人教版八下第十九章19.2.1正比例函数教案
文档属性
| 名称 | 人教版八下第十九章19.2.1正比例函数教案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 71.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-10 10:25:47 | ||
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文档简介
第19单元 一次函数
课题19.2.1 正比例函数
教学分析
【教材分析】
函数是刻画变量之间关系的数学模型，正比例函数是学生接触的第一个最基本的初等函数，教材中呈现的“实际问题—函数概念—函数的图象和性质—函数的实际应用”的结构，是后续学习各类函数的基础。正比例函数的图象和性质是核心，图象“特征”、函数“特性”以及它们之间的相互转化关系，蕴含着丰富的数学思想，这也正是正比例函数的本质属性。
【我的思考】
本节课是在学生对函数的概念，描点法画函数的图象进行初步讨论的基础上，通过实际问题建立数学模型，抽象出正比例函数的定义，再通过描点法画出正比例函数的图象（由数到形的过程），并进一步研究正比例函数的图象，并通过图象的研究和分析，来确定正比例函数的性质（由形到数的过程）。正比例函数的图象和性质，蕴含着丰富的数学思想，在探索过程中不断体验数形结合的思想，了解数学模型的应用价值，让学生经历建模，观察、分析图象的特征，抽象、概括函数性质的过程。通过本节课的学习，让学生了解我们学习函数的方法，为今后学习一次函数、正比例函数和二次函数建立一个模型。
【教学目标】
知识与技能：（1）能够判断两个变量是否构成正比例函数关系，理解正比例函数的概念；（2）能够画出正比例函数图象，理解正比例函数的图象特征和性质。（3）培养学生的观察、分析、探究、归纳及概括能力。
过程与方法：（1）通过“燕鸥飞行路程问题”的研究，体会建立函数模型的思想。（2）通过正比例函数图象的学习和探究，感悟“变化与对应”和“数形结合”的数学思想。
情感态度与价值观：通过正比例函数概念的引入，是学生进一步认识数学是由于人们需要所产生的，与现实世界密切相关，同时渗透热爱自然和生活的教育。
【教学重点】正比例函数概念、图像和性质，以及本课内容所蕴含的思想方法。
【教学难点】准确画出正比例函数的图象，感悟“变化与对应”和“数形结合”的数学思想，理解正比例函数图象的特征和性质。
教学设计
【教学过程】
（一）创设情境，引入新知
问题1 同学们前面几节课我们学了变量和函数的知识,今天我们来一起学习函数当中最简单的函数——正比例函数（板书14.2.1正比例函数）
在我们学习新的内容之前，我们大家先来看这一段录象,（介绍北极燕鸥迁徙的历程）。看录象的过程中.你有什么体会呢？
师生活动：教师提问，学生回答，教师对学生潜在的进行热爱生活热爱自然的教育。
设计意图：通过视频引入新课可以很快的把学生的注意力集中到课堂上来，为后面出示燕鸥迁徙问题做好铺垫。
（二）观察探究，形成新知
问题2 教师在视频营造的环境下，以讲故事的形式出示燕鸥迁徙的问题：
1996年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥候鸟套上标志环；大约128天后，人们在25600千米外的澳大利亚发现了它．(1)这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米 (2) 这只燕鸥的行程y(单位：千米)与飞行时间x(单位：天)之间有什么关系？(3)这只燕鸥飞行一个半月（一个月按30天计．）的行程大约是多少千米？
师生活动：学生稍作思考，小组合作完成。教师在学生得到结论的基础上关注总行程y和飞行时间的函数关系的理解，及学生能否指出自变量、函数及自变量的取值范围。对小组回答给予及时评价。
教师还要提醒：我们用y=200x对燕鸥飞行的路程问题进行了刻画，尽管这只是近似的，但它可以作为反映燕鸥飞行路程与时间对应规律的一个模型。
