2021-2022学年鲁教版六年级数学上册《3.7探索与表达规律》题型分类练习（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年鲁教版六年级数学上册《3.7探索与表达规律》题型分类练习（Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 386.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-10 10:31:12 | ||
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文档简介
2021-2022学年鲁教版六年级数学上册《3.7探索与表达规律》题型分类练习（附答案）
一．规律型：数字的变化类
1．观察下列等式（式子中的“!”是一种数学运算符号）1!＝1，2!＝2×1，3!＝3×2×1，4!＝4×3×2×1，…，那么计算的值是（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
2．求1+2+22+23+…+22020的值，可令S＝1+2+22+23+…+22020，则2S＝2+22+23+24+…+22021，因此2S﹣S＝22021﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52020的值为（ ）
A．52020﹣1 B．52021﹣1 C． D．
3．下列各正方形中的四个数具有相同的规律，根据规律，x的值为（ ）
A．135 B．153 C．170 D．189
如图所示：下列各三角形中的三个数均有相同的规律，由此规律最后一个三角形中，y的值是（ ）
A．380 B．382 C．384 D．386
5．如图，在数轴上，A1，P两点表示的数分别是1，2，A1，A2关于点O对称，A2，A3关于点P对称，A3，A4关于点O对称，A4，A5关于点P对称…依此规律，则点A14表示的数是（ ）
A．21 B．﹣21 C．25 D．﹣25
6．已知一列数：1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，…将这列数排成下列形式：
第1行1
第2行﹣2 3
第3行﹣4 5﹣6
第4行7﹣8 9﹣10
第5行11﹣12 13﹣14 15…
按照上述规律排下去，那么第100行从左边数第5个数是（ ）
A．﹣4955 B．4955 C．﹣4950 D．4950
7．观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（ ）
A．23 B．75 C．77 D．139
8．将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是 ．
9．在一次数字竞猜游戏中，大屏幕上出现的一列有规律的数是，，，，，，，…则第n个数为 ．
10．小刚在做数学题时，发现下面有趣的结果：
第1行：3﹣2＝1
第2行：8+7﹣6﹣5＝4
第3行：15+14+13﹣12﹣11﹣10＝9
第4行：24+23+22+21﹣20﹣19﹣18﹣17＝16
……
根据以上规律，“2021”在第m行，从左往右数第n个，那么m+n＝ ．
11．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示﹣3和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|；
（2）如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，求a的值；
（3）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，求|a+4|+|a﹣2|的值．
12．观察下列算式：
1＝1＝12
1+3＝4＝22
1+3+5＝9＝32
1+3+5+7＝16＝42
……………
按规律填空：
（1）1+3+5+7+9＝ ；
（2）1+3+5+…+2025＝ ；
（3）1+3+5+…+ ＝n2
13．观察下列各式，完成下列问题．
已知1+3＝4＝22，1+3+5＝9＝32，1+3+5+7＝16＝42，1+3+5+7+9＝25＝52，…
（1）仿照上例，计算：1+3+5+7+…+99＝ ．
（2）根据上述规律，请你用自然数n（n≥1）表示一般规律：
14．观察下列各式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；…
请回答下列各题：
（1）按以上规律列出第5个等式：a5＝ ＝ ；
（2）用含n的式子表示第n个等式（n为正整数）：an＝ ．
15．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22021．
首先设S＝1+2+22+23+24+…+22021①，
则2S＝2+22+23+24+25+…+22022②，
②﹣①得S＝22022﹣1，
即1+2+22+23+24+…+22021＝22022﹣1．
以上解法，在数列求和中，我们称之为：“错位相减法”．
请你根据上面的材料，解决下列问题：
（1）求1+3+32+33+34+…+32020的值；
（2）若a为正整数且a≠1，求1+a+a2+a3+a4+…+a2020．
16．请你观察：，，；…
+＝+＝1﹣＝；
++＝++＝1﹣＝；…
以上方法称为“裂项相消求和法”．
请类比完成：
