2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.3垂径定理 同步达标测评 （Word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.3垂径定理》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．在平面直角坐标系中，若以A（2，﹣1）为圆心，2为半径的⊙A与过点B（1，0）的直线交于C、D，则CD的最小值为（　　）
A． B．2 C．2 D．4
2．如图，⊙O中弦AB长为8，OC⊥AB，垂足为E，若CE＝2，则⊙O半径长是（　　）
A．10 B．8 C．6 D．5
3．已知水平放置的圆柱形排水管道，管道截面半径是1m，若水面高0.2m．则排水管道截面的水面宽度为（　　）
A．0.6m B．0.8m C．1.2m D．1.6m
4．如图，某圆弧形拱桥的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则该拱桥的半径为（　　）
A．15米 B．13米 C．9米 D．6.5米
5．如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点D，AD＝4，则下列说法正确的是（　　）
A．OC＝4 B．AB＝8
C．OD＝3 D．AB垂直平分OC
6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝20，CD＝16，则BE的长为（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
7．如图，⊙O的半径为5，弦AB长为8，P为弦AB上动点，则线段OP长的取值范围是（　　）
A．3＜OP＜5 B．3≤OP≤5 C．4＜OP＜5 D．4≤OP≤5
8．在圆柱形油槽内装有一些油，油槽直径MN为10分米．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，当油面宽变为8分米，油面AB上升（　　）
A．1分米 B．4分米
C．3分米 D．1分米或7分米
9．抛一个铁球，在泥地上砸了一个直径8cm，深2cm的坑，这个铁球的直径是（　　）
A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm
10．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．6
二．填空题（共7小题，满分28分）
11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝　 　．
12．如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为　 　．
13．如图，破残的轮子上，弓形的弦AB为8，高CD为2，则这个轮子的半径长为 　 　．
14．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，则CD＝　 　．
15．如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦CD⊥AB，交直径AB于点E，CD＝6，则EB＝　 　．
16．如图，已知一条排水管的截面圆半径OB＝10dm，水面宽AB是16dm，则截面水深CD是 　 　dm．
17．京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约．如图，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为 　 　分钟．
三．解答题（共7小题，满分52分）
18．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣3，0），C（，0）．
（1）求⊙M的半径；
（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH＝FH．
（3）在（2）的条件下求AF的长．
19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝4，AC＝4．
（1）求点O到AC的距离；
（2）求∠ADC的度数．
20．如图，翠湖公园一座拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度AB为24米，拱高CD为8米，求圆弧所在圆的半径为多少米？
21．已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是多少？请画图并计算．
22．已知：如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，垂足为点E，如果∠BAD＝30°，且BE＝2，求弦CD的长．
23．如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD＝20cm，水深GF＝2cm．若水面上升2cm（EG＝2cm），则此时水面宽AB为多少？
24．《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），求该圆材的直径．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：如图，连接AC，作AE⊥CD于E，
∴CE＝DE＝CD，CE＝
