沈阳市重点高中联合体
2021—2022学年度上学期12月考试高二年级试题
数 学
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。）
1．抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B．
C． D．
2．直线过点，与直线垂直，则直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数等于（ ）
A． B．
C． D．
4．已知正四面体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
5．从6名男医生，5名女医生中选出3名医生组成一个医疗小组，且至少有一名女医生，则不同的选法共有（ ）
A．130种 B．140种
C．145种 D．155种
6．点在圆上移动时，它与定点连线的中点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知是椭圆的左右焦点，点是过原点且倾斜角为的直线与椭圆的一个交点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
8．2021年7月，我国河南郑州遭受千年一遇的暴雨，为指导防汛救灾工作，某部门安排甲 乙 丙 丁 戊五名专家赴三地工作,因工作需要，每地至少需要安排一名专家，其中甲 乙两名专家必须安排在同一地工作，则不同的安排方案的总数为（ ）
A．36 B．30
C．24 D．18
二、多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共计20分。在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，错选或者多选不得分。）
9．如图，正方体的棱长为1，是的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线平面
B．
C．三棱锥的体积为
D．直线与面所成的角为
10．已知方程表示的曲线为，则以下四个判断正确的为（ ）
A．当时，曲线表示椭圆
B．当或时，曲线表示双曲线
C．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则
D．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则
11．过双曲线的右焦点,作一条渐近线的垂线，垂足为点，与另一条渐近线交于点B，若，则双曲线的离心率可能为（ ）
A． B．
C． D．
12．已知为坐标原点，定点，、是抛物线上两点，为其焦点，若到准线的距离为2，则下列说法正确的是（ ）
A．周长的最小值为
B．若，则最小值为4
C．若直线过点F，则直线的斜率之积恒为
D．若外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆面积为
三、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共计20分。）
13．已知曲线，则以为中点的弦所在直线的一般式方程为______.
14．从2，3，4，5，6，7任取三个不同的数字，组成无重复数字三位数，要求个位数最大，百位数最小，则这样的三位数的个数为______(用数字作答).
15．曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是______．
16．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，且直线与圆交于两点，若,则直线的斜率为______．
四、解答题（本大题共6个小题，共计70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卡相应位置上。）
17．（本题10分）已知圆：，直线：（）．
（1）判断直线与圆的位置关系；
（2）若圆C上有三个不同的点到直线的距离为，求此时的直线方程.
18．（本题12分）（1）若；求正整数；（2）已知，求.
19．（本题12分）从等7人中选5人排成一排（以下问题均用数字作答）
（1）若必须在内，有多少种排法？
（2）若三人不全在内，有多少种排法？
（3）若都在内，且必须相邻，与都不相邻，有多少种排法？
20．（本题12分）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）直线交抛物线于不同的两点，为坐标原点，且求证：直线恒过定点，并求出这个定点.
21．（本题12分）已知在长方形中，，点是的中点，沿折起平面，使平面平面.
（1）求证：在四棱锥中，；
（2）在线段上是否存在点，使二面角的余弦值为？若存在，找出点的位置；若不存在，请说明理由.
22．（本题12分）如图所示，点是椭圆的一个顶点，的长轴是圆的直径,是过点且互相垂直的两条直线，其中交圆于两点，交椭圆于另一点.
（1）求椭圆的方程；
（2）求面积取得最大值时的直线的方程.
数学试卷 第1页（共3页）2021-2022 学年度上学期沈阳市重点高中联合体 12 月月考
高二数学试题答案
一．单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
1.B 2. A 3. D 4 .B 5.C 6.C 7.C 8. A
二．多选题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共计 20 分。在每小题给出的选项中有多项
符合题目要求，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，错选或者多选不得分）
9、AB 10、 BCD 11、AC 12、BD
三．填空题（本大题共 4 个小题，每题 5 分，共计 20 分）
3、
2
13 x 2y 3 0 14、 20 15、 ,1 16、
4 2
四．解答题（方法不唯一，可酌情给分）
17（本小题满分 10 分）
解：（1）因为m x 2 1 y 0可得直线 l 恒过定点A(2,1) ----------2分
因为点 A(2,1)在圆C 内
所以直线 l 恒与圆C 相交 ----------------5 分
（2）由题意可知圆心C 到直线 l 的距离d 2 ------------------7 分
m 2 1 2m m 1
即为 2
1 m2 1 m2
解得: m 1 -----------------------------------9 分
此时的直线 l 的方程为 x y 1 0 ----------------------------10 分
18（本小题满分 12 分）
3 3
解：（1）因为A 10A ，所以2n 2n 1 2n 2 10 n n 1 n 22n n ，解得: n 8；
----------------6分
n!(5 n)! n!(6 n)! 7 n!(7 n)!
（2）由已知可得
5! 6! 10 7!