（1）+++＝ ；
（2）++++…+＝ ；
（3）计算：的值．
17．观察下列等式：
第1个等式：12＝13；
第2个等式：（1+2）2＝13+23；
第3个等式：（1+2+3）2＝13+23+33；
第4个等式：（1+2+3+4）2＝13+23+33+43；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出第n（n为正整数）个等式： （用含n的等式表示）；
（3）利用你发现的规律求113+123+133+…+1003值．
18．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22021的值．
解：设S＝1+2+22+23+24+…+22021；
将等式两边同时乘以2，得：
2S＝2+22+23+24+…+22021+22022；
将下式减去上式得：
2S﹣S＝22022﹣1，即S＝22022﹣1，即1+2+22+23+24+…+22021＝22022﹣1；
请你仿照此法计算：
（1）1++．
（2）1+3+32+33+34+…+3n．
19．观察下列式子，
①＝1﹣，
②＝﹣，
③＝﹣，…
（1）用正整数n表示这个规律 ；
（2）设F（n）＝++…+，解决下列问题：
①F（10）＝ ；
②问：F（1）+++…+与F（n）相等吗？并说明理由．
二．规律型：图形的变化类
20．一跳蚤在一直线上从O点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位…，依此规律跳下去，当它跳第2020次落下时，落点处位于O点的（ ）
A．右侧505个单位 B．左侧505个单位
C．右侧1010个单位 D．左侧1010个单位
21．用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第10个图案中共有圆点的个数是（ ）
A．59 B．65 C．70 D．71
22．根据如图中箭头的指向规律，从2018到2019再到2020，箭头的方向是以下图示中的（ ）
A． B． C． D．
23．如图所示，根据你的观察，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（ ）
A． B． C． D．
24．如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2023个白色纸片，则n的值为（ ）
A．673 B．674 C．675 D．676
25．下列图案都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图案中有3张黑色正方形纸片，第②个图案中有5张黑色正方形纸片，第③个图案中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去，第n个图案中黑色正方形纸片的张数为 （用含有n的代数式表示）．
26．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n（n是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是 ．
27．如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中菱形的个数为 ．
28．如图，是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖，从里向外的第一层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，以此类推，第9层中含有正三角形个数是 ．
29．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖．按下图的方式铺地板，则第（n）个图形中需要黑色瓷砖 块．（用含n的代数式表示）
30．如图，每个图案均由边长相等的黑、白两色正方形按规律拼接而成，照此规律，第n个图案中白色正方形比黑色正方形多 个．（用含n的代数式表示）
31．用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数y与n的关系式为 ．
32．【规律探索】如图所示的是由相同的小正方形组成的图形，每个图形的小正方形个数为Sn，n是正整数．观察下列图形与等式之间的关系
【规律归纳】
（1）S9﹣S8＝ ；Sn﹣Sn﹣1＝ ；
（2）S9+S8＝ ；Sn+Sn﹣1＝ ；
【规律应用】
（3）计算的结果为 ．
33．如图是用棋子摆成的“T”字图案．
从图案中可以看出，第一个“T”字图案需要5枚棋子，第二个“T”字图案需要8枚棋子，第三个“T”字图案需要11枚棋子．
（1）照此规律，摆成第四个图案需要 枚棋子．
（2）照此规律，摆成第n个图案需要 枚棋子．（用含n的代数式表示）
（3）照此规律，摆成第2021个图案需要几枚棋子？
（4）摆成这种“T”字图案的棋子数可能是2022枚吗？如果是，请计算出是第几个图案，如果不是，请说明理由．
34．如图是由一些火柴棒搭成的图案：
（1）摆第1个图案用 根火柴棒，摆第2个图案用 根火柴棒，摆第3个图案用 根火柴棒．
（2）按照这种方式摆下去，摆第n个图案用多少根火柴棒（n为正整数）？
（3）摆第404个图案需要多少根火柴棒？
参考答案
一．规律型：数字的变化类
1．解：根据题中的新定义得：
＝
＝2021．
故选：D．
2．解：设S＝1+5+52+53+…+52020，
