辽宁省沈阳市重点高中联合体2021-2022学年高三12月考试数学试题（Word版含答案）

沈阳市重点高中联合体
2021—2022学年度上学期12月考试高三年级试题
数 学
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数满足，则的虚部为
A． B． C． D．
3．若：；：，则是的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若，则
A． B． C． D．
5．我们打印用的A4纸的长与宽的比约为，之所以是这个比值，是因为把纸张对折，得到的新纸的长与宽之比仍约为，纸张的形状不变．已知圆柱的母线长小于底面圆的直径长（如图所示），它的轴截面ABCD为一张A4纸，若点E为上底面圆上弧AB的中点，则异面直线DE与AB所成的角约为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知双曲线的一条渐近线方程为，分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上一点，若，则（ ）
A．1 B．1或9 C．3或9 D．9
7．已知是圆的直径，点为直线上任意一点，则的最小值是
A．0 B． C．1 D．
8．已知函数，若方程有四个不等实根时，不等式恒成立，则实数的最小值为
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9．下列关于点、线、面的位置关系的命题中不正确的是（ ）
A．若两个平面有三个公共点，则它们一定重合
B．空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内
C．两条直线分别和异面直线都相交，则直线是异面直线
D．正方体中，点是的中点，直线交平面于点，则三点共线，且四点共面
10．已知是椭圆上的动点，是圆上的动点，则（ ）
A．的焦距为 B．的离心率为
C．圆在的内部 D．的最小值为
11．将数列中的各项依次按第一个括号1个数，第二个括号2个数，第三个括号4个数，第四个括号8个数，第五个括号16个数，…，进行排列：（2），（4，6），（8，10，12，14），（16，18，20，22，24，26，28，30），…，则以下结论中正确的是
A．第10个括号内的第一个数为1024
B．2022在第11个括号内
C．前10个括号内一共有1023个数
D．第10个括号内的数字之和
12．天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线（Cassini Oval）．在平面直角坐标系中，设定点为，，点O为坐标原点，动点满足（且为常数），化简得曲线．下列四个命题中，正确命题的是（ ）
A．的最小值为； B．当时，的最大值为；
C．曲线E既是中心对称又是轴对称图形； D．面积不大于．
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知直线，直线，当时，的值为　　　
14．已知三棱锥中，底面，，，，，则该三棱锥的内切球的体积为　　　．
15．若直线与曲线只有一个公共点，则的取值范围是　　　
16．已知分别是双曲线的左右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为_____________
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）
的内角的对边分别是且.
（1）求角的大小；
（2）若，为边上一点，，且___________，求的面积.（从①为的平分线，②为的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答）
18．（12分）
如图，在四棱锥中，平面平面，，点分别为的中点.
（1）求证：
（2）求点到的距离.
19．（12分）
已知等差数列满足，前7项和.
（1）求数列的通项公式;
（2）设，且数列的前项和.求证：
20．（12分）
如图所示的几何体中，都是等腰直角三角形，，且
（1）求证：
（2）已知为线段上的动点，是的中点，当二面角的平面角为时，求的值
21．（12分）
已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求面积的最大值．
22．（12分）
已知函数，其图象在点处的切线斜率为．
（1）证明：当时，；
（2）若函数在定义域上无极值，求正整数的最大值．
2021-2022学年度上学期沈阳市重点高中联合体12月月考试高三
数学答案
一、单选题
1-4. B D A A 5-8. C D C B
二、多选
9. ABC 10.BC 11．ACD 12. BCD
三、填空
13. -4 14. 15. 或 16.
四、解答
17.解：（1）因为，
所以，
即得，，则有，
又因为，所以.5分
（2）选择条件①为的平分线，
因为为的平分线，所以，
又因为，
所以，即，
又根据余弦定理得：，即，
则有，即，解之得或(舍)，8分
所以.10分
选择②为的中点，则，，
则有，可得，
又根据余弦定理得：，
解得，8分
则.10分
18．
（1）由题意知：点是的中点，且，
所以，所以四边形是平行四边形，则.
又因为分别为的中点，所以.
，平面，
所以平面平面.4分
（2）（一法：几何法）
中，，，，
所以，所以因为平面平面，平面平面,所以平面.6分
连，取的中点，连，易知，
平面且.
设点P到平面EFD的距离为d.
在Rt△中，
在Rt△中，
在Rt△中，
在Rt△中，
在△中，，
即，
解得，
所以
所以.
因为平面平面，
平面平面，平面，，所以，平面所以，的长即是点到平面的距离.
在Rt△中，，
所以，，
所以.8分
所以，即，即，解得.
所以，点到平面的距离为.12分
(二法：坐标法)
中，，，，
所以，所以因为平面平面，平面平面,所以平面.6分
以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系.由题意可知
设平面的一个法向量为，则
取，可得8分
,
所以点到平面的距离为12分
19.
（1）设等差数列的公差为d，
由可知，前7项和，
，解得.
. 6分
（2）8分
前项和
.10分
12分
20.
解：（1）证明：因为，是等腰直角三角形，，
所以，所以，所以，2分
又因为是等腰直角三角形，所以，所以，
因为，且，，平面，所以平面；分
（2）解：如图，以点为坐标原点，的方向分别为轴，轴的正方向，垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，不妨设
则
，
设平面的一个法向量为
由得
令，得平面的一个法向量为6分
设，,则
设平面的一个法向量
由，得
令，得平面的一个法向量为8分
，
，10分
故12分
(本题估计会有学生猜到F是BC的中点，进行验证二面角为120度，用这种方法的也给满分，但是从严谨的角度说，它不是充要条件，希望老师讲解时，给学生规范一下，谢谢)
21.
（Ⅰ）因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为，
所以， 2分
又椭圆的离心率为，即，所以，
所以，. 3分
所以，椭圆的方程为. 4分
（Ⅱ）由题可知直线不垂直轴，不妨设直线的方程（）.
由消去得， 5分
设，
则有. 6分
因为以为直径的圆过点，所以.
由，得.
将代入上式，
得.
将韦达定理代入上式，解得或（舍）.所以（此时直线经过定点， 8分
所以
. 10分
设，
则.
所以当时，取得最大值.12分
22．
（1）由可得．
因为函数的图象在点处的切线的斜率为，
所以，解得， 2分
当时，等价于，即．
令，则，
所以函数在区间上单调递增，
所以，
所以当时，； 4分
（2）由题得，
若无极值，则恒成立或恒成立， 5分
（1）当恒成立时，，
即恒成立，所以，
令．
所以，
令，则，
即在上单调递增，，，
所以存在，使得，
当时，，即，
当时，，即，
所以函数在区间单调递减，函数在区间单调递增，
所以函数的最小值为
因为，即，
所以．
因为，则，
所以，可得，所以正整数的最大值是； 9分
（2）当恒成立时，，
即恒成立，所以，
又由（1）知，函数在区间上单调递增，
所以函数不存在最大值， 11分
综上所述：正整数的最大值是． 12分