设计意图：从实际问题出发，让学生认识到数学与现实问题密不可分，人们的需要产生了数学，并让学生从这些简单的实例上，不断体会从现实世界中抽象数学模型，建立数学关系的方法。
问题3 观察下面实际问题中的变量与函数的对应规律可以用怎样的函数表示？这些函数有什么共同点？
师生活动：教师出示实际问题要求学生（1）能找出变量对应关系表达式；（2）能找到函数、常数和自变量；学生独立思考后如遇到问题可以同桌商量。教师学生互动，对问题的回答进行评价。（3）能否概括出这几个函数的共同点。教师引导学生观察、分析表达式的共性：都是常数和自变量乘积的形式，教师板书正比例函数的概念。教师让学生看书，在定义处做标记并找出关键词。
设计意图：通过这些实际问题使学生加深对函数概念的理解，为运用函数概念做好铺垫。通过归纳、分析，使学生明白正比例函数的特征，理解其解析式的特点。
问题4 判断下列函数解析式是否是正比例函数？如果是，指出其比例系数是多少？
师生活动：教师出示问题，学生独立思考后回答。教师注意对学生指出出的不属于正比例函数的函数，及时追问为什。教师对快速回答问题的同学提出表扬。
设计意图：通过解析式的辨析可以让学生更好的理解正比例函数的概念。
问题5 你能列举出一些正比例函数的例子吗？
师生活动：教师注意对学生列举出的不属于正比例函数的实例不回避，恰当引导紧扣定义。
设计意图：通过对具体的实际问题分析，既能深化学生对正比例函数的理解，又能为学生运用正比函数解决问题打下基础。
问题6 我们知道了怎样用解析式表示正比例函数，能否用图象来表示它呢？怎样在平面直角坐标系中画出正比例函数的图象？
（1）列表：列表时，所取的点要使自变量的取值既简单又有一定的代表性。
… …
… …
（2）描点：一般情况下，所选的点越多图象越精确；
（3）连线：引导学生用平滑的曲线，按照自变量从小到大的顺序连接各点，得到函数的图象。
师生活动：教师在黑板上演示用描点法画y=2x的图象。教师注意画图的规范性，并注意和学生的交流。要求学生在下面画。
设计意图：学生画图要有一个样板，然后才能掌握作函数图象的基本要领，这符合学生的认知规律。因此第一个图象由老师示范很重要。
问题7 观察你所画的正比例函数的图象是什么样的？
师生演示课件：教师引导学生观察图象， 得到正比例函数的图象是一条直线。教师再次规范的画一下正比例函数y=2x的图象。
设计意图：通过计算机动态演示，验证猜想，使学生经历从特殊到一般的过程。
问题8 你能规范的画出函数y=-2x的图象了吗？
师生活动：要求学生独立画图，教师要关注学生画图的规范性。教师巡视指导。作图完成后，学生展示作品，教师适时点评。每组派人检查，作对的同学给自己画个笑脸，出错的同学及时改正。
设计意图：图象是直观地描述和研究函数的重要工具，通过经历用描点法画出正比例函数图象的基本步骤，可以使学生对正比例函数先有一个初步的感性认识。
问题9 我们已经知道了正比例函数的图象是一条直线，你认为怎样画正比例函数的图象最简单？为什么？
师生活动：教师引导学生观察图象，并引导学生观察得到正比例函数的图象过点（0,0），（1，k）的一条直线，得到两点作图法。
设计意图：使学生经历从特殊到一般再到特殊的过程。
问题10 用你认为最简单的方法画正比例函数的图象。
师生活动：学生练习两点法画图象，教师巡回辅导。教师关注学生是否采用两点法，学生取得两个点是否最简单（关键是对k的确认）。每组派人检查，作对的同学给自己画个笑脸，出错的同学及时改正。
设计意图：巩固两点法画图。
问题11 观察分析我们画出的两组正比例函数的图象，图象分别经过哪些象限？图象从左到右是上升的还是下降的？与谁有关？
师生活动：学生独立思考后，教师引领学生概括、归纳出正比例函数图象的特征。
设计意图：引导学生观察图象的形状、位置、，感受“形”的特征。
问题12 是不是所有的正比例函数的图象都具有这样的特征呢？
师生演示课件：教师演示课件，赋予不同的值，观察所得到的不同的正比例函数图象的特征，引导学生归纳“变化中的规律性”。