则5S＝5+52+53+…+52021，
∴5S﹣S＝52021﹣1，
∴4S＝52021﹣1，
∴S＝，
即1+5+52+53+…+52020的值为，
故选：C．
3．解：分析题目可得4＝2×2，6＝3×2，8＝4×2；
2＝1+1，3＝2+1，4＝3+1；
∴18＝2b，b＝a+1．
∴a＝8，b＝9．
又∵9＝2×4+1，20＝3×6+2，35＝4×8+3，
∴x＝18b+a＝18×9+8＝170．
故选：C．
4．解：由题意可得，19右侧的数是20，
y＝19×20+2＝382，
故选：B．
5．解：A1，P两点表示的数分别是1，2，A1，A2关于点O对称，
∴A2表示的数是﹣1，
∵A2，A3关于点P对称，
∴A3表示的数是1+4＝5，
∵A3，A4关于点O对称，
∴A4表示的数是﹣5，
∵A4，A5关于点P对称，
∴A5表示的数是1+4+4＝9，
……
∴关于P点对称的点表示的数是1+2（n﹣2）＝2n﹣3，
关于O点对称的点表示的数是3﹣2n，
∴点A14表示的数是﹣25，
故选：D．
6．解：∵第n行有n个数，此行第一个数的绝对值为+1；且奇数为正，偶数为负，
∴第100行从左边数第1个数绝对值为4951，从左边数第5个数等于4955．
故选：B．
7．解：∵上边的数为连续的奇数1，3，5，7，9，11，
左边的数为21，22，23，…，
∴b＝26＝64，
∵上边的数与左边的数的和正好等于右边的数，
∴a＝11+64＝75，
故选：B．
8．解：观察图表可知：第n行第一个数是n2，
∴第45行第一个数是2025，
∴第45行、第8列的数是2025﹣7＝2018，
故答案为2018．
9．解：第1个数为＝，
第2个数为＝，
第3个数为＝，
第4个数为＝，
第5个数为＝，
所以第n个数为．
故答案为．
10．解：∵（43+1）2﹣1＝1935，
（44+1）2﹣1＝2024，
∴2021这个数出现在第44行，左起第2024﹣2021+1＝4个数．
∴m＝44，n＝4，
∴m+n＝44+4＝48，
故答案为48．
11．解：（1）观察数轴即可得出：4和1的两点之间的距离是3，﹣3和2两点之间的距离是5，
故答案为：3，5；
（2）由（1）结论知：|a+2|＝3，
解得a＝1或﹣4，
故a值为1或﹣4；
（3）|a+4|+|a﹣2|表示的是a点到﹣4和2的距离和，
∵a的点位于﹣4与2之间，
∴a点到﹣4和2的距离和为6，
故|a+4|+|a﹣2|＝6．
12．解：（1）1+3+5+7+9＝52，
故答案为：52．
（2）由2n﹣1＝2025知n＝1013，
∴1+3+5+…+2025＝10132，
故答案为：10132．
（3）由题意知1+3+5+…+（2n﹣1）＝n2，
故答案为：（2n﹣1）．
13．解：（1）1+3＝4＝22，
1+3+5＝9＝32，
1+3+5+7＝16＝42，
1+3+5+7+9＝25＝52，…
1+3+5+7+…+99＝2500＝502．
（2）1+3+5+7+…+（2n﹣1）＝n2．
14．解：（1）由题意得：第5个等式为：a5＝＝，
故答案为：；；
（2）∵第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
…
∴第n个等式为：an＝．
故答案为：．
15．解：（1）设S＝1+3+32+33+34+…+32020①，
则3S＝3+32+33+34+35+…+32021②，
②﹣①得2S＝32021﹣1，
所以S＝，
即1+3+32+33+34+…+32020＝；
（2）设S＝1+a+a2+a3+a4+…+a2020①，
则aS＝a+a2+a3+a4+…+a2020+a2021②，
②﹣①得：（a﹣1）S＝a2021﹣1，
所以S＝，
即1+a+a2+a3+a4+…+a2020＝．
16．解：（1）+++
＝1﹣+
＝1﹣
＝；
故答案为：；
（2）++++…+
＝1﹣++…+﹣
＝1﹣
＝；
故答案为：；
（3）
＝+++
＝×（1﹣）
＝×（1﹣）
×
＝．
17．解：（1）根据题意可知：第5个等式为：（1+2+3+4+5）2＝13+23+33+43+53；
故答案为：（1+2+3+4+5）2＝13+23+33+43+53；
（2）根据（1）可得：第n（n为正整数）个等式为：（1+2+3+4+5+...+n）2＝13+23+33+43+53+...n3；
故答案为：（1+2+3+4+5+...+n）2＝13+23+33+43+53+...n3；
（3）113+123+133+…+1003
＝13+23+33+43+53+...1003﹣（13+23+33+43+53+...103）
＝（1+2+3+...+100）2﹣（1+2+3+...+10）2
＝50502﹣552
＝25499475．
18．解：（1）设S＝1+++++ +，
将等式两边同时乘以得：
S＝++++ ++．
将上式减去下式得：
S＝1﹣．
∴S＝2﹣2×＝2﹣．
∴1+++++ +＝2﹣．
（2）设S＝1+3+32+33+34+ +3n，
将等式两边同时乘以3，得：
3S＝3+32+33+34+ +3n+3n+1．
将下式减去上式得：
2S＝3n+1﹣1．
∴S＝＝．
∴1+3+32+33+34+ +3n＝．
19．解：（1）用正整数n表示这个规律为：，
等式右边＝﹣＝＝＝等式左边，
即等式成立，
故答案为：；
（2）①F（10）＝++…+＝1﹣++…+＝1﹣＝，
故答案为：；
②相等，理由如下：
F（1）+++…+＝+++......+＝+++......+＝F（n），
即相等．
二．规律型：图形的变化类（共16小题）
