人教版数学九年级上册21.2.4一元二次方程根与系数的关系教案
文档属性
| 名称 | 人教版数学九年级上册21.2.4一元二次方程根与系数的关系教案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 99.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-10 09:27:57 | ||
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文档简介
《21.2.4一元二次方程根与系数的关系（1）》教学设计
☆ 教学基本信息
课题 21.2.4一元二次方程根与系数的关系（1）
☆ 指导思想与理论依据
采用“引导-发现”的教学模式，在教师的组织安排下，学生自觉参与数学活动，在互动交流中，学生发现问题，并在教师的引导下利用已学的知识获取新知；在课堂学习中，学生通过归纳、应用，获得成功的体验，形成积极的数学学习动机。
☆ 教材分析
中学阶段我们研究的多项式函数中有二次函数，研究的几何图形中有二次曲线，因此一元二次方程便成为了方程中研究的重要内容。一元二次方程中，求根公式向我们揭示了两根与系数间的密切关系，而根与系数还有更进一步的发现，这一发现在数学学科中具有极强的实用价值，本节内容既是代数式、一元一次方程和一元二次方程求根公式等知识的进一步深化，又蕴含丰富的数学思想方法，也为学生将来的学习打下了必要的基础。
☆ 学情分析
随着年龄的增长以及实验几何向论证几何的逐步推进，初三学生的逻辑推理能力已有了较大提高，因此在学过了一元二次方程的解法后，自主观察探究发现根与系数的关系是有可能的，并且我所执教的学生有较强认知力和求知欲，基于以上思考，本节课在设计中扩大了学生的参与度。
☆ 教学目标
1、知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和。2、能力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。3、情感目标：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。
☆ 教学重点和难点
教学重点 一元二次方程根与系数的关系．教学难点 两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数中的符号
教学过程
教学环节 教师活动 预设学生行为 设计意图
问题引探（二）观察发现（三）猜想证明（四）形成定理（五）应用创新（六）归纳小结（七）布置作业 解下列方程：（1）x2－2x＝0（2）x2＋3x－4＝0（3）2x2+5x＋3＝0并完成表格。观察、思考方程两根之和与两根之积与方程的系数有何关系，你能从中发现什么规律？大胆猜想：方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别为x1和x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝.提出问题：如何证明上面的猜想？并步步引导学生经历猜想—-证明的思维过程。归纳并板书：若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别为x1和x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝.这就是韦达定理。1.试一试：根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为x1，x2、k是常数）（1）2x2-3x+1=0 x1+x2=_____x1x2=_______ （2）3x2+5x=0 x1+x2=_____ _ x1x2=________ （3）5x2+x-2=0 x1+x2= ______ x1x2=________ （4）5x2+kx-6=0 x1+x2= ______x1x2= _______2.学以致用：例1 [教材例4变式题] 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积．(1)x2－7x＋6＝0；(2)6x－1＝5x2；(3)2x2＋x＋1＝0；(4)x2＝x.[解析] 先将方程化为一般形式，再计算b2－4ac的值，若其值大于或等于零，则可根据一元二次方程的根与系数的关系求其两根之和与积．结合学生板演进行分析归纳。3.拓展提升①已知方程6x2+kx-5=0的一个根为1，求它的另一个根及k的值。②利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根的（1）平方和；（2）倒数和。本课主要研究了什么？（必做题）1、教材P17习题21.2第7题 2、已知方程x2－2x－c＝0的一个根是3，求方程的另一个根及c的值．（选做题）3、已知方程的根是x和x，求下列式子的值：（1） + （2） 学生自主选择适当的方法解方程，并完成填空，然后交流答案。学生通过计算、观察、分析，发现一元二次方程中根与系数的关系。