化简得: n2 23n 42 0
解得: n 2或 n 21
n 8 n 2 ---------------10分
Cn 28 --------------12分 8
19（本小题满分 12 分）
4
解：（1）由题意，先从余下的 6人中选 4人共有C6 种不同结果，再将这 4人与 A进行全排
5 4 5
列有 A5 种不同的排法，故由乘法原理可知共有C6 A5 1800种不同排法；--------4分
5 2 5
（2）从 7 人中任选 5人排列共有A7 种不同排法，A ，B ，C 三人全在内有C5 A5 种不同排
5 2 5
法，由间接法可得A ，B ，C 三人不全在内共有A7 C4 A5 1800种不同排法；------8
分
2
（3）因A ， B，C 都在内，所以只需从余下 4人中选 2人有C4 种不同结果，A ， B 必须
2 2
相邻，有 A2 种不同排法，由于C 与A ，B 都不相邻，先将选出的 2人进行全排列共有A2
2
种不同排法，再将 A、B这个整体与 C插入到选出的 2人所产生的 3各空位中有 A3 种不同
2 2
排法，由乘法原理可得共有C4 A2 A
2 2
2 A3 144种不同排法；--------12分
20（本小题满分 12 分）
p
解：（1）由抛物线的定义知 MF 1 2得 p 2
2
抛物线方程为 y2 4x -------------5分
（2）设 A(x1, y1) B(x2 , y2 ) 直线 l : x my n
y2 4x 2
y 4my 4n 0 -----------------7 分
x my n
16m2 16n 0
得 y1 y2 4m
y1.y2 4n
y 2 y 2 (y .y )2
因为 x1.x2
1 . 2 1 2 n2 --------------------9 分
4 4 16
所以OA.OB x1.x2 y1.y2 n
2 4n 4即 (n 2)2 0
解得： n 2 -------------11 分
所以直线 l : x my 2恒过定点 (2,0)，得证----------------12 分
21（本小题满分 12 分）
解：（1）证明：因为在长方形 ABCD 中，AD=2AB=2 2 ，点 E是 AD 的中点，所以 BE=CE=2，
又 BC=2 ，所以 BC2 BE22 +EC2，所以 CE⊥BE，
又平面 ABE⊥平面 BCDE，面 ABE 面BCDE BE ，所以 CE⊥平面 ABE，所以 AB⊥CE.
又 AB⊥AE， AE CE E，所以 AB⊥平面 AEC，即得 AB⊥AC.----------------4 分
（2）存在点 F，F 为线段 AC 的中点.
由（1）得△ABE 和△BEC 均为等腰直角三角形，取 BE 的中点 O，则AO BE ，又平面 ABE
⊥平面 BCDE，面 ABE 面BCDE BE ，所以 AO 面BCDE ----------------6 分
以 O 为原点，分别以OA,OB, EC的方向为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
取平面 ABE 的一个法向量为m 0，1,0 . ---------------------7 分
5
假设在线段 AC 上存在点 F，使二面角 A-BE-F的余弦值为 .
5
则 A（0，0，1），B（1，0，0），C（-1，2，0），E（-1，0，0），EA =（1，0，1）， AC =
（-1，2，-1），
设 AF =λ AC （ 0 1），则EF EA+λ AC =（1-λ，2λ，1-λ），又EB =（2，0，0），
n·EF 0 (1- )x 2 y (1- )z 0
设平面 BEF的法向量为n x，y，z ，可得 ，即得 ，可取
n·EB 0 2x 0
y=1，得 n 0, 1,2 ---------------9 分
m·n 1 3 13
所以 cos m，n
|m||n| 2 1 4 2 13
1
解得 λ= 4
1
或 =- （舍）---------------------11 分
2
1 3 13
即当点 F 满足 AF AC时，二面角 A-BE-F 的余弦值为 .---------12 分
4 13
（注：建系之前不证明，扣 2 分；只求出 ，没指名点 F 的位置，扣 1 分）
b＝1，
22、解：(1)由题意得
a＝2，
2
x 2
所以椭圆 C 的方程为 ＋y＝1. ---------------4分
4
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．由题意知直线 l1的斜率存在，不妨设其为 k，则直
线 l1的方程为 y＝kx－1.
2 2 1
又圆 C2：x ＋y＝4，故点 O到直线 l1的距离 d＝ ，
2
k ＋1
2
2 4k＋3
所以|AB|＝2 4－d ＝2 2 .------------6分
k ＋1
又 l2⊥l1，故直线 l2的方程为 x＋ky＋k＝0.
x＋ky＋k＝0，
由 2 2
x ＋4y ＝4.
2 2
消去 y，整理得(4＋k )x＋8kx＝0.
8k
故 x0＝－ 2，
4＋k
2
8 k ＋1
所以|PD|＝ 2 .-------------------8分
4＋k
2
1 8 4k＋3
设△ABD 的面积为 S，则 S＝ ·|AB|·|PD|＝ 2 ，-----------9分
2 4＋k
32 32 16 13 10
所以 S＝ ≤ ＝ ，当且仅当 k＝± 时
2 13 13 13 24k＋3＋ 2
2 2 4k＋3·
4k＋3 24k＋3
取等号． -----------11分
10
所以所求直线 l1的方程为 y＝± x－1.--------------------12分
2
1
（注：若直线 l 的方程设为 y x 1，没有讨论k 02 的情况，扣 1 分）
k