20．解：由题意可得，
第一次落点可以用1表示，
第二次落点可以用﹣1表示，
第三次落点可以用2表示，
第四次落点可以用﹣2表示，
…
则第2020次落点可以用﹣1010表示，
故当它跳第2020次落下时，落点处在点O的左侧距离是1010个单位长度，
故选：D．
21．解：根据图中圆点排列，当n＝1时，圆点个数5+2；当n＝2时，圆点个数5+2+3；当n＝3时，圆点个数5+2+3+4；当n＝4时，圆点个数5+2+3+4+5，…
∴当n＝10时，圆点个数5+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11＝4+（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11）＝．
故选：C．
22．解：观察图形的变化发现：
每4个数为一个循环组，
2016÷4＝504
所以从0开始到2015共2016个数构成504个循环，
2016是第505个循环的第1个数，
2017是第505个循环的第2个数，
2018是第505个循环的第3个数，
2019是第505个循环的第4个数，
2020是第506个循环的第1个数，
所以从2018到2019再到2020，箭头的方向是以下图示中的C．
故选：C．
23．解：根据图形的变化规律可得，每行每列的总点数都是10，
故选：C．
24．解：∵第1个图案中白色纸片有4＝1+1×3张；
第2个图案中白色纸片有7＝1+2×3张；
第3个图案中白色纸片有10＝1+3×3张；
…
∴第n个图案中白色纸片有1+n×3＝3n+1（张），
根据题意得：3n+1＝2023，
解得：n＝674，
故选：B．
25．解：∵第①个图案中有3张黑色正方形纸片，第②个图案中有5张黑色正方形纸片，第③个图案中有7张黑色正方形纸片，第④个图案中有9张黑色正方形纸片，…，
∴每个图案比相邻的前一个图案多2张黑色正方形纸片，
∴第n个图案中黑色正方形纸片的张数为3+2（n﹣1）＝（2n+1）（张）．
故答案为：（2n+1）．
26．解：第1个图形是三角形，有3条边，每条边上有2个点，重复了3个点，需要黑色棋子2×3﹣3个，
第2个图形是四边形，有4条边，每条边上有3个点，重复了4个点，需要黑色棋子3×4﹣4个，
第3个图形是五边形，有5条边，每条边上有4个点，重复了5个点，需要黑色棋子4×5﹣5个，
…
则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）﹣（n+2）＝n（n+2）．
故答案为：n（n+2）．
27．解：第①个图形中一共有3个菱形，即2+1×1＝3；
第②个图形中一共有7个菱形，即3+2×2＝7；
第③个图形中一共有13个菱形，即4+3×3＝13；
…，
按此规律排列下去，
所以第⑦个图形中菱形的个数为：8+7×7＝57．
故答案为：57．
28．解：第1层包括6个正三角形，第2层包括18个正三角形，…，每一层比上一层多12个，
所以第9层中含有正三角形的个数是6+12×8＝102（个）．
故答案为：102
29．解：第一个图形有黑色瓷砖5+1＝4块．
第二个图形有黑色瓷砖5×2+1＝11块．
第三个图形有黑色瓷砖5×3+1＝16块．
…
第n个图形中需要黑色瓷砖5n+1块．
故答案为：5n+1．
30．解：方法一：
第1个图形黑、白两色正方形共3×3个，其中黑色1个，白色3×3﹣1个，
第2个图形黑、白两色正方形共3×5个，其中黑色2个，白色3×5﹣2个，
第3个图形黑、白两色正方形共3×7个，其中黑色3个，白色3×7﹣3个，
依此类推，
第n个图形黑、白两色正方形共3×（2n+1）个，其中黑色n个，白色3×（2n+1）﹣n个，
即：白色正方形5n+3个，黑色正方形n个，
故第n个图案中白色正方形比黑色正方形多4n+3个，
方法二
第1个图形白色正方形共8个，黑色1个，白色比黑色多7个，
第2个图形比第1个图形白色比黑色又多了4个，即白色比黑色多（7+4）个，
第3个图形比第2个图形白色比黑色又多了4个，即白色比黑色多（7+4×2）个，
类推，第n个图案中白色正方形比黑色正方形多[7+4（n﹣1）]个，即（4n+3）个，
故第n个图案中白色正方形比黑色正方形多（4n+3）个．
31．解：由图知，第1个图形中小正方形的个数（1+1）2﹣1＝3，
第2个图形中小正方形的个数（2+1）2﹣1＝8，
第3个图形中小正方形的个数（3+1）2﹣1＝15，
..．
第n个图形中小正方形的个数（n+1）2﹣1＝y，
故y＝（n+1）2﹣1＝n2+2n；
故答案为：y＝n2+2n．
32．解：（1）根据图形与等式之间的关系可知：
S2﹣S1＝2；
S3﹣S2＝3；
S4﹣S3＝4；
…
发现规律：
Sn﹣Sn﹣1＝n；
∴S9﹣S8＝9；
故答案为9、n；
（2）S2+S1＝22；
S3+S2＝32；
S4+S3＝42；
…
发现规律：
Sn+Sn﹣1＝n2；
∴S9+S8＝92＝81；
故答案为81、n2；
（3）结合（1）（2）可知：
＝＝．
故答案为．
33．解：（1）由规律可得摆成第四个图案需要14枚棋子；
故答案为：14；
（2）从第2个图案开始，即从5个棋子的基础上依次多3枚，即第n个图案需要5+3（n﹣1）＝（3n+2）枚，
故答案为：（3n+2）；
（3）按（2）中规律，当n＝2021时，3n+2＝3×2021+2＝6065．
故摆成第2021个图案需要6065枚棋子．
（4）不可能，理由如下：
令3n+2＝2022，解得n＝，n为小数，与题意不符，
故摆成这种“T”字图案的棋子数不可能是2022枚．