学生陈述自己观察思考所得结论，并运用已学知识与老师共同整理证明过程。证明：当Δ≥0时，由求根公式得x1＝，x2＝，所以x1＋x2＝＋＝－＝－，x1x2＝·＝＝＝；.学生用自己的语言表述两根和、两根的积与系数的关系。学生自主完成，口头作答。学生通过分组学习课本例题，讨论求解完成各题解：(1)∵Δ＝(－7)2－4×6＝25>0，∴x1＋x2＝7，x1x2＝6.(2)方程可化为5x2－6x＋1＝0，∵Δ＝(－6)2－4×5×1＝16>0.∴x1＋x2＝，x1x2＝.(3)Δ＝12－4×2×1＝－7<0，∴原方程无实数根，故不存在两根之和与两根之积．(4)方程可化为x2－x＝0，Δ＝(－)2－4××0＝2>0，∴x1＋x2＝＝，x1x2＝0.学生思考问题并口头答题。学生反思归纳：1、在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中， 当 b2-4ac≥0 时，x1+x2= － ，x1x2= . 2、方程根与系数关系的有关应用。（1）已知一根求另一根及k的值；（2）求有关代数式的值。抄记作业。 复习巩固解一元二次方程的旧知识，并为新知识的学习做铺垫.发展学生的感性认识，体会由特殊到一般的认识过程.1.进一步分析、验证所发现的根与系数的关系，为从感性到理性打好基础．2．通过设置问题使学生明确利用一元二次方程根与系数的关系进行计算需要满足Δ≥0.3．探究根与系数关系的结论，培养学生严谨的学习态度.通过归纳与对定理的阐述表达，加深学生对根与系数关系的理解和记忆。“试一试”是引导学生及时巩固本节所学的新知“根与系数的关系”，其中第（1）（3）小题是培养学生思维严谨性和批判性；第（4）小题是起过渡作用设计。例4的变式题系数与例题有别，在于强调应用根与系数的关系时，一定要先判断b2－4ac的正负性，因为必须在方程有根的情形下才存在方程根与系数的关系．其中第（3）小题设置了陷阱，目的就是为了给学生敲响警钟。拓展提升是根与系数关系的综合应用，利于提高学生思考的广度和深度，能够给予学生必要的知识补充.指导学生养成系统整理知识的好习惯，加强教学反思，进一步提高教学效果.分层作业，在落实巩固课堂所学知识同时，照顾了学生中“吃不饱”、“吃不了”的两头难的问题，满足了大部分学生的求知欲，使学生分别能体验到成功的喜悦。
☆ 板书设计
一元二次方程根与系数的关系（1）
☆ 学生学习活动评价设计
学生自我评价1.能否认真听老师讲课？ A.能 B.经常 C.偶尔 D.不能2.遇到我会的问题能否主动发言或举手？ A.能 B.不能 C.偶尔3.遇到问题能否善于思考？ A.能 B.不能4.小组合作学习时能否突出自己的看法？ A.能 B.不能5.对于本节课所学知识是否掌握？ A.是 B.否 C.部分掌握6.课堂练习及课后作业是否独立完成？ A.是 B.否 C.部分独立完成
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☆ 教学基本信息
课题 21.2.4一元二次方程根与系数的关系（1）
☆ 指导思想与理论依据
采用“引导-发现”的教学模式，在教师的组织安排下，学生自觉参与数学活动，在互动交流中，学生发现问题，并在教师的引导下利用已学的知识获取新知；在课堂学习中，学生通过归纳、应用，获得成功的体验，形成积极的数学学习动机。
☆ 教材分析
中学阶段我们研究的多项式函数中有二次函数，研究的几何图形中有二次曲线，因此一元二次方程便成为了方程中研究的重要内容。一元二次方程中，求根公式向我们揭示了两根与系数间的密切关系，而根与系数还有更进一步的发现，这一发现在数学学科中具有极强的实用价值，本节内容既是代数式、一元一次方程和一元二次方程求根公式等知识的进一步深化，又蕴含丰富的数学思想方法，也为学生将来的学习打下了必要的基础。
☆ 学情分析
随着年龄的增长以及实验几何向论证几何的逐步推进，初三学生的逻辑推理能力已有了较大提高，因此在学过了一元二次方程的解法后，自主观察探究发现根与系数的关系是有可能的，并且我所执教的学生有较强认知力和求知欲，基于以上思考，本节课在设计中扩大了学生的参与度。
☆ 教学目标
1、知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和。2、能力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。3、情感目标：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。
☆ 教学重点和难点
教学重点 一元二次方程根与系数的关系．教学难点 两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数中的符号
教学过程
教学环节 教师活动 预设学生行为 设计意图
