浙江省湖州市高级中学2022届高三上学期期中考试数学试卷（扫描版含答案）

高三数学参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C A D B D C B C A B
9. 解： f x f a x3 3x a3 3a x a x2 ax a2 3 x a
x a x2 ax a2 3 x a x b x c ，即 b,c为方程 x2 ax a2 3 0的两个根.
则有 b c a， bc a2 3 , 12 3a2 0，可得 0 a 2 .
1 1 b c 8= = 8 a .
b 4 c 4 bc 4(b c) 16 a2 4a 13

令 t 8 a，则 a 6,8 8 a t 1 8 5 2，所以 2 , .a 4a 13 t2 12t 45 t 45 12 13 6
t
10. 解：由 2an 2an 1 2an 1 2an 1 1 可得 2an 1 2an 1 1 2an 1 2an 1 1 ，
1 1
化简得 a a 1 n
1 1
2 ，累加求和得 n 2，
2 n 1 1 2 n 1 2an 1 2a2 1
化简得 2a 1 1 1 1n 1 1 1 ，因为 2 1 0,1

，所以 2an 1 ,1 ，
n 2 n 2 1 n 1 n 1
22 1
即 log n 22 an log
n 1
， n 2 .
n 1 2 n
S a 1n 1 a2 an log2 log
4 5 n 2 n 2
2 log2 log log ,2 3 4 2 n 1 2 6
S a a a log 1 log 3 log 4 log n 1 log n 1n 1 2 n 2 2 2 2 2 .2 2 3 n 4
所以 log 82 2 log
2023 1011 9
2 S2021 log2 log22 ，即8 S6 2 2021
9 .
二、填空题
11 1,0 6 12 13 2 4． ， ； ． ； ． ， ；
3 3 3
14． 7； 15．84 2 3 ， ； 16． 4， , 3
2
；
17 7 2． ．
10
高三数学参考答案 第 1页（共 6页）
16.解：法一：已知 sin A sin B 2sin ACB，由正弦定理得 a b 2c 4 .
又因为CD为 C的角平分线，可得面积关系为 S CAB S CAD S CBD ，
记 ACB 1 ，则有 absin
1 b CD sin 1 a CD sin
2 2 2 2 2

CD absin
abcos 6 3
可得 2 ,又由余弦定理得 ab ，即CD .
(a b)sin 2 1 cos 2cos
2 2
ab a b
2 6 1 3
又 4，即 4，所以 cos ， 0 ，此时 cos 1 .
2 1 cos 2 3 2 2
3
即 CD 3 .
2
法二：由已知可得CA CB 4(4 AB 2)，所以点C在以 A，B为焦点的椭圆上（去掉与直线 AB的两个
x2 y2
交点），轨迹方程为 1 y 0
4 3 .
根据CD为 C的角平分线，及面积关系 S CAB S CAD S CBD ，
记 ACB S 1，可得 CAB CA CD sin
1
CB CD sin ，
2 2 2 2
S 1即 CAB CA CB CD sin

2CD sin .
2 2 2
2
又由椭圆焦点三角形的面积公式可得 S CAB 3 tan ，2
CD 3 3 3
所以 2cos ，又
0 ，此时 cos 1，即 CD 3 .
2 3 2 2 2
17. 1 1解：记 a OA,b OB, a OD,则 c a DC 1 ,即点
2 2
C的轨迹是以 D为圆心，半径为 1 的圆.过 A,B两点的圆 E与圆 D相
外切，记切点为C，此时 ACB最大(如图).
下证上述结论：取圆D上不同于切点C的C '点，因为C '在圆 E的外面，
所以 ACB AC 'B .
下面求当 ACB（ ）最大时， sin 的值.
E AB 2 2 2记圆 的半径为 r，则 sin .
2r 2r r
所以只需求出圆 E的半径为 r即可.
法一：如右图，M 为弦 AB的中点，
在 ADM 中，由余弦定理求得 DM 5 ，
高三数学参考答案 第 2页（共 6页）
cos 1 AMD ，则 cos DME 3 .
10 10
3
在 DME中， cos DME ，DE r 1，
10
DM 5 10，ME r 2 2 ，由余弦定理得， r .
7
sin 7 2即 .
10