34．解：（1）观察图形的变化可知：
摆第1个图案用5+1＝6根火柴棒，
摆第2个图案用5×2+1＝11根火柴棒，
摆第3个图案用5×3+1＝16根火柴棒；
故答案为：6，11，16；
（2）结合（1）可知：
摆第n个图案用（5n+1）根火柴棒；
（3）当n＝404时，5×404+1＝2021，
所以摆第404个图案需要火柴棒2021根．
一．规律型：数字的变化类
1．观察下列等式（式子中的“!”是一种数学运算符号）1!＝1，2!＝2×1，3!＝3×2×1，4!＝4×3×2×1，…，那么计算的值是（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
2．求1+2+22+23+…+22020的值，可令S＝1+2+22+23+…+22020，则2S＝2+22+23+24+…+22021，因此2S﹣S＝22021﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52020的值为（ ）
A．52020﹣1 B．52021﹣1 C． D．
3．下列各正方形中的四个数具有相同的规律，根据规律，x的值为（ ）
A．135 B．153 C．170 D．189
如图所示：下列各三角形中的三个数均有相同的规律，由此规律最后一个三角形中，y的值是（ ）
A．380 B．382 C．384 D．386
5．如图，在数轴上，A1，P两点表示的数分别是1，2，A1，A2关于点O对称，A2，A3关于点P对称，A3，A4关于点O对称，A4，A5关于点P对称…依此规律，则点A14表示的数是（ ）
A．21 B．﹣21 C．25 D．﹣25
6．已知一列数：1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，…将这列数排成下列形式：
第1行1
第2行﹣2 3
第3行﹣4 5﹣6
第4行7﹣8 9﹣10
第5行11﹣12 13﹣14 15…
按照上述规律排下去，那么第100行从左边数第5个数是（ ）
A．﹣4955 B．4955 C．﹣4950 D．4950
7．观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（ ）
A．23 B．75 C．77 D．139
8．将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是 ．
9．在一次数字竞猜游戏中，大屏幕上出现的一列有规律的数是，，，，，，，…则第n个数为 ．
10．小刚在做数学题时，发现下面有趣的结果：
第1行：3﹣2＝1
第2行：8+7﹣6﹣5＝4
第3行：15+14+13﹣12﹣11﹣10＝9
第4行：24+23+22+21﹣20﹣19﹣18﹣17＝16
……
根据以上规律，“2021”在第m行，从左往右数第n个，那么m+n＝ ．
11．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示﹣3和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|；
（2）如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，求a的值；
（3）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，求|a+4|+|a﹣2|的值．
12．观察下列算式：
1＝1＝12
1+3＝4＝22
1+3+5＝9＝32
1+3+5+7＝16＝42
……………
按规律填空：
（1）1+3+5+7+9＝ ；
（2）1+3+5+…+2025＝ ；
（3）1+3+5+…+ ＝n2
13．观察下列各式，完成下列问题．
已知1+3＝4＝22，1+3+5＝9＝32，1+3+5+7＝16＝42，1+3+5+7+9＝25＝52，…
（1）仿照上例，计算：1+3+5+7+…+99＝ ．
（2）根据上述规律，请你用自然数n（n≥1）表示一般规律：
14．观察下列各式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；…
请回答下列各题：
（1）按以上规律列出第5个等式：a5＝ ＝ ；
（2）用含n的式子表示第n个等式（n为正整数）：an＝ ．
15．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22021．
首先设S＝1+2+22+23+24+…+22021①，
则2S＝2+22+23+24+25+…+22022②，
②﹣①得S＝22022﹣1，
即1+2+22+23+24+…+22021＝22022﹣1．
以上解法，在数列求和中，我们称之为：“错位相减法”．
请你根据上面的材料，解决下列问题：
（1）求1+3+32+33+34+…+32020的值；
（2）若a为正整数且a≠1，求1+a+a2+a3+a4+…+a2020．
16．请你观察：，，；…
+＝+＝1﹣＝；
++＝++＝1﹣＝；…
以上方法称为“裂项相消求和法”．
请类比完成：
（1）+++＝ ；
（2）++++…+＝ ；
（3）计算：的值．
17．观察下列等式：
第1个等式：12＝13；
第2个等式：（1+2）2＝13+23；
第3个等式：（1+2+3）2＝13+23+33；
第4个等式：（1+2+3+4）2＝13+23+33+43；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出第n（n为正整数）个等式： （用含n的等式表示）；
