江西省赣州市寻乌县高级中学2021-2022学年高一上学期期中考试数学试卷（Word版含答案）

寻乌县高级中学2021-2022学年高一上学期期中考试
数学
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、填空题（共12题）
1、 计算：______；
2、 关于未知数，的方程组对应的增广矩阵为，则此方程组的解______；
3、 设，，且，则__________．
4、 已知函数的一条对称轴为，则______；
5、 已知平面向量满足，，，则 .
6、 设，，，…，，希望证明，在应用数学归纳法求证上式时，第二步从到应添的项是______.
7、 已知，，，，则______；
8、 若数列为无穷等比数列，且，则的取值范围是______；
9、 设数列是公比为的等比数列，则______；
10、 已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为______；
11、 如图，已知O为矩形ABCD内的一点，且，，，则______．
12、 已知平面直角坐标系内定点，动点满足，动点满足，则点在平面直角坐标系内覆盖的图形的面积为______；
二、选择题（共4题）
1、 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
2、 是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定经过的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
3、 已知数列为等差数列，且，设，当的前项和最小时，的值有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
4、 设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（ ）
A．6 B． C． D．4
三、解答题（共5题）
1、 解关于.的一元二次方程组，并对解的情况进行讨论.
2、 已知，设，，记函数.
（1）求函数的最小值，并求出函数取最小值时的值；
（2）设的角，，所对的边分别为，，，若，，求的面积的最大值.
3、 已知内接于，，，，的半径为.
（1）若，试求的大小；
（2）若为动点，，，试求的最大值.
4、 已知平方和公式：，其中.
（1）记，其中，求的值；
（2）已知，求自然数的值；
（3）抛物线.轴及直线围成了如图（1）的阴影部分，与轴交于点，把线段分成等份，作以为底的内接矩形如图（2），阴影部分的面积为，等于这些内接矩形面积之和.，当时的极限值.
图（3）中的曲线为开口向右的抛物线，抛物线.轴及直线围成了图中的阴影部分，请利用极限平方和公式.反函数或割补法等知识求出阴影部分的面积.
5、 设数列的前项和为，，，数列满足：对于任意的，都有成立.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的通项公式；
（3）设数列，问：数列中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由.
============参考答案============
一、填空题
1、
【解析】
【分析】
用诱导公式把中的角化到中即可由反正弦函数定义得出结论．也可直接计算．
【详解】
．或者
故答案为：．
2、
【解析】
【分析】
由增广矩阵写出原二元线性方程组，根据方程的解x，y，最后求的值.
【详解】
由二元线性方程组的增广矩阵为，
得到二元线性方程组的表达式 ，
解得 ，所以.
故答案为: .
3、 0
【分析】
根据平面向量共线定理可以得到等式，用二倍角的正弦公式以及特殊角的三角函数，求出的值，最后计算出它的余弦值即可.
【详解】
因为，所以，
因此.
故答案为：0
4、
【分析】
根据三角函数的性质可知在取得最大值或最小值，建立方程即可求解.
【详解】
，其中是辅助角，
是的一条对称轴，
，
整理得，解得.
故答案为：.
5、
【解析】
试题分析：因为，所以
考点：向量数量积，向量的模
6、
【解析】
【分析】
写出的表达式，通过比较可以知道第二步从到应添的项.
【详解】
当时，,
当时，,通过对比可以发现，第二步从到应添的项是.
故答案为：
7、
【解析】
【分析】
由已知得，再两边平方，求得，代入可求得答案.
【详解】
因为，所以，又因为，
所以，即，又，，
所以，所以，
所以，
故答案为：.
8、
【分析】
根据无穷等比数列的前项和的极限求解．
【详解】
设数列公比是，在且时，，
∴，又且，且，∴或．
故答案为：
9、 0；
【分析】
根据行列式计算法则和等比数列性质计算即可.
【详解】
数列是公比为的等比数列
.
故答案为：0.
10、
【解析】
【分析】
利用去掉同向的情形即得．
【详解】
由题意 ，即，，∴，
若，则，解得，
综上的范围是．
故答案为：．
11、
【解析】
【分析】
建立坐标系，设，，根据条件得出O，C的坐标之间的关系，再计算的值．
【详解】
以A为原点，以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，
设，，，则，
，，，
，整理可得：．
又，，
．
故答案为．
12、
【解析】
【分析】
本题先将B固定，得到C的轨迹，C的轨迹随着B的动点而运动从而形成一个圆环，即C在平面直角坐标系内覆盖的图形.
