北师大版八年级数学上册第一章 1. 探索勾股定理教学设计

第一章 勾股定理
1. 探索勾股定理教学设计
一、学生起点分析
八年级学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力．在小学，他们已学习了一些几何图形面积的计算方法（包括割补法），但运用面积法和割补思想解决问题的意识和能力还远远不够．部分学生听说过“勾三股四弦五”，但并没有真正认识什么是“勾股定理”．此外，学生普遍学习积极性较高，探究意识较强，课堂活动参与较主动，但合作交流能力和探究能力有待加强．
二、教学任务分析
本节课是义务教育课程标准实验教科书北师大版八年级(上)第一章《勾股定理》第一节第1课时. 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用．本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性．此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值．
为此本节课的教学目标是：
1．知识与技能：用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用．
2．数学思考：让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法．
3．问题解决：进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系．
4．情感态度：在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化历史，激励学生发奋学习．
教学重点：探索勾股定理和勾股定理的简单应用
教学难点：探索勾股定理
三、教学过程设计
本节课设计了六个教学环节：第一环节：创设情境，引发思考；第二环节：探索发现，猜想归纳；第三环节：初步运用，解决问题；第四环节：阅读熏陶，欣赏提升；第五环节：小结归纳，感悟提炼；第六环节：自测检验，作业布置。
第一环节：创设情境，引发思考
内容：
1、 目标导学：
①经历观察、思考、归纳、猜想拼图实验、计算面积的全过程，探索勾股定理。
②体会数形结合思想，发展将未知转化为已知，由特殊推测一般的合情推理能力。
③掌握勾股定理并会用它解决身边与实际生活相关的数学问题。
2、 小现象，大问题
如图,一根旗杆在离地面9 m处折断,旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处.旗杆原来有多高
设计意图：目标的提出，让学生知道学习任务，并随时检测自己的学习进度。对于一个新的学习内容，有必要让学生感受到其学习的必要性。用此简单的生活实例引入，引导学生思考：已知直角三角形的两边求第三边，就要知道直角三角形三边的数量关系。自然而然地开展勾股定理的探究活动。
第二环节：探索发现，猜想归纳
1．善发现，勤思考
内容：相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形的三边长度的平方存在一种特殊的关系。
投影显示如下地板砖示意图
2、心羽的发现
由陈铭心羽同学讲解她上个学期的发现
学生通过观察，归纳发现：以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积。
结论1 等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
设计意图：从观察实际生活中常见的地板砖入手，让学生感受到数学就在我们身边。通过对特殊情形的探究得到结论1，为探究活动二作铺垫。通过邀请学生讲解她的探索发现，让学生得到成功体验，感受到数学知识的探究就在身边，激发全体学生进一步探究的热情和愿望。
2．探究发现
内容：由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？
探究活动一：
（1）观察下面两幅图：
如图，直角三角形三边的平方分别是多少？它们满足上面所猜想的数量关系吗？
图1 图2
（2）填表：
观察图1，完成下表：
DE2 EF2 DF2 可能的关系
S正方形A S正方形B S正方形C
观察图2，完成下表：
AC2 BC2 AB2 可能的关系
S正方形P S正方形Q S正方形R
学生很容易得到DE2 、EF2 、AC2 、BC2的值， 对于DF2 、AB2 的值学生不能直接求出，这时教师问：之前毕达哥拉斯和心羽在发现这个结论时，都借助了什么几何图形？DE2 、EF2 的值可看成是分别以DE、EF为边长向外所作的正方形的面积，那么DF2 、AB2的值可看成什么图形的面积？
（3）你是怎样得到正方形C、正方形R的面积的？与同伴交流．（学生可能会做出多种方法，教师应给予充分肯定．）学生的方法可能有：
图1 图2 图3
方法一：
如图1，将正方形R分割为四个全等的直角三角形和一个小正方形， ．
方法二：
如图2，在正方形R外补四个全等的直角三角形，形成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，．
方法三：
如图3，正方形R中除去中间9个小正方形外，将周围部分适当拼接可成为正方形，如图3中两块红色（或两块黄色）部分可拼成两个小正方形，按此拼法，．
（4）分析填表的数据，你发现了什么？
学生通过分析数据，归纳出：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．
