2021-2022学年苏科版九年级数学下册《7.5解直角三角形》同步达标训练（Word版含答案）

2021-2022学年苏科版九年级数学下册《7.5解直角三角形》同步达标训练（附答案）
1．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是（　　）
A．2 B．4 C．5 D．10
2．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（　　）
A．2+ B．2 C．3+ D．3
3．在△ABC中，AB＝12，AC＝13，cos∠B＝，则BC边长为（　　）
A．7 B．8 C．8或17 D．7或17
4．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AD∥BC，BC＝AD，AC与BD交于点E，AC⊥BD，则tan∠BAC的值是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD＝x，tan∠ACB＝y，则（　　）
A．x﹣y2＝3 B．2x﹣y2＝9 C．3x﹣y2＝15 D．4x﹣y2＝21
6．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，若AC＝6，∠C＝45°，tan∠ABC＝3，则BD等于（　　）
A．2 B．3 C．3 D．2
7．如图，△ABC中AB＝AC＝4，∠C＝72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（　　）
A．10 B．8 C．4 D．2
9．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，则AB的长为　 　．
10．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，若cosB＝，EC＝2，P是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是　 　．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是　 　．
12．BD为等腰△ABC的腰AC上的高，BD＝1，tan∠ABD＝，则CD的长为　 　．
13．如图，AD是△ABC的中线，tanB＝，cosC＝，AC＝．求：
（1）BC的长；
（2）sin∠ADC的值．
14．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝，求sinC的值．
15．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH＝2CH．
（1）求sinB的值；
（2）如果CD＝，求BE的值．
16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，sinA＝，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．
（1）求线段CD的长；
（2）求cos∠ABE的值．
17．已知：，PB＝4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．
（1）如图，当∠APB＝45°时，求AB及PD的长；
（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D在边AC上，且AD＝2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：
（1）线段BE的长；
（2）∠ECB的余切值．
19．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sinB＝，AD＝1．
（1）求BC的长；
（2）求tan∠DAE的值．
20．已知：在△ABC中AB＝AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE＝∠BDF，点M在线段DF上，∠ABE＝∠DBM．
（1）如图1，当∠ABC＝45°时，求证：AE＝MD；
（2）如图2，当∠ABC＝60°时，则线段AE、MD之间的数量关系为：　 　．
（3）在（2）的条件下延长BM到P，使MP＝BM，连接CP，若AB＝7，AE＝，求tan∠ACP的值．
参考答案
1．解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．
∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∵tanA＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，
则有：100＝a2+4a2，
∴a2＝20，
∴a＝2或﹣2（舍弃），
∴BE＝2a＝4，
∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，
∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等），
∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，
∴sin∠DBH＝＝＝，
∴DH＝BD，
∴CD+BD＝CD+DH，
∴CD+DH≥CM，
∴CD+BD≥4，
∴CD+BD的最小值为4．
方法二：作CM⊥AB于M，交BE于点D，则点D满足题意．通过三角形相似或三角函数证得BD＝DM，从而得到CD+BD＝CM＝4．
故选：B．
2．解：如图，∵在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC，BC＝＝AC．
