(共14张PPT)
人教2019A版必修 第二册
6.1 平面向量的概念
第六章 平面向量及其应用
情景导入
A 同学：请问从这里到达图书馆怎么走？
B同学：从这里走200m就到达图书馆了。
同学B到达不了图书馆的，因为他不知道方向
想一想。同学币能到达图书馆吗？
情景一
1200公里
1200公里
1200公里
1200公里
如果只知道目标距航母的距离为1200公里，能否确定目标的具体位置？能否击中目标？
不考虑其他因素的情况下，导弹击中目标还需要知道目标的
________.
方向
情景导入
情景二
01
在物理中有许多量既有大小又有方向.
02
力
03
速度
位移
我们把这样的量在数学中就称为向量，今天我们就来学习关于向量的知识。
一：向量的概念
定义：既有大小又有方向的量叫向量。
2.向量与数量的区别：
②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能比较大小的，因此向量不能比较大小。
注：1.向量两要素：
大小，方向
①数量只有大小，可以比较大小。
新课讲解
二：向量的几何表示
探究：由于实数与数轴上的点一一对应，数量常常用数轴上的一个点表示，那么，怎么表示向量呢？
我们仍以位移为例，小船以A为起点，B为终点，我们可以用连接A，B两点的线段长度代表小船行进的距离，并在终点B处加上箭头表示小船行驶的方向.于是，这条“带有方向的线段”就可以用来表示位移。
线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段
A（起点）
B（终点）
以A为起点、B为终点的有向线段记作 .
线段AB的长度也叫做有向线段 的长度，记作 .
箭头所指的方向表示有向线段的方向.
二：向量的几何表示
A
B
画图时，我们常用有向线段来表示向量 ，线段按一定比例（标度）画出.其中有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.
三：向量的代数表示
一般可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如
若表示向量的有向线段没有标注起点和终点字母，向量也可用黑体字母a，b，c，…（书写时用注意用 表示）.
他们有怎样的区别和联系？
有向线段三要素：起点、大小、方向
向量两要素：大小和方向
思考
联系
向量可以用有向线段来表示。
区别
1.有向线段他和起点有关，如果大小和方向相同，起点不同他表示不同的有向线段。
2.向量可以选任意点作为起点，它只和大小，方向有关。
A
B
C
D
有向线段AB、CD
是不同的。
A
B
C
D
向量 AB、CD 是
同一个向量。
向量 的大小，就是向量 的长度（或称模）,记作 ，
或者记作 .
四：向量的模
五:两个特殊向量
1.零向量:
2.单位向量:
长度（模）为1个单位长度 的向量
长度（模）为0的向量，记作
规定： 方向是任意的。
五.相等向量与共线向量
(1).相等向量
长度相等且方向相同的向量叫相等向量
2.零向量与零向量相等
3.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。
注：1.若向量 相等，则记为 ；
规定：零向量与任一向量平行
方向相同或相反的非零向量. 向量 与 平行，记作
（2）平行向量：
(3).共线向量：
任一组平行向量都可移到同一条直线上 ，所以平行向量也叫共线向量
比例 1：8 000 000
解：
AB表示A地至B地的位移；
AC表示A地至C地的位移.
例1 在图中，分别用向量表示A地至B、C两地的位移，并根据图中的比例尺，并求出A地至B、C两地的实际距离（精确到1km）.
例题讲解
OA = DO = CB
例2．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，
（1）写出图中的共线向量；
（2）分别写出图中与向量OA、OB、OC相等的向量.
OB = DC = EO
OC=AB=ED=FO
解：（1） 是共线向量；
是共线向量；
是共线向量；
（2）
随堂练习
课堂小结
向量
向量的概念
向量的表示
向量的关系
两个特殊的向量(共15张PPT)
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6.2.1 平面向量的加法
第六章 平面向量及其应用
1：如图，某人从A点走到B.然后从B点走到C.这个人所走过的位移是多少
A
B
C
分析 :由物理知识可以知道:
从A点到B点然后到C点的合位移,就是从A点到C点的位移.
AB
BC
AC
=
+
情景导入
类似位移的和这节课我们就来探究有关向量的加法运算
此时我们把位移的和看成向量的加法
作法（1）在平面内任取一点A
A·
B
C
这种作法叫做向量加法的三角形法则（“作平移,首尾连,由起点指终点”）
位移的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型。
新课讲解
首尾相连首尾接
探究 1：向量加法的三角形法则
2.如图，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力 与 的作用，你能作出这个物体所受的合力F吗？
根据力的合成法则可知：合力F在以OA,OB为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于这条对角线的长。
A·
B·
O·
从运算的角度看，F可以看作是 与
的和，即力的合成可以看作向量的加法。
情景导入
b
a
A
a
a
a
a
a
b
b
b
D
b
a
B
a
C
b
a+b
起点相同连对角
(1)在平面内任取一点A
(2)以点A为起点以向量a、b为邻边作平行四边形 ABCD.
