3<0.43<30.4.
6．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B. (－1，0)
C．(0，1) D. (1，2)
【解析】选B.因为函数f(x)＝2x＋3x在其定义域内是递增的，那么根据f(－1)＝－3＝－<0，f(0)＝1＋0＝1>0，那么根据函数的零点存在性定理可知，函数的零点所在的一个区间为(－1，0).
7．定义运算a b＝则函数f(x)＝1 2x的图象是( )
【解析】选A.由题意f(x)＝1 2x＝
8．已知函数f(x)＝(log2x)2＋log4(4x)＋1，则函数f(x)的最小值是( )
A．2 B． C． D．1
【解析】选B.化简f(x)＝(log2x)2＋log4(4x)＋1＝(log2x)2＋1＋log2x＋1＝＋2－≥2－＝，即f(x)的最小值为.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．已知y＝x(x－1)(x＋1)的图象如图所示．令f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01，则下列关于f(x)＝0的解叙述正确的是( )
A．有三个实根
B．当0＜x＜1时恰有一实根
C．当－1＜x＜0时恰有一实根
D．当x＜－1时恰有一实根(有且仅有一实根)
【解析】选AD.f(x)的图象是将函数y＝x(x－1)(x＋1)的图象向上平移0.01个单位得到．故f(x)的图象与x轴有三个交点，它们分别在区间(－∞，－1)，(0，)和(，1)内．
10．对于0
C．a1＋a<
D．a1＋a>
【解析】选BD.由0
11．若f(x)＝lg (x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为( )
A．[1，2) B．[1，2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
【解析】选A.令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，则有即解得1≤a<2，即a∈[1，2).
12．已知函数f(x)＝其中0
【解析】选AB.当0
因为当x≤m时，f(x)＝x2－2mx＋m2＋2＝(x－m)2＋2≥2，所以要使得关于x的方程f(x)＝a有三个不同的根，则logm>2.
又0
13．(1)计算＋lg 4＋2lg 5＝________；(2)若xlog32＝1，则4x＋2－x＝________．
【解析】(1)原式＝1＋lg 4＋lg 25＝1＋lg (4×25)＝1＋lg 102＝1＋2＝3.
(2)依题意x＝＝log23，故4x＋2－x＝22x＋2－x＝22log23＋2－log23＝9＋＝.
答案：(1)3 (2)
14．函数f(x)＝2x3－3x2＋1的零点为________．
【解析】因为f(x)＝2x3－3x2＋1，若f(x)＝0，则2x3－3x2＋1＝0，可解得：x＝1或，
即函数f(x)的零点为1和.
答案：1和
15．设f(x)为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝log2(x＋2).则f(0)＝________，当x＜0时，f(x)＝________.
【解析】根据题意，f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)＝0,
设x＜0，则－x＞0，则f(－x)＝log2(－x＋2)，
又由函数f(x)为奇函数，则f(x)＝－f(－x)＝－log2(－x＋2).
答案：0 －log2(－x＋2)
16．某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系图象如图所示．假设其函数关系为指数函数，并给出下列说法：
①此指数函数的底数为2；
②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30 m2；
③野生水葫芦从4 m2蔓延到12 m2只需1.5个月；
④设野生水葫芦蔓延至2 m2，3 m2，6 m2所需的时间分别为t1，t2，t3，则有t1＋t2＝t3；
⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．
其中，正确的是________．(填序号).
【解析】因为关系为指数函数，
所以可设y＝ax(a>0且a≠1).由题图可知2＝a1.所以a＝2，即底数为2，所以说法①正确；因为25＝32>30，所以说法②正确；
设水葫芦蔓延至4 m2，12 m2的时间分别为t1，t2，当面积为4时，由4＝2t1，解得t1＝2，当面积为12时，由12＝2t2，解得t2＝log212＝2＋log23.t2－t1＝log23≠1.5，
所以说法③不正确；
t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，所以t1＋t2＝t3.
所以说法④正确；因为指数函数增加速度越来越快，
所以说法⑤不正确．故正确的有①②④.
答案：①②④
四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)计算：
(1).
