2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.9弧长及扇形面积 同步达标测评（Word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.9弧长及扇形面积》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（　　）
A．π B．2π C．3π D．6π
2．已知一个扇形的弧长为3π，所含的圆心角为120°，则半径为（　　）
A．9 B．3 C． D．
3．某扇形的圆心角为150°，其弧长为20πcm，则此扇形的面积是（　　）
A．120πcm B．480πcm2 C．240πcm2 D．240cm2
4．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为36cm，BD的长为18cm，则的长为（　　）cm．
A．π B．15π C．18π D．36π
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，则的长为（　　）
A．π B．π C．π D．π
6．一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm，若∠ACB＝60°，则劣弧AB的长是（　　）
A．8πcm B．16πcm C．32πcm D．192πcm
7．如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，以B为圆心，BC为半径画弧，交AD于E，则图中阴影部分的周长是（　　）
A．2+ B． C．2十π D．1+π
8．如图，将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG，点B的对应点E落在边CD上，且DE＝EF，若AD＝，则的长为（　　）
A． B． C． D．π
9．如图，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，以B为圆心、BC长为半径画，点P为菱形内一点，连接PA，PB，PC．当△BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C．2π D．
10．如图，扇形AOB的圆心角是直角，半径为2，C为OB边上一点，将△AOC沿AC边折叠，圆心O恰好落在弧AB上，则阴影部分面积为（　　）
A．3π﹣4 B．3π﹣2 C．3π﹣4 D．2π
二．填空题（共8小题，满分32分）
11．已知扇形的半径为6cm，弧长为5πcm，则扇形的圆心角为　 　度．
12．如图，点A，B，C都在⊙O上，若OB＝3，∠ABC＝30°，则劣弧AC的长为　 　．
13．已知扇形的圆心角为60°，圆的半径为3cm，则这个扇形的面积为　 　．
14．如图，AB为△ABC内接⊙O的直径，AB＝6，D为⊙O上一点，∠ADC＝30°，劣弧BC的长为　 　．
15．如图，曲线AMNB和MON是两个半圆，MN∥AB，大半圆半径为2，则阴影部分的面积是　 　．
16．三个正方形方格在扇形中的位置如图所示，点O为扇形的圆心，格点A，B，C分别在扇形的两条半径和弧上，已知每个方格的边长为1，则图中阴影部分面积为　 　．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，以C为圆心，以AC的长为半径作弧，交AB于点D，交BC于点E，则图中阴影部分的面积是　 　．（结果保留π）
18．如图，正方形ABCD的边长为6，以点D为圆心，4为半径作圆弧于正方形的边相交，则图中由圆弧和正方形的边围成的阴影部分的面积为 　 　．（结果保留π）
三．解答题（共6小题，满分58分）
19．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，且AC＝2，∠CAB＝30°，求图中阴影部分面积．
20．如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，OF⊥AC于点F，BE＝OF．
（1）求证：△AFO≌△CEB；
（2）若BE＝4，CD＝8，求：
①⊙O的半径；
②求图中阴影部分的面积．
21．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连接BC．
（1）求证：AE＝ED；
（2）若AB＝6，∠ABC＝30°，求图中阴影部分的面积．
22．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是弧BD上不与B、D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G．
（1）求证：△ADF≌△BDG．
（2）若AB＝4，且点E是弧BD的中点，求阴影部分面积．（结果保留π）
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D．
（1）若∠B＝28°，求的度数；
（2）若D是AB的中点，AB＝2，求阴影部分的面积；
