沈阳市重点高中联合体
2021—2022学年度上学期12月考试高一年级试题
数 学
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
注意事项：
1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题卷规定的位置上。
2．答题时，请按照答题卷上“注意事项”的要求，在答题卷相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
选择题部分（共60分）
1、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．下列运算结果中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列结论正确的是（ ）
A． B．若，则
C． D．若，则
4．若，，，则实数a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
5．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
7．设函数则（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
8．若函数在上的最大值为4，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9．下列函数中在区间上单调递减的函数有（ ）
A． B． C． D．
10．给出下列命题，其中正确的命题有（ ）
A．命题的否定为
B．若，则.
C． 函数与函数是相同的函数；
D．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称
11．已知，且，则（ ）
A． B．
C．. D．
12．已知函数，若有四个解，，，
满足，则下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．
非选择题部分（共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．函数的图像过一个定点，则这个定点坐标是 ．
14．函数，，且，当时，，则
15．函数的零点个数为______
16．已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，
则的取值范围为_______
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．(本小题满分10分）计算：
（1） （2）
18．(本小题满分12分）已知函数，
（1）求函数的定义域．
（2）求不等式成立时，实数x的取值范围．
19．（本小题满分12分）已知幂函数为偶函数．
（1）求的解析式；
（2）若在上不是单调函数，求实数a的取值范围．
20．（本小题满分12分）某科研团队对某一生物生长规律进行研究，发现其生长蔓延的速度越来越快．开始在某水域投放一定面积的该生物，经过2个月其覆盖面积为18平方米，经过3个月其覆盖面积达到27平方米．该生物覆盖面积y(单位:平方米)与经过时间x(x∈N)个月的关系有两个函数模型与可供选择．
（1）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的函数解析式；
（2）问约经过几个月，该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍( ，lg2≈0.30，lg3≈0.48)
21．（本小题满分12分）已知的图象关于坐标原点对称．
（1）求的值;
（2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围．
22．（本小题满分12分）已知函数的图像恒过定点A，且点A又在函数的图像上．
（1）求解析式
（2）若函数在区间上的图像总在图像上方，求实数的取值范围．
数学试卷 第 5 页 （共 5 页）2021-2022学年度上学期沈阳市重点高中联合体 12月月考高一试题
数学答案
试题说明：根据联合体命题要求，简单为主。经过和三十中学聂鑫老师半个月的沟通交
流打磨，试卷得以确定下来。希望这次试卷能测出学生的水平，给基础差的学生建立自信同
时能为学校选拔出数学尖子生.
鉴于这一阶段主要讲基本初等函数图像和性质，所以本套卷-中设计思想多以图像为主，
让学生提升画图能力，同时掌握数形结合的思想。
本套试题难易搭配 （基础题）1.2.3.4.9.10.13.17.18.
（中档题）5.6.7.8.11.14.15.19.20.22
（拔高题）12.16.21.
1-4 DCAA 4-8 BCCB
9.BC 10 AD 11. ABD 12 AC
13 . ( 4,-3) 14. 3 15. 2 16. , 2 （写成 t 2给分，写成 x 2不给分）
17.
1 2
2 1
2 2
- - 0.99 0 - 3
3
3 lg21.5 2 (2) log3 9 lg lg 4 10
(1) 4 8 5
3 3 2 3
2
= 1 = 2 1 2 1 ---------------5 分
2 2 2
1
= ----------------5 分
2
18. 解：（1） h x f x g x lg x 1 lg 4 x ．
x 1 0
要使函数 h（x）有意义，则
4 x 0
x 1
得 得 1＜x＜4，------------5 分
x 4
即函数的定义域为（1，4）．---------------6 分
（说明：定义域没写成区间或集合形式扣 1 分）
（2）由 f（x）＞g（x）得 lg（x-1）＞lg（4-x），
5
得 x-1＞4-x，得 2x＞5，得 x＞ ，
2
5
∵1＜x＜4， ∴ ＜x＜4，
2
5
即实数 x的取值范围是（ ，4）．------12 分
2
（说明：范围不写成集合或区间不扣分）
19..解：(1)由题意， f x m2 5m 7 xm 1为幂函数，
所以m2 5m 7 1，解得：m=2 或 3，
m 2时 f x x
m 3时 f x x2
因为 f x 是偶函数，所以 f x x2 ----------------------6分
(2) g x f x ax 3 x2 ax 3 , g x 的对称轴是 x a ，
2
若 g x 在 1,3 上不是单调函数，
a
则1 3，解得： 2 a 6
2
故实数 a的取值范围是 2,6 ．-----------------12 分
（说明：由于本题简单步骤少，有学生步骤不全，只要答案正确，全部给分。）
x
20. 解：(1)∵函数 y ka k 0, a 1 中，y随 x的增长而增长的速度越来越快，
而函数 y p x q p 0 中，y随 x的增长而增长的速度越来越慢，
故依题意应选择 y ka x k 0, a 1
ka2 18 a 3
则有 ，解得3 2， ka 27 k 8
x
所以 y 3 8 x N ---不写 x N 不扣分------6 分
2
(2) 当 x=0时，y=8，
设经过 x个月，该水域中此生物的面积是当初投放的 1000倍，
x
3
则 y 8 =8×1000，-----------------------9 分
2
x log 1000 lg1000解得 3 17
2 lg3 lg 2
故经过 17个月后该水域中此生物的面积是当初投放的 1000倍．-----12 分
（说明：解出 x表达式但没算出最后结果（17）的扣 1 分）
21.(1)由题意知 是 上的奇函数，
所以 f 0 0 1 a ，即， 0
1 1
解得 a 1．-----------------------------------------3 分
x
f x 2 1(2)由 x ，2 1
x
h x 2 1 b 2
x 2 2x 1 1 b
设 2x -------4 分
2x 1 2x 1 2x 1
由题设知存在 x 0,1 使 h x 0成立，
使不等式 2x 2 2x 1 1 b 0成立，
2
即存在 x 0,1 使b 2x 2x 1 1成立，
令 t 2x，因为 x 0,1 ，所以 t 1,2
2
即只需b t 2t 1 min ---------------------9 分
令 g t t 2 2t 1，则 g t 在 1,2 上单调递增，
所以 t 1,2 时， g t min g 1 2，所以b 2．
所以实数b的取值范围为 2， -------------------12分
22.(1) f x a x 1 a 0,a 1 ，过定点又 A 0,2
A 0,2 在函数 y g x 图像上，
则 2 log 2 a，得 a 2
f x 2x所以 1-------------------------------------------4 分
f g x 2log 2 x 2 （2） x 2 2 1 -------------5分-
由已知可得
x 2 2 1 kx 1在 1,3 上恒成立
由 x 1,3 k x 4 4恒成立
x
k 4 4 x 4 令 h x x 4
x min x
由双对勾函数图像（卷面上画出大体图像（不画图像扣 1分））或均值不等式（等号条件写
出来（不写条件扣 1分））
得 x 2时取得最小值 8
k 8 -------------------------------------------12分
（直接讨论自行给分）