设计意图：通过计算机动态演示，验证猜想，使学生经历从特殊到一般的过程。 加强对正比例函数图象“特征”的认识。
问题13 观察你画的正比例函数的图象，结合你作图的过程你能总结出正比例函数中函数y随自变量x的增大是增大还是减小？你是怎么知道的？
师生活动：学生独立思考后分组讨论交流，教师巡视指导和个别辅导。然后，从解析式的角度，正比例函数图象特征角度，点的坐标变化的角度，引导学生分析上述结论的合理性。
设计意图：通过解析式、图象和对表格的分析归纳得出正比例函数图象的特征和性质，潜移默化的对学生进行了概括、归纳、比较、分析和数形结合的数学思想方法教育。使学生明白解析式和函数图象对正比例函数的刻画各有优势。
（四）形成新知，理解应用
问题14 你可以自己总结正比例函数图象有什么特征和性质吗？把你的结论填在表格里。
y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过 的直线
函数 大致图象 图象经过的象限 图象从左到右（上升或下降） y随x的增大而（增大或减小）
y=kx k＞0
k＜0
师生活动：学生独立完成知识的总结提升。教师巡视指导和个别辅导。每组派人检查，作对的同学给自己得100分，出错的同学及时改正。
设计意图：通过归纳，培养学生抽象概括能力。
问题15 大家来看一看我们是怎么研究正比例函数的？
第一步：由实际问题抽象总结出正比例函数的定义；第二步：通过描点法画出了正比例函数的图象；第三步：通过研究正比例函数的图象结合数据的分析得到了图象的特征和性质。以后我们还会用这些知识解决一些问题。
师生活动：教师启发学生思考学习的过程，学生体会。
设计意图：通过启发引导，让学生了解学习函数的方法。
（四）巩固提高，学以致用
课堂练习
1.函数y=-5x的图象在第 象限内 ，经过点（0, ）与点（ 1, ）， y随x的增大而 。
2.下列图象哪个可能是函数y=-8x的图象（ ）
A B C D
3.若点 （-1，a）,(2,b)都在直线y=4x上，试比较a,b的大小 。
4.1996年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环；大约128天后，人们在25600千米外的澳大利亚发现了它．则能反映这只燕鸥的行程y(单位：千米)与飞行时间x(单位：天)之间函数关系的大致图象是（ ）
师生活动：学生独立完成后小组互相讲解，教师讲解学生的共性问题。每组派人检查，做对的同学给自己得100分，出错的同学及时改正。
设计意图：通过一系列的练习，可以实现知识向能力的转化，最后一题还达到了前后呼应的目的，让学生体会数学与实际的联系与应用。
（五）归纳正思，感悟提升
通过本节课的学习你有什么收获？
学生谈本节课的学习感受，教师梳理、概括本节课主要的学习内容，并揭示蕴涵的数学思想方法。
设计意图：教师引导学生归纳本节课的知识要点和思想方法，使学生对正比例函数的图象和性质有一个较为整体、全面认识，同时，使学生养成良好的学习习惯。
（六）布置作业
必做题： Ｐ１２０第一、二题；
选做题： 若点 （-1，a）,(2,b)都在直线y=kx上，试比较a,b的大小。
【板书设计】：
19.2.1正比例函数
1.定义：形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k做比例系数。
2.图象：一条直线
3.图象特征及性质
一、三 y随x增大而增大
二、四 y随x增大而减小
设计意图：这样的板书设计可以直观、清晰的展示课堂上生成的知识内容，使学生对正比例函数的图象和性质有一个较为整体、全面的认识。
课后评析：
本节课的教学设计，充分重视教材的编写意图，通过燕鸥的引例对学生进行热爱生活、热爱自然的教育，在学生的小结环节中，学生很好的体会了这一教学目的，说明了引例的处理很到位。通过引例中三个问题的处理，让学生体会数学问题来源于实际生活，人人学有用的数学，同时在这一个小小的问题中就可以让学生体会由特殊到一般再到特殊的学习过程。在让学生经历列表、描点、连线的过程画出函数图象时，让学生体会数学作图的规范性和严谨性。通过对函数图象特征及性质的的分析，让学生体会到数形结合的思想和方法：即由数到形，由形到数的分析过程，提高学生分析问题的能力。