【详解】
因为动点B满足，
所以B点的轨迹是以A为圆心，2为半径的一个圆，
又因为动点C满足，
所以C点轨迹是以B为圆心，3为半径的一个圆，
当B点在圆上运动时，点C的轨迹是以点A为圆心、以5为半径的圆，
C点在平面直角坐标系内覆盖的图形如下图所示，
即C在平面直角坐标系内覆盖的图形为一个圆环，其中大圆的半径为5，小圆的半径是1，
所以点C在平面直角坐标系内覆盖的图形的面积为.
故答案为：
二、选择题
1、 C
【解析】
【分析】
将所给函数化为，根据三角函数相位变换原则可得结果.
【详解】
只需将的图象向左平移个单位长度即可得到的图象
故选：
2、 B
【解析】
【分析】
先根据、分别表示向量、方向上的单位向量，确定的方向与的角平分线一致，再由可得到，可得答案．
【详解】
解：、分别表示向量、方向上的单位向量，
的方向与的角平分线一致，
又，
，
向量的方向与的角平分线一致
点的轨迹一定经过的内心.
故选：B．
3、 B
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质可知，从而判断数列是单调递增数列，即可判断当的前项和最小时，可取的值.
【详解】
数列为等差数列，
，
，则，即，
，可以判断数列是单调递增数列，
，
，
，
当的前项和最小时，可取的值为97，98，99，100共4个.
故选：B.
4、 A
【解析】
【分析】
作，，，由已知可得是的重心，由重心性质可得所求面积比．
【详解】
作，，，如图，∵，∴是的重心，则，设，
设，
∵，，，
∴，即，同理，，
，
∴．
故选：A．
【点睛】
本题考查三角形面积的计算，考查向量的加法与数乘法则，体现了向量在解决平面图形问题中的优越性．
三、解答题
1、 ，无数个解；，无解；且，.
【解析】
【分析】
分情况讨论即可知道解的情况.
【详解】
（1）当时，方程组有无数个解，
解得；
（2）当时，方程组无解，
解得；
（3）当时，方程组只有一组解为，
解得且，
综上，，无数个解；，无解；且，.
2、 （1），；（2）.
【分析】
(1)先根据向量的数量积的运算，以及二倍角公式和两角和的正弦公式化简得到f（x）=，再根据正弦函数的性质即可求出答案；
（2）先求出C的大小，再根据余弦定理和基本不等式，即可求出，根据三角形的面积公式即可求出答案.
【详解】
（1）
，
令，k∈Z，即时，，取最小值，
所以，的最小值为，所求的取值集合是；
（2）由，得，
因为，所以，
所以，，
在中，由余弦定理，
得，即，当且仅当时取等号，
所以的面积，
因此的面积的最大值为.
3、 （1）；（2）2.
【分析】
（1）由可得，解得，即可求出；
（2）由可得，再由平方后得，利用基本不等式可求出的最大值.
【详解】
（1），
，则，
即,
，解得,
;
（2），，
，，
即，
，整理得，即，
，
，解得，即，当且仅当时等号成立，
的最大值为2.
4、 （1）47980；（2）72；（3）.
【解析】
【分析】
（1）将化为，即可结合公式求解；
（2）分别转化和，然后根据公式求解，建立方程即可求出；
（3）线段分成等份，作以为底的内接矩形，则阴影部分的面积可看作是这些内接矩形的面积之和，利用极限即可求出.
【详解】
（1），
；
（2），

，
，
解得；
（3）由题可知，,如图，把线段分成等份，作以为底的内接矩形，
设阴影部分的面积为，则可看作是这些内接矩形的面积之和，
则
，
当时，，
所以阴影部分的面积为.
5、 （1）；（2）；（3）存在，，，或，，.
【解析】
【分析】
（1）当时，类比写出，两式相减整理得，当时，求得，从而求得数列的通项公式.；
（2）将代入已知条件，用与（1）相似的方法，变换求出数列的通项公式；
（3）由的通项公式分析，得…，假设存在三项，，成等差数列，且，则，即，根据数列的单调性，化简得，将或代入已知条件，即可得到结论.
【详解】
（1）由， ①
得， ②
由①-②得，即，
对①取得，，所以，所以为常数，
所以为等比数列，首项为1，公比为，
即，；
（2）由，可得对于任意有
， ③
则， ④
则， ⑤
由③-⑤得，
对③取得，也适合上式，
因此，，
（3）由（1）（2）可知，
则，
所以当时，，即，
当时，，即在且上单调递减，
故…，
假设存在三项，，成等差数列，其中，，，
由于…，可不妨设，则（*），
即，
因为，，且，则且，
由数列的单调性可知，，即，
因为，所以，
即，化简得，
又且，所以或，
当时，，即，由时，，此时，，不构成等差数列，不合题意，
当时，由题意或，即，又，代入（*）式得，
因为数列在且上单调递减，且，，所以，
综上所述，数列中存在三项，，或，，构成等差数列.