∵BD＝BA，
∴DC＝BD+BC＝（2+）AC，
∴tan∠DAC＝＝＝2+．
故选：A．
3．解：∵cos∠B＝，
∴∠B＝45°，
当△ABC为钝角三角形时，如图1，
∵AB＝12，∠B＝45°，
∴AD＝BD＝12，
∵AC＝13，
∴由勾股定理得CD＝5，
∴BC＝BD﹣CD＝12﹣5＝7；
当△ABC为锐角三角形时，如图2，
BC＝BD+CD＝12+5＝17，
故选：D．
4．解：∵AD∥BC，∠DAB＝90°，
∴∠ABC＝180°﹣∠DAB＝90°，∠BAC+∠EAD＝90°，
∵AC⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADB+∠EAD＝90°，
∴∠BAC＝∠ADB，
∴△ABC∽△DAB，
∴＝，
∵BC＝AD，
∴AD＝2BC，
∴AB2＝BC×AD＝BC×2BC＝2BC2，
∴AB＝BC，
在Rt△ABC中，tan∠BAC＝＝＝；
故选：C．
5．解：
过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，
∵BE的垂直平分线交BC于D，BD＝x，
∴BD＝DE＝x，
∵AB＝AC，BC＝12，tan∠ACB＝y，
∴＝＝y，BQ＝CQ＝6，
∴AQ＝6y，
∵AQ⊥BC，EM⊥BC，
∴AQ∥EM，
∵E为AC中点，
∴CM＝QM＝CQ＝3，
∴EM＝3y，
∴DM＝12﹣3﹣x＝9﹣x，
在Rt△EDM中，由勾股定理得：x2＝（3y）2+（9﹣x）2，
即2x﹣y2＝9，
故选：B．
6．解：∵AC＝6，∠C＝45°，
∴AD＝AC sin45°＝6×＝6，
∵tan∠ABC＝3，
∴＝3，
∴BD＝＝2，
故选：A．
7．解：∵△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝72°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，∠A＝36°，
∵D是AB中点，DE⊥AB，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝36°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝36°，
∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠C＝72°，
∴∠BEC＝∠C＝72°，
∴BE＝BC，
∴AE＝BE＝BC．
设AE＝x，则BE＝BC＝x，EC＝4﹣x．
在△BCE与△ABC中，
，
∴△BCE∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得x＝﹣2±2（负值舍去），
∴AE＝﹣2+2．
在△ADE中，∵∠ADE＝90°，
∴cosA＝＝＝．
故选：C．
8．解：∵∠C＝90°，cos∠BDC＝，
设CD＝5x，BD＝7x，
∴BC＝2x，
∵AB的垂直平分线EF交AC于点D，
∴AD＝BD＝7x，
∴AC＝12x，
∵AC＝12，
∴x＝1，
∴BC＝2；
故选：D．
9．解：过C作CD⊥AB于D，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵∠B＝45°，
∴∠BCD＝∠B＝45°，
∴CD＝BD，
∵∠A＝30°，AC＝2，
∴CD＝，
∴BD＝CD＝，
由勾股定理得：AD＝＝3，
∴AB＝AD+BD＝3+．
故答案为：3+．
10．解：设菱形ABCD的边长为x，则AB＝BC＝x，又EC＝2，所以BE＝x﹣2，
因为AE⊥BC于E，
所以在Rt△ABE中，cosB＝，又cosB＝，
于是，
解得x＝10，即AB＝10．
所以易求BE＝8，AE＝6，
当EP⊥AB时，PE取得最小值．
故由三角形面积公式有：AB PE＝BE AE，
求得PE的最小值为4.8．
故答案为 4.8．
11．解：在Rt△ABC与Rt△BCD中，∠A+∠B＝90°，∠BCD+∠B＝90°．
∴∠A＝∠BCD．
∴tan∠BCD＝tan∠A＝＝＝．
故答案为．
12．解：分三种情况：
①如图1，∠A为钝角，AB＝AC，
在Rt△ABD中，∵BD＝1，tan∠ABD＝，
∴AD＝，AB＝2，
∴AC＝2，
∴CD＝2+，
②如图2，∠A为锐角，AB＝AC，
在Rt△ABD中，∵BD＝1，tan∠ABD＝，
∴AD＝，AB＝2，
∴AC＝2，
∴CD＝2﹣，
③如图3，∠A为底角，
∵tan∠ABD＝，
∴∠ABD＝60°，
∴∠A＝30°，
∴∠C＝120°，
∴∠BCD＝60°
∵BD＝1，
∴CD＝；
④∠C为锐角且为顶角时，
如图4，∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∵tan∠ABD＝，
∴∠ABD＝60°，
∴∠A＝30°，
∵∠CBA＝∠A＝30°，∴∠C＝120°＞90°，
∴这种情况不存在；
综上所述；CD的长为：2或2﹣或，
故答案为：2或2﹣或．
13．解：（1）过点A作AE⊥BC于点E，
∵cosC＝，
∴∠C＝45°，
在Rt△ACE中，CE＝AC cosC＝1，
∴AE＝CE＝1，
在Rt△ABE中，tanB＝，即＝，
∴BE＝3AE＝3，
∴BC＝BE+CE＝4；
（2）∵AD是△ABC的中线，
∴CD＝BC＝2，
∴DE＝CD﹣CE＝1，
∵AE⊥BC，DE＝AE，
∴∠ADC＝45°，
∴sin∠ADC＝．
14．解：∵在直角△ABD中，tan∠BAD＝＝，
∴BD＝AD tan∠BAD＝12×＝9，
∴CD＝BC﹣BD＝14﹣9＝5，
∴AC＝＝＝13，
∴sinC＝＝．
15．解：（1）∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝BD，
