河南省漯河市临颍县第一高中2021-2022学年高二12月模拟数学试卷（Word版含答案）

临颍县第一高中2021-2022学年高二12月数学模拟试卷
一、单选题
1.双曲线 的实轴长为（ ）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
2.已知圆 ，则通过原点且与圆 相切的直线方程为（ ）．
A. B. C. D.
3.圆 与圆 的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 相离
4.若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
5.如图，已知直线l与圆 相交于A，B两点，若平面向量 ， 满足 ，则 和 的夹角为（ ）
A. 45° B. 90° C. 120° D. 150°
6.若角120°的终边上有一点（﹣4，a），则a的值是（ ）
A. B. C. D.
7.已知 ， ，若 ，则 等于（ ）
A. 1 B. 2 C. D. 3
8.抛物线 的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
9.已知 且 ，则 （ ）
A. B. C. 0 D.
10.命题“ 中，若 ，则 ”的结论的否定应该是（ ）.
A. B. C. D.
11.已知三棱柱 中， ， ，D点是线段 上靠近A的一个三等分点，则 （ ）
A. B. C. D.
12.5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以 为概率的事件是（ ）
A. 都不是一等品 B. 恰有一件一等品 C. 至少有一件一等品 D. 至多一件一等品
13.已知复数 ，为虚数单位，则 的最小值是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
14.已知 ，则 ( )
A. 364 B. -364 C. 365 D. -365
15.已知幂函数 的图象过点 ，且 ，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
16.已知关于 的实系数一元二次方程的一个根在复平面上对应点是（2，1），则这个方程可以是（ ）
A. B. C. D.
17.已知正方形 的边长为 ， 边的中点为 ，现将 分别沿 折起，使得 两点重合为一点记为 ，则四面体 外接球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
18.若正数x，y满足 ，当 取得最小值时， 的值为（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5
19.2020年初，新型冠状病毒（ ）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：
周数（ ） 1 2 3 4 5
治愈人数（ ） 2 17 36 103 142
由表格可得 关于 的回归方程为 ，则此回归模型第4周的残差（实际值与预报值之差）为（ ）.
A. 5 B. -13 C. 13 D. 0
20.下面几种是合情推理的是（ ）
①已知两条直线平行同旁内角互补，如果 和 是两条平行直线的同旁内角，那么
②由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质
③数列 中， 推出
④数列 ， ， ， ，…推测出每项公式 ．
A. ①② B. ②④ C. ②③ D. ③④
二、填空题
21.等比数列 的前 项和记为 ，满足 ， ， ， ，则 的值为________.
22.在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=lnx在x=e（e为自然对数的底数）处的切线与直线ax﹣y+3=0垂直，则实数a的值为 ．
23.某成品的组装工序流程图如图所示，箭头上的数字表示组装过程中所需要的时间（小时），不同车间可同时工作，同一车间不能同时做两种或两种以上的工作，则组装该产品所需要的最短时间是 小时．
24.已知空间直角坐标系中，某二面角 的大小为 ， ，半平面 和 的一个法向量分别为 ， ，则 ________（结果用反三角函数值表示）.
25.2020年11月，我国用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，探测器在进入近圆形的环月轨道后，将实施着陆器和上升器组合体与轨道器和返回器组合体分离.我们模拟以下情景：如图，假设月心位于坐标原点 ，探测器在 处以 的速度匀速直线飞向距月心 的圆形轨道上的某一点 ，在点 处分离出着陆器和上升器组合体后，轨道器和返回器组合体立即以 的速度匀速直线飞至 ，这一过程最少用时 s.
三、解答题
26.抽样得到某次考试中高二年级某班8名学生的数学成绩和物理成绩如下表：
学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8
数学成绩x 60 65 70 75 80 85 90 95
物理成绩y 72 77 80 84 88 90 93 95
(参考公式：回归直线方程为 ＝ x＋ ，其中
，a＝ －b .参考数据： ＝77.5，
≈84.9， ， .)
（1）求y与x的线性回归直线方程(系数保留到小数点后两位)．
（2）如果某学生的数学成绩为83分，预测他本次的物理成绩．
27.已知数列 的前 项和 （ ），数列 满足 ．
（1）求证：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
28.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为 立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．
①写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
②求该容器的建造费用最小时的r.