问题引探（二）观察发现（三）猜想证明（四）形成定理（五）应用创新（六）归纳小结（七）布置作业 解下列方程：（1）x2－2x＝0（2）x2＋3x－4＝0（3）2x2+5x＋3＝0并完成表格。观察、思考方程两根之和与两根之积与方程的系数有何关系，你能从中发现什么规律？大胆猜想：方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别为x1和x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝.提出问题：如何证明上面的猜想？并步步引导学生经历猜想—-证明的思维过程。归纳并板书：若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别为x1和x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝.这就是韦达定理。1.试一试：根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为x1，x2、k是常数）（1）2x2-3x+1=0 x1+x2=_____x1x2=_______ （2）3x2+5x=0 x1+x2=_____ _ x1x2=________ （3）5x2+x-2=0 x1+x2= ______ x1x2=________ （4）5x2+kx-6=0 x1+x2= ______x1x2= _______2.学以致用：例1 [教材例4变式题] 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积．(1)x2－7x＋6＝0；(2)6x－1＝5x2；(3)2x2＋x＋1＝0；(4)x2＝x.[解析] 先将方程化为一般形式，再计算b2－4ac的值，若其值大于或等于零，则可根据一元二次方程的根与系数的关系求其两根之和与积．结合学生板演进行分析归纳。3.拓展提升①已知方程6x2+kx-5=0的一个根为1，求它的另一个根及k的值。②利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根的（1）平方和；（2）倒数和。本课主要研究了什么？（必做题）1、教材P17习题21.2第7题 2、已知方程x2－2x－c＝0的一个根是3，求方程的另一个根及c的值．（选做题）3、已知方程的根是x和x，求下列式子的值：（1） + （2） 学生自主选择适当的方法解方程，并完成填空，然后交流答案。学生通过计算、观察、分析，发现一元二次方程中根与系数的关系。学生陈述自己观察思考所得结论，并运用已学知识与老师共同整理证明过程。证明：当Δ≥0时，由求根公式得x1＝，x2＝，所以x1＋x2＝＋＝－＝－，x1x2＝·＝＝＝；.学生用自己的语言表述两根和、两根的积与系数的关系。学生自主完成，口头作答。学生通过分组学习课本例题，讨论求解完成各题解：(1)∵Δ＝(－7)2－4×6＝25>0，∴x1＋x2＝7，x1x2＝6.(2)方程可化为5x2－6x＋1＝0，∵Δ＝(－6)2－4×5×1＝16>0.∴x1＋x2＝，x1x2＝.(3)Δ＝12－4×2×1＝－7<0，∴原方程无实数根，故不存在两根之和与两根之积．(4)方程可化为x2－x＝0，Δ＝(－)2－4××0＝2>0，∴x1＋x2＝＝，x1x2＝0.学生思考问题并口头答题。学生反思归纳：1、在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中， 当 b2-4ac≥0 时，x1+x2= － ，x1x2= . 2、方程根与系数关系的有关应用。（1）已知一根求另一根及k的值；（2）求有关代数式的值。抄记作业。 复习巩固解一元二次方程的旧知识，并为新知识的学习做铺垫.发展学生的感性认识，体会由特殊到一般的认识过程.1.进一步分析、验证所发现的根与系数的关系，为从感性到理性打好基础．2．通过设置问题使学生明确利用一元二次方程根与系数的关系进行计算需要满足Δ≥0.3．探究根与系数关系的结论，培养学生严谨的学习态度.通过归纳与对定理的阐述表达，加深学生对根与系数关系的理解和记忆。“试一试”是引导学生及时巩固本节所学的新知“根与系数的关系”，其中第（1）（3）小题是培养学生思维严谨性和批判性；第（4）小题是起过渡作用设计。例4的变式题系数与例题有别，在于强调应用根与系数的关系时，一定要先判断b2－4ac的正负性，因为必须在方程有根的情形下才存在方程根与系数的关系．其中第（3）小题设置了陷阱，目的就是为了给学生敲响警钟。拓展提升是根与系数关系的综合应用，利于提高学生思考的广度和深度，能够给予学生必要的知识补充.指导学生养成系统整理知识的好习惯，加强教学反思，进一步提高教学效果.分层作业，在落实巩固课堂所学知识同时，照顾了学生中“吃不饱”、“吃不了”的两头难的问题，满足了大部分学生的求知欲，使学生分别能体验到成功的喜悦。
☆ 板书设计
一元二次方程根与系数的关系（1）
☆ 学生学习活动评价设计
学生自我评价1.能否认真听老师讲课？ A.能 B.经常 C.偶尔 D.不能2.遇到我会的问题能否主动发言或举手？ A.能 B.不能 C.偶尔3.遇到问题能否善于思考？ A.能 B.不能4.小组合作学习时能否突出自己的看法？ A.能 B.不能5.对于本节课所学知识是否掌握？ A.是 B.否 C.部分掌握6.课堂练习及课后作业是否独立完成？ A.是 B.否 C.部分独立完成
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