∴∠B＝∠BCD，
∵AE⊥CD，
∴∠CAH+∠ACH＝90°，
又∠ACB＝90°
∴∠BCD+∠ACH＝90°
∴∠B＝∠BCD＝∠CAH，即∠B＝∠CAH，
∵AH＝2CH，
∴由勾股定理得AC＝CH，
∴CH：AC＝1：，
∴sinB＝；
（2）∵sinB＝，
∴AC：AB＝1：，
∴AC＝2．
∵∠CAH＝∠B，
∴sin∠CAH＝sinB＝＝，
设CE＝x（x＞0），则AE＝x，则x2+22＝（x）2，
∴CE＝x＝1，AC＝2，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
∵AB＝2CD＝2，
∴BC＝4，
∴BE＝BC﹣CE＝3．
16．解：（1）在△ABC中，∵∠ACB＝90°，
∴sinA＝＝，
而BC＝8，
∴AB＝10，
∵D是AB中点，
∴CD＝AB＝5；
（2）在Rt△ABC中，∵AB＝10，BC＝8，
∴AC＝＝6，
∵D是AB中点，
∴BD＝5，S△BDC＝S△ADC，
∴S△BDC＝S△ABC，即CD BE＝ AC BC，
∴BE＝＝，
在Rt△BDE中，cos∠DBE＝＝＝，
即cos∠ABE的值为．
17．解：（1）①如图，作AE⊥PB于点E，
∵△APE中，∠APE＝45°，PA＝，
∴AE＝PE＝×＝1，
∵PB＝4，∴BE＝PB﹣PE＝3，
在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，
∴AB＝＝．
②解法一：如图，因为四边形ABCD为正方形，可将
△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，
可得△PAD≌△P'AB，PD＝P'B，PA＝P'A．
∴∠PAP'＝90°，∠APP'＝45°，∠P'PB＝90°
∴PP′＝PA＝2，
∴PD＝P′B＝＝＝；
解法二：如图，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，与DA的
延长线交PB于G．
在Rt△AEG中，
可得AG＝＝＝，EG＝，PG＝PE﹣EG＝．
在Rt△PFG中，
可得PF＝PG cos∠FPG＝PG cos∠ABE＝，FG＝．
在Rt△PDF中，可得，
PD＝＝＝．
（2）如图所示，
将△PAD绕点A顺时针旋转90°
得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，
∵△P'PB中，P'B＜PP'+PB，PP′＝PA＝2，PB＝4，
且P、D两点落在直线AB的两侧，
∴当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值（如图）
此时P'B＝PP'+PB＝6，即P'B的最大值为6．
此时∠APB＝180°﹣∠APP'＝135度．
18．解：（1）∵AD＝2CD，AC＝3，
∴AD＝2，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，
∴∠A＝∠B＝45°，AB＝＝＝3，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，∠ADE＝∠A＝45°，
∴AE＝AD cos45°＝2×＝，
∴BE＝AB﹣AE＝3﹣＝2，
即线段BE的长为2；
（2）过点E作EH⊥BC，垂足为点H，如图所示：
∵在Rt△BEH中，∠EHB＝90°，∠B＝45°，
∴EH＝BH＝BE cos45°＝2×＝2，
∵BC＝3，
∴CH＝1，
在Rt△CHE中，cot∠ECB＝＝，
即∠ECB的余切值为．
19．解：（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
在△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AD＝1，
∴DC＝AD＝1．
在△ADB中，∵∠ADB＝90°，sinB＝，AD＝1，
∴AB＝＝3，
∴BD＝＝2，
∴BC＝BD+DC＝2+1；
（2）∵AE是BC边上的中线，
∴CE＝BC＝+，
∴DE＝CE﹣CD＝﹣，
∴tan∠DAE＝＝﹣．
20．（1）证明：如图1，连接AD．
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC．
又∵∠ABC＝45°，
∴BD＝AB cos∠ABC即AB＝BD．
∵∠BAE＝∠BDM，∠ABE＝∠DBM，
∴△ABE∽△DBM．
∴，
∴AE＝MD．
（2）解：∵cos60°＝，
∴MD＝AE cos∠ABC＝AE ，即AE＝2MD．
∴AE＝2MD；
（3）解：如图2，连接AD，EP．
∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
又∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠DAC＝30°，BD＝DC＝AB．
∵∠BAE＝∠BDM，∠ABE＝∠DBM，
∴△ABE∽△DBM．
∴，
∠AEB＝∠DMB．
∴EB＝2BM．
又∵BM＝MP，
∴EB＝BP．
∵∠EBM＝∠ABC＝60°，
∴△BEP为等边三角形，
∴EM⊥BP，
∴∠BMD＝90°，
∴∠AEB＝90°．
在Rt△AEB中，AE＝2，AB＝7，
∴BE＝．
∴tan∠EAB＝．
∵D为BC中点，M为BP中点，
∴DM∥PC．
∴∠MDB＝∠PCB，
∴∠EAB＝∠PCB．
∴tan∠PCB＝．
在Rt△ABD中，AD＝AB sin∠ABD＝，
在Rt△NDC中，ND＝DC tan∠NCD＝，
∴NA＝AD﹣ND＝．
过N作NH⊥AC，垂足为H．
在Rt△ANH中，NH＝AN＝，AH＝AN cos∠NAH＝，
∴CH＝AC﹣AH＝，
∴tan∠ACP＝．