(3)则以点A为起点的对角线AC＝a+b
作法:
→
→
→
→
→
探究3 向量加法的平行四边形法则
A
B
C
C
B
A
2、方向相反
b
a
1、方向相同
a
b
AC = a + b
AC = a + b
两向量的和仍是一个向量
对应于数轴上的一条有向线段.
探究4 当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？
思考4： n个向量的和向量怎样计算？
由此可得：n个向量连加是将向量加法的三角形法则推广为n个向量相加的多边形法则:由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和.(注意:首尾相接)
A
B
C
D
探究5 n个向量加法的三角形法则
（1）｜a+b｜= ｜a｜+｜b｜
（2）｜a+b｜= ｜a｜– ｜b｜
(或｜b｜–｜a｜ )
（3）｜a+b｜< ｜a｜+｜b｜
一般地，我们有：｜a+b｜≤｜a｜ +｜b｜
与b共线且方向相同
a与b共线且方向相反
a与b不共线
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
探究5 当 a, b 处于什么位置时，向量模的关系
问题1：你能说出实数运算有哪些运算律吗？ 对于不同的运算它们的运算律都相同吗？
问题2：定义了一种新的运算,自然要研究其运算律问题.请类比数的加法的运算律,你认为向量的加法是否也有运算律？有哪些运算律？
问题3：请你探究一下向量加法的交换律，结合律是否成立.请作图进行探索.
探究6 向量加法的运算律
b
a
b
a
+
a
b
b
a
+
b
a
b
a
c
c
a+b
b+c
交换律：
结合律：
A
B
C
D
A
B
C
D
例1：如图，已知向量a、b，求作向量a+b.
●
O
作法1：三角形法则
A
B
●
O
A
B
C
a
b
a
b
+
OB=
a
b
+
OC=
作法2：平行四边形法则
例题讲解
例2 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过进行轮渡运输。如图所示，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15千米每小时，同时江水的速度为向东6千米每小时。
（1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
（2）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向 （用与江水速度间的夹角表示，精确到1度）。
A
B
D
C
随堂练习
小结
1、三角形法则：首尾相连首尾接
2、平行四边形法则：起点相同连对角
交换律
结合律
3、运算律：
+
+
=
+
+
( )
=
+
+
( )
向量的加法运算(共13张PPT)
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6.2.2 平面向量的减法
第六章 平面向量及其应用
1、向量加法的三角形法则
b
a
O
a
a
a
a
a
a
a
a
b
b
b
b
b
b
b
B
b
a
A
注意：
a+b
各向量“首尾相连”，和向量由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点.
复习巩固
b
a
A
a
a
a
a
a
a
a
a
b
b
b
B
b
a
D
a
C
b
a+b
作法:(1)在平面内任取一点A；
(2)以点A为起点以向量a、b为邻边作平行四边形
ABCD.即AD＝BC＝a,AB=DC=b ；
（3）则以点A为起点的对角线AC＝a+b.
2、向量加法的平行四边形法则
注意起点相同.共线向量不适用
3.还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？
4.两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？
实数 的相反数记作 。
我们怎样来定义向量的减法，这节课我们就一起学习向量的减法
规定：
设向量 我们把与 长度相同，方向相反的向量叫做 的相反向量
（1）
（3）设 互为相反向量，那么
的相反向量仍是 。
（2）
新知讲解
一.相反的向量
记作：
求两个向量差的运算叫做向量的减法。
向量 加上向量 的相反向量，叫做 与 的差，即
二.怎样定义向量的减法？
由此可知，向量的减法运算可以看成向量的加法运算
问题：已知向量 ，试作出
作法
-b
C
a
A
O
D
B
由此，我们得到 的作图方法
三.向量的减法运算
问题：根据三，思考一下向量减法的几何意义是什么？
b
a
a
O
-b
A
B
四.向量减法的几何意义
向量减法的三角形法则
注意：
（1）起点必须相同。（2）指向被减向量的终点。
1.共线同向
2.共线反向
B
A
C
A
B
C
五.非零共线向量怎样做减法运算？
已知向量 ，求作向量 ， 。
例3
O
B
A
C
D
作法：
在平面内任取一点O，
则
作
记忆口诀：
起点相同，连接终点，指向被减向量的终点。
例题讲解
例4
在 ABCD 中，
你能用 表示 吗？
D
B
A
C
解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道
同样，由向量的减法，知
A
B
C
D
（1）当 满足什么条件时， 与 垂直？
（2）当 满足什么条件时， ？
（3） 与 可能是相等向量吗？
不可能.因为平行四边形的两条对角线方向不同.