（3）若AC＝，求AD AB的值．
24．如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN．
（1）EM与BE的数量关系是 　 　；
（2）求证：＝；
（3）若AM＝，MB＝1，求阴影部分图形的面积．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：该扇形的弧长＝＝3π．
故选：C．
2．解：设半径为r，
∵扇形的弧长为3π，所含的圆心角为120°，
∴＝3π，
∴r＝，
故选：C．
3．解：设扇形的半径为rcm，
∵扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长为20πcm，
∴＝20π，解得r＝24 cm，
∴S扇形＝×20π×24＝240πcm2．
故选：C．
4．解：∵AB＝36cm，BD＝18cm，AB，AC夹角为150°，
∴AD＝AB﹣BD＝18cm，
∴的长为：＝15π（cm），
故选：B．
5．解：由题意可知：AE＝AD＝BC＝2，
在Rt△ABE中，sin∠AEB＝＝＝，
∴∠AEB＝60°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE＝60°，
l＝＝＝，
故A、B、D错误，
故选：C．
6．解：由题意得：CA和CB分别与⊙O相切于点A和点B，
∴OA⊥CA，OB⊥CB，
∴∠OAC＝∠OBC＝90°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴＝16π（cm），
故选：B．
7．解：∵矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，
∴AD＝BC＝2，CD＝AB＝，∠A＝90°，
∵BE＝BC＝2，
在Rt△ABE中，∵AB＝，BE＝2，
∴∠AEB＝∠ABE＝45°，AE＝AB＝，
∴DE＝AD﹣AE＝2﹣，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBE＝45°，
∴的长度＝＝，
∴图中阴影部分的周长＝+2﹣+＝2+，
故选：A．
8．解：连接AC、AF，
由旋转的性质可知，BC＝EF，AB＝AE，
∵DE＝EF，
∴DE＝BC＝AD，
在Rt△ADE中，DE＝AD，
∴∠DAE＝45°，AE＝＝，
∴∠EAB＝90°﹣45°＝45°，即旋转角为45°，
∴∠FAC＝45°，
在Rt△ABC中，AC＝＝3，
∴的长＝＝，
故选：B．
9．解：连接AC，延长AP，交BC于E，
在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，
∴∠ABC＝∠D＝60°，AB＝BC＝2，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
在△APB和△APC中，
，
∴△APB≌△APC（SSS），
∴∠PAB＝∠PAC，
∴AE⊥BC，BE＝CE＝1，
∵△BPC为等腰直角三角形，
∴PE＝BC＝1，
在Rt△ABE中，AE＝AB＝，
∴AP＝﹣1，
∴S阴影＝S扇形ABC﹣S△PAB﹣S△PBC＝﹣（﹣1）×1﹣＝π﹣，
故选：A．
10．解：连接OD，
∵△AOC沿AC边折叠得到△ADC，
∴OA＝AD，∠OAC＝∠DAC，
又∵OA＝OD，
∴OA＝AD＝OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠OAC＝∠DAC＝30°，
∵扇形AOB的圆心角是直角，半径为2，
∴OC＝2，
∴阴影部分的面积是：（×2）＝3π﹣4，
故选：A．
二．填空题（共8小题，满分32分）
11．解：设扇形的圆心角为n°，
∵扇形的半径为6cm，弧长为5πcm，
∴5π＝，
解得n＝150，
故答案为：150．
12．解：连接OA，OC．
∵∠AOC＝2∠ABC＝60°，
∴的长＝＝π，
故答案为：π．
13．解：扇形的面积＝＝π（cm2）
故答案为：πcm2．
14．解：如图，连接OC．
∵AB是直径，AB＝6，
∴OA＝OB＝3，
∵∠AOC＝2∠ADC＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∴的长＝＝2π，
故答案为：2π．
15．解：连接OM、ON，
∵MN是小半圆的直径，
∴∠MON＝90°，
∵OM＝ON＝OA＝2，
∴MN＝＝2，
∴S小半圆＝π （）2＝π，
大圆中扇形OMN的面积S＝＝π，
S△MON＝OM ON＝＝2，
∴S阴影＝S小半圆+S扇形OMN﹣S△MON＝2π﹣2，
故答案为2π﹣2．
16．解：连接OC，在Rt△OBC中，由勾股定理得，
由正方形的性质得∠AOB＝45°，
∴，，
∴．
故答案为．
17．解：如图，连接CD．
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝6，
∴∠BAC＝60°，BC＝6，
∵CA＝CD，
∴△ACD是等边三角形
∴∠ACD＝60°，∠ECD＝30°，
∵AB＝2AC＝12，AC＝AD，