课题19.2.1 正比例函数
教学分析
【教材分析】
函数是刻画变量之间关系的数学模型，正比例函数是学生接触的第一个最基本的初等函数，教材中呈现的“实际问题—函数概念—函数的图象和性质—函数的实际应用”的结构，是后续学习各类函数的基础。正比例函数的图象和性质是核心，图象“特征”、函数“特性”以及它们之间的相互转化关系，蕴含着丰富的数学思想，这也正是正比例函数的本质属性。
【我的思考】
本节课是在学生对函数的概念，描点法画函数的图象进行初步讨论的基础上，通过实际问题建立数学模型，抽象出正比例函数的定义，再通过描点法画出正比例函数的图象（由数到形的过程），并进一步研究正比例函数的图象，并通过图象的研究和分析，来确定正比例函数的性质（由形到数的过程）。正比例函数的图象和性质，蕴含着丰富的数学思想，在探索过程中不断体验数形结合的思想，了解数学模型的应用价值，让学生经历建模，观察、分析图象的特征，抽象、概括函数性质的过程。通过本节课的学习，让学生了解我们学习函数的方法，为今后学习一次函数、正比例函数和二次函数建立一个模型。
【教学目标】
知识与技能：（1）能够判断两个变量是否构成正比例函数关系，理解正比例函数的概念；（2）能够画出正比例函数图象，理解正比例函数的图象特征和性质。（3）培养学生的观察、分析、探究、归纳及概括能力。
过程与方法：（1）通过“燕鸥飞行路程问题”的研究，体会建立函数模型的思想。（2）通过正比例函数图象的学习和探究，感悟“变化与对应”和“数形结合”的数学思想。
情感态度与价值观：通过正比例函数概念的引入，是学生进一步认识数学是由于人们需要所产生的，与现实世界密切相关，同时渗透热爱自然和生活的教育。
【教学重点】正比例函数概念、图像和性质，以及本课内容所蕴含的思想方法。
【教学难点】准确画出正比例函数的图象，感悟“变化与对应”和“数形结合”的数学思想，理解正比例函数图象的特征和性质。
教学设计
【教学过程】
（一）创设情境，引入新知
问题1 同学们前面几节课我们学了变量和函数的知识,今天我们来一起学习函数当中最简单的函数——正比例函数（板书14.2.1正比例函数）
在我们学习新的内容之前，我们大家先来看这一段录象,（介绍北极燕鸥迁徙的历程）。看录象的过程中.你有什么体会呢？
师生活动：教师提问，学生回答，教师对学生潜在的进行热爱生活热爱自然的教育。
设计意图：通过视频引入新课可以很快的把学生的注意力集中到课堂上来，为后面出示燕鸥迁徙问题做好铺垫。
（二）观察探究，形成新知
问题2 教师在视频营造的环境下，以讲故事的形式出示燕鸥迁徙的问题：
1996年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥候鸟套上标志环；大约128天后，人们在25600千米外的澳大利亚发现了它．(1)这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米 (2) 这只燕鸥的行程y(单位：千米)与飞行时间x(单位：天)之间有什么关系？(3)这只燕鸥飞行一个半月（一个月按30天计．）的行程大约是多少千米？
师生活动：学生稍作思考，小组合作完成。教师在学生得到结论的基础上关注总行程y和飞行时间的函数关系的理解，及学生能否指出自变量、函数及自变量的取值范围。对小组回答给予及时评价。
教师还要提醒：我们用y=200x对燕鸥飞行的路程问题进行了刻画，尽管这只是近似的，但它可以作为反映燕鸥飞行路程与时间对应规律的一个模型。
设计意图：从实际问题出发，让学生认识到数学与现实问题密不可分，人们的需要产生了数学，并让学生从这些简单的实例上，不断体会从现实世界中抽象数学模型，建立数学关系的方法。