结论2 等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
设计意图：探究活动一通过设计问题串，让探索过程由浅入深，循序渐进，让学生通过观察、计算、探讨、归纳进一步发现一般直角三角形的性质．由于正方形C和正方形R的面积计算是一个难点，为此设计了一个交流环节，让学生动手画一画、算一算、说一说，充分利用计算面积的不同方法，进一步体会数形结合思想，体会数学解决问题的灵活性。
探究活动二：
内容：若直角三角形的三边长不是整数，上面所猜想的数量关系还成立吗？
进一步借助几何画板演示直角边为任意长的直角三角形三边的平方关系，得出一般直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，从而发现勾股定理。
设计意图：探究活动一学生已初步探究出直角边为整数的直角三角形三边关系。设计此环节，将探究活动进一步深化，从而扩展到更一般的情况，使学生体会数学探究由特殊到一般，再到更一般的过程。
3．猜想归纳
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么．
设计意图：由上述两个探究活动得到勾股定理，并用数学语言表示，发展学生三种数学语言的能力，渗透的数形结合思想。
第三环节：初步运用，解决问题
内容：
1．基础巩固练习：
求下列直角三角形中未知边的长度．
2．解决问题
如图,一根旗杆在离地面9 m处折断,旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处.旗杆原来有多高
设计意图：练习第1题是勾股定理的直接运用，意在巩固基础知识．第2题是课始提出的实际应用问题，体现了数学来源于生活，又服务于生活，意在培养学生“用数学”的意识，运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容。体会发现问题—探究问题—解决问题的思考方法。
第四环节：阅读熏陶，欣赏提升
内容：
1、 追溯历史
三国时期吴国数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，创制了一幅“勾股圆方图”，也称为“弦图”，这是我国对勾股定理最早的证明.
2002年世界数学家大会在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的“弦图”，标志着中国古代数学成就.
古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了勾股定理，因此国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念二千五百年前古希腊在勾股定理上的贡献，发行了一枚纪念邮票，图案是由三个棋盘排列而成.
2、欣赏勾股树
以邮票中间图案为基本模型，借助几何画板演示勾股树，进一步体会勾股定理的内容。为下一节课的验证做铺垫。
3. 知识应用
第2题
2、如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积的和是　　　　cm2．
设计意图：介绍勾股定理的历史，让学生更深刻体会到勾股定理所蕴含的文化价值，对中国乃至世界数学史产生浓厚的兴趣，为下一节课的验证做准备。
第五环节：小结归纳，感悟提炼
教师提问：
1．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？
2．对这些内容你有什么体会？与同伴进行交流．
在学生自由发言的基础上，师生共同总结：
1．知识：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么．
2．方法：（1） 观察—探索—猜想—验证—归纳—应用；
　 （2）“割、补、拼、接”法.
3．思想：（1） 特殊—一般；
　（2） 数形结合思想．
设计意图：通过畅谈收获和体会，意在培养学生口头表达和交流的能力，增强不断反思总结的意识。
第六环节：自测检验，作业布置
内容：
自测题
1、如图，在△ABC中，∠C=90°，
（1）若BC=5，AC=12，则AB= ；
（2）若BC=3，AB=5，则AC= ；
（3）若BC∶AC=3∶4，AB=10，则BC= ，AC= .
2．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是 ( )
A．25 　B．14 C．7 D．7或25
作业布置：习题1.1第2、4题
设计意图：课后及时检测，及时反馈学生对知识的掌握情况，做到查漏补缺。课后作业设计包括了二个层面：作业1是为了巩固基础知识而设计；作业2是为了扩展学生的知识面，灵活运用勾股定理解决问题。
四、教学设计反思
（一）设计理念
依据“学生是学习的主体”这一理念，在探索勾股定理的整个过程中，本节课始终采用学生自主探索和与同伴合作交流相结合的方式进行主动学习．教师只在学生遇到困难时，进行引导或组织学生通过讨论来突破难点.
（二）突出重点、突破难点的策略
为了让学生在学习过程中自我发现勾股定理，本节课首先情景创设激发兴趣，再通过几个探究活动引导学生从探究等腰直角三角形这一特殊情形入手，自然过渡到探究一般直角三角形，学生通过观察图形，计算面积，分析数据，发现直角三角形三边的关系，进而得到勾股定理．
12 m
9 m
A
B
C
D
E
F
Q
P
R
A
B
C
B
A
C
∵Rt△ABC中，∠C=90°
∴AC2+BC2=AB2（或）
12 m
9 m
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