（3）利用你发现的规律求113+123+133+…+1003值．
18．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22021的值．
解：设S＝1+2+22+23+24+…+22021；
将等式两边同时乘以2，得：
2S＝2+22+23+24+…+22021+22022；
将下式减去上式得：
2S﹣S＝22022﹣1，即S＝22022﹣1，即1+2+22+23+24+…+22021＝22022﹣1；
请你仿照此法计算：
（1）1++．
（2）1+3+32+33+34+…+3n．
19．观察下列式子，
①＝1﹣，
②＝﹣，
③＝﹣，…
（1）用正整数n表示这个规律 ；
（2）设F（n）＝++…+，解决下列问题：
①F（10）＝ ；
②问：F（1）+++…+与F（n）相等吗？并说明理由．
二．规律型：图形的变化类
20．一跳蚤在一直线上从O点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位…，依此规律跳下去，当它跳第2020次落下时，落点处位于O点的（ ）
A．右侧505个单位 B．左侧505个单位
C．右侧1010个单位 D．左侧1010个单位
21．用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第10个图案中共有圆点的个数是（ ）
A．59 B．65 C．70 D．71
22．根据如图中箭头的指向规律，从2018到2019再到2020，箭头的方向是以下图示中的（ ）
A． B． C． D．
23．如图所示，根据你的观察，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（ ）
A． B． C． D．
24．如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2023个白色纸片，则n的值为（ ）
A．673 B．674 C．675 D．676
25．下列图案都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图案中有3张黑色正方形纸片，第②个图案中有5张黑色正方形纸片，第③个图案中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去，第n个图案中黑色正方形纸片的张数为 （用含有n的代数式表示）．
26．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n（n是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是 ．
27．如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中菱形的个数为 ．
28．如图，是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖，从里向外的第一层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，以此类推，第9层中含有正三角形个数是 ．
29．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖．按下图的方式铺地板，则第（n）个图形中需要黑色瓷砖 块．（用含n的代数式表示）
30．如图，每个图案均由边长相等的黑、白两色正方形按规律拼接而成，照此规律，第n个图案中白色正方形比黑色正方形多 个．（用含n的代数式表示）
31．用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数y与n的关系式为 ．
32．【规律探索】如图所示的是由相同的小正方形组成的图形，每个图形的小正方形个数为Sn，n是正整数．观察下列图形与等式之间的关系
【规律归纳】
（1）S9﹣S8＝ ；Sn﹣Sn﹣1＝ ；
（2）S9+S8＝ ；Sn+Sn﹣1＝ ；
【规律应用】
（3）计算的结果为 ．
33．如图是用棋子摆成的“T”字图案．
从图案中可以看出，第一个“T”字图案需要5枚棋子，第二个“T”字图案需要8枚棋子，第三个“T”字图案需要11枚棋子．
（1）照此规律，摆成第四个图案需要 枚棋子．
（2）照此规律，摆成第n个图案需要 枚棋子．（用含n的代数式表示）
（3）照此规律，摆成第2021个图案需要几枚棋子？
（4）摆成这种“T”字图案的棋子数可能是2022枚吗？如果是，请计算出是第几个图案，如果不是，请说明理由．
34．如图是由一些火柴棒搭成的图案：
（1）摆第1个图案用 根火柴棒，摆第2个图案用 根火柴棒，摆第3个图案用 根火柴棒．
（2）按照这种方式摆下去，摆第n个图案用多少根火柴棒（n为正整数）？
（3）摆第404个图案需要多少根火柴棒？
参考答案
一．规律型：数字的变化类
1．解：根据题中的新定义得：
＝
＝2021．
故选：D．
2．解：设S＝1+5+52+53+…+52020，
则5S＝5+52+53+…+52021，
∴5S﹣S＝52021﹣1，
∴4S＝52021﹣1，
∴S＝，
即1+5+52+53+…+52020的值为，
故选：C．
3．解：分析题目可得4＝2×2，6＝3×2，8＝4×2；
2＝1+1，3＝2+1，4＝3+1；
∴18＝2b，b＝a+1．
∴a＝8，b＝9．
又∵9＝2×4+1，20＝3×6+2，35＝4×8+3，