∴AD＝BD＝6，
∴S阴＝S△ABC﹣S扇形CDE＝××6×﹣＝9﹣3π．
故答案为9﹣3π．
18．解：设圆弧与正方形的交点为E、F，连接DE、DF，
∵AD＝6，DE＝4，
∴cos∠ADE＝＝，
∴∠ADE＝30°，
∴AE＝DE＝2，
同理，∠CDF＝30°，
∴∠EDF＝90°﹣30°﹣30°＝30°，
∴S阴影＝S正方形﹣2S△ADE﹣S扇形DEF＝62﹣2××﹣＝36﹣12﹣4π，
故答案为36﹣12﹣4π．
三．解答题（共6小题，满分58分）
19．解：作OD⊥AC于D，连接OC，如图所示．
∴AD＝＝1，
在Rt△AOD中，∠DAO＝30°，
∴OD＝ADtan∠DAO＝1×＝，
∴OA＝2OD＝，
∵∠COB＝2∠CAB＝60°，
∴S△AOC＝＝＝，S扇形BOC＝＝π，
∴S阴影＝S△AOC + S扇形BOC＝+．
20．（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，AB⊥CD，
∴BC＝BD，
∴∠A＝∠DCB，
∴OF⊥AC，
∴∠AFO＝∠CEB，
∵BE＝OF，
∴△AFO≌△CEB（AAS）．
（2）①∵AB 为⊙O 的直径，AB⊥CD，
∴CE＝CD＝4
设 OC＝r，则 OE＝r﹣4，
∴r2＝（r﹣4）2+（4）2
∴r＝8．
②连接 OD．
∵OE＝4＝OC，
∴∠OCE＝30°，∠COB＝60°，
∴∠COD＝120°，
∵△AFO≌△CEB，
∴S△AFO＝S△BCE，
∴S阴＝S扇形OCD﹣S△OCD
＝﹣××4
＝π﹣16
21．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，
又∵OC为半径，
∴AE＝ED，
（2）解：连接CD，OD，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝∠OCB+∠ABC＝60°，
∵OC⊥AD，
∴＝，
∴∠COD＝∠AOC＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∵AB＝6，
∴BD＝3，AD＝3，
∵OA＝OB，AE＝ED，
∴OE＝＝，
∴S阴影＝S扇形AOD﹣S△AOD＝﹣×＝3π﹣．
22．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵BA＝BC，
∴AD＝CD，
∵∠ABC＝90°，
∴BD＝AD，
在△ADF和△BDG中，
，
∴△ADF≌△BDG（ASA），
（2）解：连接OE，交BD于点H，
∵点E是弧BD的中点，
∴OE⊥BD，
∴OE∥AD，
∴∠BOE＝∠BAD＝45°，
∵AB＝4，
∴OB＝OE＝2，
在Rt△OHB中，BH＝sin∠BOH OB＝，
∴S阴影＝S扇形﹣S△ABE＝﹣×＝﹣．
23．解：（1）连接CD，如图，
∵∠ACB＝90°，∠B＝28°，
∴∠BAC＝90°﹣28°＝62°，
∵CA＝CD，
∴∠CDA＝∠CAD＝62°，
∴∠ACD＝180°﹣62°﹣62°＝56°，
∴的度数为56°；
（2）∵D是AB的中点，∠ACB＝90°，
∴CD＝AD＝BD＝AB＝1，
∵CD＝CA，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴阴影部分的面积＝S扇形ACD﹣S△ACD
＝﹣×12
＝π﹣；
（3）过点C作CH⊥AD于H，
∴AH＝DH＝AD，
∵∠ACB＝90°，CH⊥AB，
∴∠ACB＝∠AHC，
∵∠A＝∠A，
∴△ACH∽△△ABC，
∴AC：AB＝AH：AC，
∴AC2＝AH AB，
即（）2＝AD AB，
∴AD AB＝6．
24．解：（1）∵AC为⊙O的直径，点E是的中点，
∴∠ABE＝45°，
∵AB⊥EN，
∴△BME是等腰直角三角形，
∴BE＝EM，
故答案为BE＝EM；
（2）连接EO，
∵AC是⊙O的直径，E是的中点，
∴∠AOE＝90°，
∴∠ABE＝∠AOE＝45°，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠EMB＝90°
∴∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴＝，
∵点E是的中点，
∴＝，
∴＝，
∴﹣＝﹣，
∴＝；
（3）连接AE，OB，ON，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠AME＝∠EMB＝90°，
∵BM＝1，由（2）得∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴EM＝BM＝1，
又∵BE＝EM，
∴BE＝，
∵在Rt△AEM中，EM＝1，AM＝，
∴tan∠EAB＝＝，
∴∠EAB＝30°，
∵∠EAB＝∠EOB，
∴∠EOB＝60°，
又∵OE＝OB，
∴△EOB是等边三角形，
∴OE＝BE＝，
又∵＝，
∴BE＝CN，
∴△OEB≌△OCN（SSS），
∴CN＝BE＝
又∵S扇形OCN＝＝，S△OCN＝CN×CN＝×＝，
∴S阴影＝S扇形OCN﹣S△OCN＝﹣．