29.已知椭圆 和双曲线 ，点 ， 为椭圆的左，右顶点，点 在双曲线 上，直线 与椭圆 交于点 （不与点 ， 重合），设直线 ， ， ， 的斜率分别为 ， ， ， .
（1）求证： ；
（2）求证： 的值为定值.
30.已知函数 ， .（ 为自然对数的底数.）
（1）求 的值域；
（2）设 ，若 在区间 有零点，求实数a的取值范围.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
2.【答案】 C
3.【答案】 A
4.【答案】 B
5.【答案】 C
6.【答案】 A
7.【答案】 B
8.【答案】 B
9.【答案】 D
10.【答案】 B
11.【答案】 A
12.【答案】 D
13.【答案】 C
14.【答案】 C
15.【答案】 B
16.【答案】 A
17.【答案】 D
18.【答案】 B
19.【答案】 C
20.【答案】 B
二、填空题
21.【答案】 5
22.【答案】 -e
23.【答案】 11
24.【答案】
25.【答案】
三、解答题
26.【答案】 （1）解：从散点图可以看出，这些点分布在一条直线附近，因此可以用公式计算.
由 ， ，
得 .
由 ＝77.5， ≈84.9，
得a＝ －b ≈84.9－0.66×77.5＝33.75，
所以回归直线方程为 .
（2）解：当x＝83时，
y＝0.66×83＋33.75
＝88.53≈89.
因此某学生数学成绩为83分时，物理成绩约为89分
27.【答案】 （1）解：∵ （ ），
当 时， （ ），
∴ ，化为 ，
∵ ，∴ ，
即当 时， ，令 ，可得 ，即 ．
又 ，
∴数列 是首项和公差均为1的等差数列．
于是 ，∴ ．
（2）解：由（1）知 ，∴
，
，
∴ ，
∴
∴ ，∴ .
28.【答案】 解：①由体积V= ，解得l= ，
∴y=2πrl×3+4πr2×c
=6πr× +4cπr2
=2π ，
又l≥2r，即 ≥2r，解得0＜r≤2
∴其定义域为（0，2]．
②由①得，y′=8π（c﹣2）r﹣ ，
= ，0＜r≤2
由于c＞3，所以c﹣2＞0
当r3﹣ =0时，则r=
令 =m，（m＞0）
所以y′=
当0＜m＜2即c＞ 时，
当r=m时，y′=0
当r∈（0，m）时，y′＜0
当r∈（m，2）时，y′＞0
所以r=m是函数y的极小值点，也是最小值点．
当m≥2即3＜c≤ 时，
当r∈（0，2）时，y′＜0，函数单调递减．
所以r=2是函数y的最小值点．
综上所述，当3＜c≤ 时，建造费用最小时r=2；
当c＞ 时，建造费用最小时r=
29.【答案】 （1）解：由题： 满足 ，
；
（2）解：根据曲线的对称性不妨设直线 ， ，
联立 得 ， ，
不妨取 ，
同理可得：
所以 的值为定值.
30.【答案】 （1）解： ，当 时， ；当 时， 且 ，
∴ 在区间 ， 单调递减， 单调递增.
时， ， ，又∵ ，
由图可知 的值域为 .
（2）解： ， ，
令 ，则 ，
∵ ，∴ .
①当 ，即 时， ，∴ 即 在 单调递增，
又∵ ， ，∴存在 ，使得 ，
∴ 在区间 单调递减， 单调递增.
又∵ ， ，∴当 时， .故 在区间 内无零点.
②当 ，即 时， ，∴ 即 在 单调递减，
又∵ ， ，∴存在 ，使得 ，
∴ 在区间 单调递增， 单调递减.
又∵ ， ，∴当 时， .故 在区间 内无零点.
③当 ，即 时，令 ，解得 ，令 ，解得 ，
∴ 即 在区间 单调递减， 单调递增，
∴ ，
令 ， ，则 ，
当 时，解得 ；当 时，解得 ；
∴ 在区间 单调递增， 单调递减.
∴ ，∴ .

由图可知，只有满足 ，即 时， 在 有零点.
综上所述， .