∴x＝18b+a＝18×9+8＝170．
故选：C．
4．解：由题意可得，19右侧的数是20，
y＝19×20+2＝382，
故选：B．
5．解：A1，P两点表示的数分别是1，2，A1，A2关于点O对称，
∴A2表示的数是﹣1，
∵A2，A3关于点P对称，
∴A3表示的数是1+4＝5，
∵A3，A4关于点O对称，
∴A4表示的数是﹣5，
∵A4，A5关于点P对称，
∴A5表示的数是1+4+4＝9，
……
∴关于P点对称的点表示的数是1+2（n﹣2）＝2n﹣3，
关于O点对称的点表示的数是3﹣2n，
∴点A14表示的数是﹣25，
故选：D．
6．解：∵第n行有n个数，此行第一个数的绝对值为+1；且奇数为正，偶数为负，
∴第100行从左边数第1个数绝对值为4951，从左边数第5个数等于4955．
故选：B．
7．解：∵上边的数为连续的奇数1，3，5，7，9，11，
左边的数为21，22，23，…，
∴b＝26＝64，
∵上边的数与左边的数的和正好等于右边的数，
∴a＝11+64＝75，
故选：B．
8．解：观察图表可知：第n行第一个数是n2，
∴第45行第一个数是2025，
∴第45行、第8列的数是2025﹣7＝2018，
故答案为2018．
9．解：第1个数为＝，
第2个数为＝，
第3个数为＝，
第4个数为＝，
第5个数为＝，
所以第n个数为．
故答案为．
10．解：∵（43+1）2﹣1＝1935，
（44+1）2﹣1＝2024，
∴2021这个数出现在第44行，左起第2024﹣2021+1＝4个数．
∴m＝44，n＝4，
∴m+n＝44+4＝48，
故答案为48．
11．解：（1）观察数轴即可得出：4和1的两点之间的距离是3，﹣3和2两点之间的距离是5，
故答案为：3，5；
（2）由（1）结论知：|a+2|＝3，
解得a＝1或﹣4，
故a值为1或﹣4；
（3）|a+4|+|a﹣2|表示的是a点到﹣4和2的距离和，
∵a的点位于﹣4与2之间，
∴a点到﹣4和2的距离和为6，
故|a+4|+|a﹣2|＝6．
12．解：（1）1+3+5+7+9＝52，
故答案为：52．
（2）由2n﹣1＝2025知n＝1013，
∴1+3+5+…+2025＝10132，
故答案为：10132．
（3）由题意知1+3+5+…+（2n﹣1）＝n2，
故答案为：（2n﹣1）．
13．解：（1）1+3＝4＝22，
1+3+5＝9＝32，
1+3+5+7＝16＝42，
1+3+5+7+9＝25＝52，…
1+3+5+7+…+99＝2500＝502．
（2）1+3+5+7+…+（2n﹣1）＝n2．
14．解：（1）由题意得：第5个等式为：a5＝＝，
故答案为：；；
（2）∵第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
…
∴第n个等式为：an＝．
故答案为：．
15．解：（1）设S＝1+3+32+33+34+…+32020①，
则3S＝3+32+33+34+35+…+32021②，
②﹣①得2S＝32021﹣1，
所以S＝，
即1+3+32+33+34+…+32020＝；
（2）设S＝1+a+a2+a3+a4+…+a2020①，
则aS＝a+a2+a3+a4+…+a2020+a2021②，
②﹣①得：（a﹣1）S＝a2021﹣1，
所以S＝，
即1+a+a2+a3+a4+…+a2020＝．
16．解：（1）+++
＝1﹣+
＝1﹣
＝；
故答案为：；
（2）++++…+
＝1﹣++…+﹣
＝1﹣
＝；
故答案为：；
（3）
＝+++
＝×（1﹣）
＝×（1﹣）
×
＝．
17．解：（1）根据题意可知：第5个等式为：（1+2+3+4+5）2＝13+23+33+43+53；
故答案为：（1+2+3+4+5）2＝13+23+33+43+53；
（2）根据（1）可得：第n（n为正整数）个等式为：（1+2+3+4+5+...+n）2＝13+23+33+43+53+...n3；
故答案为：（1+2+3+4+5+...+n）2＝13+23+33+43+53+...n3；
（3）113+123+133+…+1003
＝13+23+33+43+53+...1003﹣（13+23+33+43+53+...103）
＝（1+2+3+...+100）2﹣（1+2+3+...+10）2
＝50502﹣552
＝25499475．
18．解：（1）设S＝1+++++ +，
将等式两边同时乘以得：
S＝++++ ++．
将上式减去下式得：
S＝1﹣．
∴S＝2﹣2×＝2﹣．
∴1+++++ +＝2﹣．
（2）设S＝1+3+32+33+34+ +3n，
将等式两边同时乘以3，得：
3S＝3+32+33+34+ +3n+3n+1．
将下式减去上式得：
2S＝3n+1﹣1．
∴S＝＝．
∴1+3+32+33+34+ +3n＝．
19．解：（1）用正整数n表示这个规律为：，
等式右边＝﹣＝＝＝等式左边，
即等式成立，
故答案为：；
（2）①F（10）＝++…+＝1﹣++…+＝1﹣＝，
故答案为：；
②相等，理由如下：
F（1）+++…+＝+++......+＝+++......+＝F（n），
即相等．
二．规律型：图形的变化类（共16小题）
20．解：由题意可得，
第一次落点可以用1表示，
第二次落点可以用﹣1表示，
第三次落点可以用2表示，
第四次落点可以用﹣2表示，
…
则第2020次落点可以用﹣1010表示，
故当它跳第2020次落下时，落点处在点O的左侧距离是1010个单位长度，
故选：D．