问题3 观察下面实际问题中的变量与函数的对应规律可以用怎样的函数表示？这些函数有什么共同点？
师生活动：教师出示实际问题要求学生（1）能找出变量对应关系表达式；（2）能找到函数、常数和自变量；学生独立思考后如遇到问题可以同桌商量。教师学生互动，对问题的回答进行评价。（3）能否概括出这几个函数的共同点。教师引导学生观察、分析表达式的共性：都是常数和自变量乘积的形式，教师板书正比例函数的概念。教师让学生看书，在定义处做标记并找出关键词。
设计意图：通过这些实际问题使学生加深对函数概念的理解，为运用函数概念做好铺垫。通过归纳、分析，使学生明白正比例函数的特征，理解其解析式的特点。
问题4 判断下列函数解析式是否是正比例函数？如果是，指出其比例系数是多少？
师生活动：教师出示问题，学生独立思考后回答。教师注意对学生指出出的不属于正比例函数的函数，及时追问为什。教师对快速回答问题的同学提出表扬。
设计意图：通过解析式的辨析可以让学生更好的理解正比例函数的概念。
问题5 你能列举出一些正比例函数的例子吗？
师生活动：教师注意对学生列举出的不属于正比例函数的实例不回避，恰当引导紧扣定义。
设计意图：通过对具体的实际问题分析，既能深化学生对正比例函数的理解，又能为学生运用正比函数解决问题打下基础。
问题6 我们知道了怎样用解析式表示正比例函数，能否用图象来表示它呢？怎样在平面直角坐标系中画出正比例函数的图象？
（1）列表：列表时，所取的点要使自变量的取值既简单又有一定的代表性。
… …
… …
（2）描点：一般情况下，所选的点越多图象越精确；
（3）连线：引导学生用平滑的曲线，按照自变量从小到大的顺序连接各点，得到函数的图象。
师生活动：教师在黑板上演示用描点法画y=2x的图象。教师注意画图的规范性，并注意和学生的交流。要求学生在下面画。
设计意图：学生画图要有一个样板，然后才能掌握作函数图象的基本要领，这符合学生的认知规律。因此第一个图象由老师示范很重要。
问题7 观察你所画的正比例函数的图象是什么样的？
师生演示课件：教师引导学生观察图象， 得到正比例函数的图象是一条直线。教师再次规范的画一下正比例函数y=2x的图象。
设计意图：通过计算机动态演示，验证猜想，使学生经历从特殊到一般的过程。
问题8 你能规范的画出函数y=-2x的图象了吗？
师生活动：要求学生独立画图，教师要关注学生画图的规范性。教师巡视指导。作图完成后，学生展示作品，教师适时点评。每组派人检查，作对的同学给自己画个笑脸，出错的同学及时改正。
设计意图：图象是直观地描述和研究函数的重要工具，通过经历用描点法画出正比例函数图象的基本步骤，可以使学生对正比例函数先有一个初步的感性认识。
问题9 我们已经知道了正比例函数的图象是一条直线，你认为怎样画正比例函数的图象最简单？为什么？
师生活动：教师引导学生观察图象，并引导学生观察得到正比例函数的图象过点（0,0），（1，k）的一条直线，得到两点作图法。
设计意图：使学生经历从特殊到一般再到特殊的过程。
问题10 用你认为最简单的方法画正比例函数的图象。
师生活动：学生练习两点法画图象，教师巡回辅导。教师关注学生是否采用两点法，学生取得两个点是否最简单（关键是对k的确认）。每组派人检查，作对的同学给自己画个笑脸，出错的同学及时改正。
设计意图：巩固两点法画图。
问题11 观察分析我们画出的两组正比例函数的图象，图象分别经过哪些象限？图象从左到右是上升的还是下降的？与谁有关？
师生活动：学生独立思考后，教师引领学生概括、归纳出正比例函数图象的特征。
设计意图：引导学生观察图象的形状、位置、，感受“形”的特征。
问题12 是不是所有的正比例函数的图象都具有这样的特征呢？
师生演示课件：教师演示课件，赋予不同的值，观察所得到的不同的正比例函数图象的特征，引导学生归纳“变化中的规律性”。
设计意图：通过计算机动态演示，验证猜想，使学生经历从特殊到一般的过程。 加强对正比例函数图象“特征”的认识。
问题13 观察你画的正比例函数的图象，结合你作图的过程你能总结出正比例函数中函数y随自变量x的增大是增大还是减小？你是怎么知道的？