(2)lg 25＋lg 2－lg －log29×log32.
【解析】(1)原式＝＝10＋9＋2－27＝－6.
(2)原式＝lg 5＋lg 2－lg 10－2log23×log32＝1＋－2＝－.
18．(12分)已知函数f(x)＝a2x＋2ax－1(a＞1，且a为常数)在区间[－1，1]上的最大值为14.
(1)求f(x)的表达式．
(2)求满足f(x)＝7时，x的值．
【解析】(1)令t＝ax＞0，因为x∈[－1，1]，a＞1，所以ax∈，f(x)＝y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2，故当t＝a时，函数y取得最大值为a2＋2a－1＝14，求得a＝3，所以f(x)＝32x＋2×3x－1.
(2)由f(x)＝7，可得32x＋2×3x－1＝7，即(3x＋4)·(3x－2)＝0，求得3x＝2，所以x＝log32.
19．(12分)定义在R上的偶函数y＝f(x)在(－∞，0]上递增，函数f(x)的一个零点为－，求满足f(logx)≥0的x的取值范围.
【解析】因为－是函数的一个零点，所以f(－)＝0.
因为y＝f(x)是偶函数且在(－∞，0]上递增，所以当logx≤0，解得x≥1，当logx≥－，解得x≤2，所以1≤x≤2.
由对称性可知，当logx＞0时，≤x＜1.综上所述，x的取值范围是.
20．(12分)已知函数f(x－3)＝loga(a>0，a≠1).
(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由．
(2)当0
所以f(－x)＝－f(x)，又定义域(－3，3)关于原点对称．所以f(x)是奇函数．
(2)令t＝＝－1－，则t在(－3，3)上单调递增，当0
(1)求每年砍伐面积的百分比．
(2)到今年为止，该森林已被砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
【解析】(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0
则a(1－x)m＝a，即＝，＝，解得m＝5，故到今年为止，该森林已被砍伐5年．
(3)设从今年开始，以后最多能砍伐n年，则n年后剩余面积为a(1－x)n.
令a(1－x)n≥a，即(1－x)n≥， ≥，≤，解得n≤15.故今后最多还能砍伐15年．
22．(12分)设函数f(x)＝log3(9x)·log3(3x)，且≤x≤9.
(1)求f(3)的值．
(2)令t＝log3x，将f(x)表示成以t为自变量的函数，并由此求函数f(x)的最大值与最小值及与之对应的x的值.
【解析】(1)f(3)＝log327·log39＝3×2＝6.
(2)因为t＝log3x，又因为≤x≤9，所以－2≤log3x≤2，即－2≤t≤2.
由f(x)＝(log3x＋2)·(log3x＋1)＝(log3x)2＋3log3x＋2＝t2＋3t＋2.
令g(t)＝t2＋3t＋2＝－，t∈[－2，2].
①当t＝－时，g(t)min＝－，即log3x＝－，则x＝3－＝，
所以f(x)min＝－，此时x＝；
②当t＝2时，g(t)max＝g(2)＝12，即log3x＝2，x＝9，所以f(x)max＝12，此时x＝9.
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同课章节目录
- 第一章 集合与常用逻辑用语
- 1.1 集合的概念
- 1.2 集合间的基本关系
- 1.3 集合的基本运算
- 1.4 充分条件与必要条件
- 1.5 全称量词与存在量词
- 第二章 一元二次函数、方程和不等式
- 2.1 等式性质与不等式性质
- 2.2 基本不等式
- 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
- 第三章 函数概念与性质
- 3.1 函数的概念及其表示
- 3.2 函数的基本性质
- 3.3 幂函数
- 3.4 函数的应用（一）
- 第四章 指数函数与对数函数
- 4.1 指数
- 4.2 指数函数
- 4.3 对数
- 4.4 对数函数
- 4.5 函数的应用（二）
- 第五章 三角函数
- 5.1 任意角和弧度制
- 5.2 三角函数的概念
- 5.3 诱导公式
- 5.4 三角函数的图象与性质
- 5.5 三角恒等变换
- 5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）
- 5.7 三角函数的应用