21．解：根据图中圆点排列，当n＝1时，圆点个数5+2；当n＝2时，圆点个数5+2+3；当n＝3时，圆点个数5+2+3+4；当n＝4时，圆点个数5+2+3+4+5，…
∴当n＝10时，圆点个数5+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11＝4+（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11）＝．
故选：C．
22．解：观察图形的变化发现：
每4个数为一个循环组，
2016÷4＝504
所以从0开始到2015共2016个数构成504个循环，
2016是第505个循环的第1个数，
2017是第505个循环的第2个数，
2018是第505个循环的第3个数，
2019是第505个循环的第4个数，
2020是第506个循环的第1个数，
所以从2018到2019再到2020，箭头的方向是以下图示中的C．
故选：C．
23．解：根据图形的变化规律可得，每行每列的总点数都是10，
故选：C．
24．解：∵第1个图案中白色纸片有4＝1+1×3张；
第2个图案中白色纸片有7＝1+2×3张；
第3个图案中白色纸片有10＝1+3×3张；
…
∴第n个图案中白色纸片有1+n×3＝3n+1（张），
根据题意得：3n+1＝2023，
解得：n＝674，
故选：B．
25．解：∵第①个图案中有3张黑色正方形纸片，第②个图案中有5张黑色正方形纸片，第③个图案中有7张黑色正方形纸片，第④个图案中有9张黑色正方形纸片，…，
∴每个图案比相邻的前一个图案多2张黑色正方形纸片，
∴第n个图案中黑色正方形纸片的张数为3+2（n﹣1）＝（2n+1）（张）．
故答案为：（2n+1）．
26．解：第1个图形是三角形，有3条边，每条边上有2个点，重复了3个点，需要黑色棋子2×3﹣3个，
第2个图形是四边形，有4条边，每条边上有3个点，重复了4个点，需要黑色棋子3×4﹣4个，
第3个图形是五边形，有5条边，每条边上有4个点，重复了5个点，需要黑色棋子4×5﹣5个，
…
则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）﹣（n+2）＝n（n+2）．
故答案为：n（n+2）．
27．解：第①个图形中一共有3个菱形，即2+1×1＝3；
第②个图形中一共有7个菱形，即3+2×2＝7；
第③个图形中一共有13个菱形，即4+3×3＝13；
…，
按此规律排列下去，
所以第⑦个图形中菱形的个数为：8+7×7＝57．
故答案为：57．
28．解：第1层包括6个正三角形，第2层包括18个正三角形，…，每一层比上一层多12个，
所以第9层中含有正三角形的个数是6+12×8＝102（个）．
故答案为：102
29．解：第一个图形有黑色瓷砖5+1＝4块．
第二个图形有黑色瓷砖5×2+1＝11块．
第三个图形有黑色瓷砖5×3+1＝16块．
…
第n个图形中需要黑色瓷砖5n+1块．
故答案为：5n+1．
30．解：方法一：
第1个图形黑、白两色正方形共3×3个，其中黑色1个，白色3×3﹣1个，
第2个图形黑、白两色正方形共3×5个，其中黑色2个，白色3×5﹣2个，
第3个图形黑、白两色正方形共3×7个，其中黑色3个，白色3×7﹣3个，
依此类推，
第n个图形黑、白两色正方形共3×（2n+1）个，其中黑色n个，白色3×（2n+1）﹣n个，
即：白色正方形5n+3个，黑色正方形n个，
故第n个图案中白色正方形比黑色正方形多4n+3个，
方法二
第1个图形白色正方形共8个，黑色1个，白色比黑色多7个，
第2个图形比第1个图形白色比黑色又多了4个，即白色比黑色多（7+4）个，
第3个图形比第2个图形白色比黑色又多了4个，即白色比黑色多（7+4×2）个，
类推，第n个图案中白色正方形比黑色正方形多[7+4（n﹣1）]个，即（4n+3）个，
故第n个图案中白色正方形比黑色正方形多（4n+3）个．
31．解：由图知，第1个图形中小正方形的个数（1+1）2﹣1＝3，
第2个图形中小正方形的个数（2+1）2﹣1＝8，
第3个图形中小正方形的个数（3+1）2﹣1＝15，
..．
第n个图形中小正方形的个数（n+1）2﹣1＝y，
故y＝（n+1）2﹣1＝n2+2n；
故答案为：y＝n2+2n．
32．解：（1）根据图形与等式之间的关系可知：
S2﹣S1＝2；
S3﹣S2＝3；
S4﹣S3＝4；
…
发现规律：
Sn﹣Sn﹣1＝n；
∴S9﹣S8＝9；
故答案为9、n；
（2）S2+S1＝22；
S3+S2＝32；
S4+S3＝42；
…
发现规律：
Sn+Sn﹣1＝n2；
∴S9+S8＝92＝81；
故答案为81、n2；
（3）结合（1）（2）可知：
＝＝．
故答案为．
33．解：（1）由规律可得摆成第四个图案需要14枚棋子；
故答案为：14；
（2）从第2个图案开始，即从5个棋子的基础上依次多3枚，即第n个图案需要5+3（n﹣1）＝（3n+2）枚，
故答案为：（3n+2）；
（3）按（2）中规律，当n＝2021时，3n+2＝3×2021+2＝6065．
故摆成第2021个图案需要6065枚棋子．
（4）不可能，理由如下：
令3n+2＝2022，解得n＝，n为小数，与题意不符，
故摆成这种“T”字图案的棋子数不可能是2022枚．
34．解：（1）观察图形的变化可知：
摆第1个图案用5+1＝6根火柴棒，
摆第2个图案用5×2+1＝11根火柴棒，
摆第3个图案用5×3+1＝16根火柴棒；
故答案为：6，11，16；
（2）结合（1）可知：
摆第n个图案用（5n+1）根火柴棒；
（3）当n＝404时，5×404+1＝2021，
所以摆第404个图案需要火柴棒2021根．