师生活动：学生独立思考后分组讨论交流，教师巡视指导和个别辅导。然后，从解析式的角度，正比例函数图象特征角度，点的坐标变化的角度，引导学生分析上述结论的合理性。
设计意图：通过解析式、图象和对表格的分析归纳得出正比例函数图象的特征和性质，潜移默化的对学生进行了概括、归纳、比较、分析和数形结合的数学思想方法教育。使学生明白解析式和函数图象对正比例函数的刻画各有优势。
（四）形成新知，理解应用
问题14 你可以自己总结正比例函数图象有什么特征和性质吗？把你的结论填在表格里。
y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过 的直线
函数 大致图象 图象经过的象限 图象从左到右（上升或下降） y随x的增大而（增大或减小）
y=kx k＞0
k＜0
师生活动：学生独立完成知识的总结提升。教师巡视指导和个别辅导。每组派人检查，作对的同学给自己得100分，出错的同学及时改正。
设计意图：通过归纳，培养学生抽象概括能力。
问题15 大家来看一看我们是怎么研究正比例函数的？
第一步：由实际问题抽象总结出正比例函数的定义；第二步：通过描点法画出了正比例函数的图象；第三步：通过研究正比例函数的图象结合数据的分析得到了图象的特征和性质。以后我们还会用这些知识解决一些问题。
师生活动：教师启发学生思考学习的过程，学生体会。
设计意图：通过启发引导，让学生了解学习函数的方法。
（四）巩固提高，学以致用
课堂练习
1.函数y=-5x的图象在第 象限内 ，经过点（0, ）与点（ 1, ）， y随x的增大而 。
2.下列图象哪个可能是函数y=-8x的图象（ ）
A B C D
3.若点 （-1，a）,(2,b)都在直线y=4x上，试比较a,b的大小 。
4.1996年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环；大约128天后，人们在25600千米外的澳大利亚发现了它．则能反映这只燕鸥的行程y(单位：千米)与飞行时间x(单位：天)之间函数关系的大致图象是（ ）
师生活动：学生独立完成后小组互相讲解，教师讲解学生的共性问题。每组派人检查，做对的同学给自己得100分，出错的同学及时改正。
设计意图：通过一系列的练习，可以实现知识向能力的转化，最后一题还达到了前后呼应的目的，让学生体会数学与实际的联系与应用。
（五）归纳正思，感悟提升
通过本节课的学习你有什么收获？
学生谈本节课的学习感受，教师梳理、概括本节课主要的学习内容，并揭示蕴涵的数学思想方法。
设计意图：教师引导学生归纳本节课的知识要点和思想方法，使学生对正比例函数的图象和性质有一个较为整体、全面认识，同时，使学生养成良好的学习习惯。
（六）布置作业
必做题： Ｐ１２０第一、二题；
选做题： 若点 （-1，a）,(2,b)都在直线y=kx上，试比较a,b的大小。
【板书设计】：
19.2.1正比例函数
1.定义：形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k做比例系数。
2.图象：一条直线
3.图象特征及性质
一、三 y随x增大而增大
二、四 y随x增大而减小
设计意图：这样的板书设计可以直观、清晰的展示课堂上生成的知识内容，使学生对正比例函数的图象和性质有一个较为整体、全面的认识。
课后评析：
本节课的教学设计，充分重视教材的编写意图，通过燕鸥的引例对学生进行热爱生活、热爱自然的教育，在学生的小结环节中，学生很好的体会了这一教学目的，说明了引例的处理很到位。通过引例中三个问题的处理，让学生体会数学问题来源于实际生活，人人学有用的数学，同时在这一个小小的问题中就可以让学生体会由特殊到一般再到特殊的学习过程。在让学生经历列表、描点、连线的过程画出函数图象时，让学生体会数学作图的规范性和严谨性。通过对函数图象特征及性质的的分析，让学生体会到数形结合的思想和方法：即由数到形，由形到数的分析过程，提高学生分析问题的能力。