法二：如图建系， a OA (2,0)， b OB (0,2)，OD (-1，0)，点C在以D为圆心，1为半径的圆上 .
以 AB为弦长作圆 E，当圆 E与圆D外切时 ACB最大.
圆心 E在弦 AB的中垂线 y x上，设 E(a,a)，
则 | ED | 1 | EA |，
即 ，a 1 2 a2 1 a 2 2 a2
8
化简得 7a2 8a 0，即 a 或 a 0（舍去），7
此时 r EA 10 ,得 sin ACB 2 7 2 .
7 r 10
三、解答题
18. 2 x 1（本题 14 分）解： f (x) sin( ) .…………………3 分
2 2 4 2
（Ⅰ）最小正周期T 4 .…………………5 分
3
单调递增区间为 [ 4k , 4k ],k Z . …………………8 分
2 2
x 5
（Ⅱ）因为 x 0,2 ，所以 , sin(
x ) 2 ,1
2 4 4 4 2 4 2
，…………………12 分
，
2 1
因此，函数 f (x)的值域 0, .……………………………14 分
2
19（. 本题 15 分）解：（Ⅰ）由题意知， PCD为等腰直角三角形，AB PD，且在翻折过程中始终有 SA AB，
AD AB，故 SAD即为二面角 S AB D的平面角，
于是 SAD 60 ， SAD为正三角形.…………………3分
取 SA的中点 N ，连接MN ,DN ，则MN SA，DN SA，又MN DN N ，故 SA 面MDN ，
因此 SA DM . …………………6分
（Ⅱ）法一：设 PD CD 2，由（Ⅰ）知 SAD为正三角形，且 BS BD 2 . 取 SD的中点G ，连接 AG,BG，
高三数学参考答案 第 3页（共 6页）
则 SD BG , SD AG , AG SG G，故 SD 面 ABG，于是有面 BSD 面 ABG .
过点 A作 AH BG 交 BG 于点H，连接 SH ，则有 AH 平面BSD ,
所以 ASH为直线 SA与平面 SMD所成角.………11 分
因为 AB 面 SAD，所以 AB 3 AG . 又因为 AB 1, AG ，
2
21
所以 AH . …………………13 分
7
因此， sin ASH AH 21 .…………………15 分
AS 7
法二：以 A为坐标原点， AD, AB所在直线为 x轴和 y轴，如图所 示建立
空间直角坐标系.设 PD CD 2，则
1 3
A 0,0,0 ,B 0,1,0 ,D 1,0,0 , S ,0, ，
2 2


1 1 M , , 3 MD 3 , 1 , 3
1 3
于是 ， ， SD 4 2 4 4 2 4
,0, .
2 2



设平面 SMD的一个法向量为m x, y, z ，则
3 x 1 3
m MD 0
y z 0

4 2 4

，即 ，取 z 3，则m 3,3, 3 .…………………11 分
m SD 0 1 x 3 z 0 2 2

AS 1 ,0,
3
…………………13 分
2 2

m AS
SA SMD sin cos m, AS 21设直线 与平面 所成角为 ，则 .…………………15 分
m AS 7
20.（本题 15 分）解：（Ⅰ）设等差数列 an 的首项为 a1，公差为 d ，
a1 d a1 2d 15
2
则 2a1 d =a1 4a1 6d ，解得： a1 1,d 2，

d 0
an 1 n 1 2 2n 1.…………………6分
2 2 1 1
（Ⅱ）因为bn an an 1 (2n 1)(2n 1) 2n 1 2n 1
， …………………8 分