例题拓展 根据右图，回答问题：
注意;向量减法三角形法则
（口诀：起点相同，连终点，指向被减向量）。
3、平面向量减法的几何意义
2、平面向量的减法运算法则
1、相反向量
小结(共19张PPT)
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6.2.3 向量的数乘运算
第六章 平面向量及其应用
1.向量加法三角形法则:
特点:首尾相接，首尾连
特点:共起点
B
A
O
特点：共起点，连终点，方向指向被减数
2.向量加法平行四边形法则:
3.向量减法三角形法则:
复习巩固
课前思考
我们知道对于实数加法满足
那么如果n个向量相加结果有如何呢？
这节课我们就一起学习向量的数乘
O
A
B
C
N
M
Q
P
记:
即:
同理可得:
想一想: 向量 与向量 有什么关系 向量 与向量 有什么关系
(1)向量 的方向与 的方向相同, 向量 的长度是 的3倍,即
(2)向量 的方向与 的方向相反, 向量 的长度是 的3倍,即
新课讲解
思考1:已知向量 如何作出 和
一、向量的数乘运算的定义：
注意：比较两个向量时,主要看它们的长度和方向
=
探究一: 实数与向量积的运算律
探究一: 实数与向量积的运算律
=
探究一: 实数与向量积的运算律
实数与向量积的运算律：
结合律
分配律
分配律
总结：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。向量的线性运算的结果仍为向量。
对于任意向量 ，以及任意实数 ，恒有
实数与向量积的运算律：
例5.计算：
解:
注：向量与实数之间可以象多项式一样进行运算.
例题讲解
A
B
C
M
D
探究二.引入向量数乘运算后你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？
向量共线定理
思考: 为什么要是非零向量
2) 可以是零向量吗
向量 与 共线的充要条件是：存在有唯一一个实数 ，使
可以
1.把下列各小题中得向量b表示为实数与向量a得积.
随堂练习
A
B
C
O
解：
,且有公共点Ａ
例3.
设AB=2(a+5b)，BC= 2a + 8b，CD=3(a b)，
求证：A、B、D 三点共线。
分析
要证A、B、D三点共线，可证
AB=λBD关键是找到λ
解：
∵BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5b
∴AB=2 BD
∴ A、B、D 三点共线
AB∥ BD
且AB与BD有公共点B
向量 与非零向量 共线 有且仅有一个实数 ，使得 ．
例8.已知 是两个不共线的向量，向量 共线，求实数 的值。
解：由 不共线，易知向量 为非零向量。
由向量 共线，可知存在实数t，使得
即
因为向量 不共线，
所以
解得
所以，当向量 共线时，
一、1.数乘向量的定义及运算律
2.向量共线定理
二、定理的应用：
1. 证明 向量共线
2. 证明 三点共线: AB=λBC A,B,C三点共线
3. 证明 两直线平行:
AB=λCD AB∥CD
AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD
小结(共21张PPT)
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6.2.4向量的数量积
第六章 平面向量及其应用
1.数乘定义：
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：
(1) |λa|=|λ| |a|
(2) 当λ>0时,λa 的方向与a方向相同；
当λ<0时,λa 的方向与a方向相反；
特别地，当λ=0或a=0时, λa=0
复习巩固
2.运算律：
设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：
① λ(μa)=(λμ) a
② (λ+μ) a=λa+μa
③ λ(a+b)=λa+λb
思考1 一个物体在力F 的作用下产生的位移s，那么力F 所做的功应当怎样计算？
思考2：功是一个矢量还是标量？它的大小由那些量确定？
θ
s
F
F
标量，大小由力、位移及它们的夹角确定。
新课讲解
在这里我们把功看成两个向量相乘的结果，本节课我们主要学习向量的数量积
探究一 ：向量的夹角
O
A
B
a
b
O
A
B
b
a
当 ，
向量同向
O
A
B
b
a
当 ，
向量反向
O
A
B
a
b
当 ，
向量垂直
记作
已知
特殊情况1
特殊情况3
特殊情况2
注意：
计算向量的夹角时，要将两个向量起点放在一起.
思考：根据功的定义，你能推导出数量积的定义吗？它和向量的加、减以及数乘运算有什么区别？
数量积定义：
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
对比向量的线性运算，我们发现，向量线性运算的结果是一个向量，而两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关。
探究二 ：向量的数量积
思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？
当0°≤θ ＜ 90°时 为正；
当90°＜θ ≤180°时 为负。
当θ =90°时 为零。
数量积符号由cos 的符号所决定
探究三 ：向量的数量积的正负
例9.已知
解：
=-10
例题讲解
解：由 得
因为 所以 。
最后求出的值，一定根据向量夹角的范围确定大小
D
C
A
B
探究四 ：投影及投影向量
O
M
N
O
M
N
思考：
由此可得数量积的几何意义：
O
M
N
O
M
N
探究五：数量积的性质
O
M
N
探究五：数量积的性质
探究五：数量积的性质
两个非零向量相互平行或垂直时，投影向量具有特殊性，你能得出
向量的数量积的特殊性质吗？
设 是非零向量，它们的夹角是 ， 是与 方向相同的单位向量，则
(3)当向量 与 共线同向时，
当向量 与 共线反向时，
(4)
思考：数的乘法有相应的运算律，你能根据向量的线性运算的运算律得到数量积运算的运算律吗？你能证明吗？
探究六：数量积的运算律
思考：
以此类推，可得数量积运算的运算律如下：
不一定。因为其结果是一个向量
左右两边不一定相等，所以不一定成立。
探究六：数量积的运算律
例11：
例题讲解
例12：
向量数量积的求法
(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及两个向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．
(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．
例题讲解
例5：
求向量的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用 ，勿忘记开方．
(2) ， 可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
例题讲解
随堂练习
3、投影的定义
2、数量积运算的定义
1、向量的夹角
4、数量积运算性质
5、数量积运算运算律
小结(共14张PPT)
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6.3.1平面向量基本定理
第六章 平面向量及其应用
一.共线向量定理
当 时，
与 同向，
且 是 的 倍;
当 时，
与 反向，
且 是 的 倍;
当 时，
，且 .
复习巩固
二.向量的加法运算是什么运算法则呢？
A
B
C
三角形法则
作平移,首尾连,由起点指终点
AB
BC
AC
=
+
平行四边形法则
作平移,共起点,四边形,对角线
A
C
B
O·
OA
OB
OC
=
+
复习巩固
新课讲解
e2
a
e1
o
B
A
C
M
N
OM与OA共线
OM = λ1OA = λ1e1
同理ON= λ2OB = λ2 e2
∴a = λ1e1 + λ2 e2
新课讲解
e2
e1
a
思考1：若向量a与e1或e2共线，a还能用λ1e1＋λ2e2表示吗？
e1
a
a=λ1e1+0e2
e2
a
a=0e1+λ2e2
思考2：当 是零向量时， 还可以表示成 的形式吗？
思考3：设 是同一平面内两个不共线的向量，在 中 ，
是否唯一？
假设 ，
则 ，
即
所以
所以
所以 唯一
平面向量基本定理
1. 如果是 同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面的任意向量
使
一对实数
有且只有
把不共线的向量 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
由此可得结论
例题讲解
例题讲解
随堂练面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示.即
本节学习了：
（2）能够在具体问题中适当的选取基底，使其它向量都能够统一用这组基底来表达.
这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.
小结
（1）平面向量基本定理：(共11张PPT)
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6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
第六章 平面向量及其应用
平面向量的基本定理
其实质：同一平面内任一向量都可以用两个不共线向量来表示.
复习巩固
情景导入
如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为 ，下滑力为 ，木块对斜面的压力为 ，这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？
在物理中，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算.力也可以分解，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来，就会形成一个新的数学理论.
情景导入
在平面上，选取互相垂直的向量作为基底向量互相垂直的
两个方向分解就是正交分解。
这里，我们把（x,y）叫做向量的（直角）坐标，记作
①
其中，x叫做 在x轴上的坐标，y叫做 在y轴上的坐标，①式叫做向量的坐标表示。
如图， 是分别与x轴、y轴方向相同的单位向量，取 为基底，则
思考1：在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）
表示。那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢？
新课讲解
概念理解
O
x
y
A
1．以原点O为起点作 ，点A的位置是唯一确定的吗？由谁确定
由 唯一确定.
2．点A的坐标与向量 的坐标的关系？
两者相同
向量
坐标（x ，y）
一 一 对 应
O
x
y
A
例3：用基底 分别表示向量 并求出它们的坐标.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
A
B
1
2
-2
-1
x
y
4
5
3
例题讲解
若
则
归纳总结:
随堂练习
1、平面向量的正交分解；
2、平面向量的坐标表示；
3、平面向量的坐标与点的坐标之间的联系；
课堂小结