高三数学参考答案 第 4页（共 6页）
T 1 1 1 1所以 n
1 1 1 1 .…………………10 分
3 3 5 2n 1 2n 1 2n 1
假设存在正整数m,n，使得T2 ,T ,Tn成等差数列，m
则T2 Tn 2Tm，即
1 1 1 1 2 1 1 25，整理得 2m 9 ，…………………12 分
4 1 2n 1 2m 1 n 3
则 n 3 5或25.
当 n 3 5时，即 n 2时，m 2（舍）；
当 n 3 25时，即 n 22时，m 4符合题意.
因此存在正整数，m 4,n 22，使得T2 ,Tm ,Tn成等差数列. …………………15 分
21.（本题 15 分）解：（Ⅰ） y2 4x .…………………4 分
（Ⅱ）设直线 l的方程为 x ty m，M x1, y1 ,N x2 , y2 .将直线 l的方程与抛物线的方程联立，
2
得 y2 4ty 4m 0，于是 16 t m 0， y1 y2 4t， y1y2 4m，…………………6 分
2 2
且 MN 1 t 2 y1 y2 1 t
2 16t 2 16m 4 ，化简得 1 t t m 1①. ………8 分
2
设弦MN 的中点为G x 2t mx0 , y
2
0 ，则 0 ，将点G 的坐标代入圆的方程，得 2t2 m a 4t2 1，
y0 2t
且 4t 2 1 ,
2
1
由①代入消元，消去m，得 2 2 t 2 a 4t 1 . ………10 分 t 1
2 s 1, 5 令 s t 1，则 4
，

2
1 1
于是 s
1
1 a 5 4s ，解得 a s 5 4s 1或 a s 5 4s 1.
s s s
21
若当 a s
1
5 4s 1 时， a随 s单调递增，故 a 0, .………12 分
s 20
1 2 2
若当 a s
1 1
5 4s 1时，令 f s s 5 4s 1，则 f ' s 1 2 .因为 2，s s s 5 4s 5 4s
所以 f ' s 1 1 2 1 21 2 ，即 y f s 单调递减，故 a ,2 .……14 分s 5 4s 20
高三数学参考答案 第 5页（共 6页）
综上所示，实数 a的取值范围为 0,2 .…………………15 分
1
22.（本题 15 分）解：（Ⅰ） f '(x) ln x a 1，…………2 分
x
令 g(x) f '(x) 1 1 x 1，则 g '(x) ，
x x2 x2
故 g(x)在 (0,1)单调递减，在 (1, )单调递增， g(x)的最小值为 g(1) a 2.…………5分
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知， a 2时， f '(x) 0， f (x)在 (0, )单调递增，不合题意；
当 a 2时， f '(ea ) 2a e a 1 2a e a 1 2 e a 1 0，
f ' 1 a 2 0 a a a， f '(e ) a e a 1 e 1 0，
故 y f '(x)在 (ea ,1)和 (1,e a )内分别有唯一的零点记为m,n ,则0 m 1 n .
则 y f (x)在 (0,m)上单增，在 (m,n)上单减，在 (n, )上单增.
易知 f (1) 0，1为 y f (x)的一个零点， f (m) f (1) 0， f (n) f (1) 0
又 f (ea ) 2aea 0， f (e a ) 2a 0，故 f (x)有三个零点,符合题意.
综上， a 2.…………………………10 分
（ii）不妨记 f x 的三个零点大小为 0 x1 x2 1 x3 ，即 f x1 f 1 f x3 0 .
f 1 1 1 ln 1 a 1 1 x 1 ln x a1 x 1又 x 1 ln x a x 1
x x ， x x x x x
f 1 1即 f x .
x x
所以当 f x 0
1 时， f 0x 成立.
1 1
即当 f x1 0，则 f 0 1 f x 在 1， x
x
，且 x ，又 有且只有一个零点 3，1 1
1
所以 x x x 1 …………12 分x 3，即 1 3 .1
x 1 x 1 2 2a化简 x 1 ln x a x 1 0，得 ln x a a a x 1 x 1 x 1，
1 x 1
所以 ln x a 2a .
1 1 1 x1 x3 2 1 2 x1x 3 2 1 3
即 ……………15 分ln x1 a ln x2 a ln x3 a 2a a 2a a a
.
高三数学参考答案 第 6页（共 6页）