∵AC＝2，
∴当AE取最大值时，CE最小，即CD最小，
∴当E点与B重合时，AE最大，
∵A（2，﹣1），B（1，0），
∴AB2＝（2﹣1）2+（﹣1﹣0）2＝2，
∴CE的最小值为：＝＝，
∴CD的最小值为2，
故选：C．
2．解：连接OA，
设⊙O的半径为r，则OC＝OA＝r，OE＝OC﹣CE＝r﹣2，
∵OC⊥AB，AB＝8，
∴AE＝BE＝AB＝4，
在Rt△OAE中，由勾股定理得：42+（r﹣2）2＝r2，
解得：r＝5，
即⊙O的半径长为5，
故选：D．
3．解：作OC⊥AB于C，交⊙O于D，连接OB，如图所示：
则AB＝2BC，∠OCB＝90°，OB＝OD＝1m，CD＝0.2m，
∴OC＝OD﹣CD＝0.8m，
∴BC＝＝＝0.6（m），
∴AB＝2AC＝1.2m，
∴排水管道截面的水面宽度为1.2m，
故选：C．
4．解：根据垂径定理的推论知，圆弧形拱桥的圆心在CD所在的直线上，
设圆心是O，半径是r米，连接OA．
根据垂径定理，得：AD＝AB＝6（米），
在Rt△AOD中，根据勾股定理，得r2＝62+（r﹣4）2，
解得：r＝6.5，
即该拱桥的半径为6.5米，
故选：D．
5．解：∵半径OC⊥AB于点D，AD＝4，
∴AB＝2AD＝8，OC＞AD＝4，
∵半径没有确定，
∴OD＝3不正确，
当OD＝CD时，AB垂直平分OC，
∴选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意，
故选：B．
6．解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AB＝20，
∴CO＝OB＝10，AB⊥CD，CE＝DE＝CD，
∵CD＝16，
∴CE＝8，
在Rt△COE中，OE＝，
∴BE＝OB﹣OE＝10﹣6＝4，
故选：B．
7．解：过点O作OH⊥AB于H，连接OB，
则AH＝HB＝AB＝4，
在Rt△OBH中，OH＝＝＝3，
∴线段OP长的取值范围是3≤OP≤5，
故选：B．
8．解：连接OA．作OG⊥AB于G，
则在直角△OAG中，AG＝3分米，
因为OA＝5cm，根据勾股定理得到：OG＝4分米，即弦AB的弦心距是4分米，
同理当油面宽AB为8分米时，弦心距是3分米，
当油面没超过圆心O时，油上升了1分米；当油面超过圆心O时，油上升了7分米．
因而油上升了1分米或7分米．
故选：D．
9．解：设该铅球的半径是rcm．
在由铅球的半径、小坑的半径即半弦和弦心距组成的直角三角形中，
根据勾股定理，得r2＝（r﹣2）2+16，
解得r＝5，
故2r＝10．
故选：B．
10．解：∵OC⊥AB，OC过圆心O点，
∴BC＝AC＝AB＝×16＝8，
在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC＝＝＝6，
故选：D．
二．填空题（共7小题，满分28分）
11．解：∵弦CD⊥AB于点E，CD＝8cm，
∴CE＝CD＝4（cm）
在Rt△OCE中，OC＝5cm，CE＝4cm，
∴OE＝＝＝3（cm），
∴AE＝AO+OE＝5+3＝8（cm）．
故答案为：8cm．
12．解：∵∠A＝22.5°，
∴∠BOC＝2∠A＝45°，
∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE＝DE，△OCE为等腰直角三角形，
∴CE＝OC＝2，
∴CD＝2CE＝4．
故答案为4．
13．解：连接OB，如图所示：
由题意得：OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝4，
在Rt△OBD中，根据勾股定理得：OD2+BD2＝OB2，
即（OB﹣1）2+42＝OB2，
解得：OB＝5，
即这个轮子的半径长为5，
故答案为：5．
14．解：连接OA，
∵AB＝6，OC⊥AB于点D，
∴AD＝AB＝×6＝3，
∵⊙O的半径为5，
∴OD＝＝＝4，
∴CD＝OC﹣OD＝5﹣4＝1．
故答案为：1．
15．解：连接OC，如图所示：
∵弦CD⊥AB于点E，CD＝6，
∴CE＝ED＝CD＝3，
在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，CE＝3，OC＝AB＝5，
∴OE＝＝4，
∴BE＝OB﹣OE＝AB﹣OE＝5﹣4＝1，
故答案为：1．
16．解：由题意知OD⊥AB，交AB于点C，
∵AB＝16dm，
∴BC＝AB＝8（dm），
在Rt△OBC中，OB＝10dm，BC＝8dm，
∴OC＝＝＝6（dm），
∴CD＝OD﹣OC＝10﹣6＝4（dm）．
故答案为：4．
17．解：如图所示：
摩天轮转动的角速度为：360°÷18分＝20°/分，
由题意得：AD⊥BC，AD＝88米，AM＝100米，CM＝BN＝34米，
则OB＝OD＝44（米），DM＝AM﹣AD＝12（米），
∴CD＝CM﹣DM＝34﹣12＝22（米），
∴OC＝OD﹣CD＝22（米），
∴OC＝OB，
∵∠OCB＝90°，
∴∠OBC＝30°，
∴∠BOC＝90°﹣30°＝60°，
∴∠AOB＝180°﹣∠BOC＝120°，
∴最佳观赏位置的圆心角为2×120°＝240°，
∴在运行的一圈里最佳观赏时长为：240°÷20°/分＝12（分钟），
故答案为：12．
三．解答题（共7小题，满分52分）
18．解：（1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM，
∵BC是⊙M的一条弦，MT是垂直于BC的直径，
∴BT＝TC＝BC＝2，
∴BM＝＝4；
（2）如图（二），连接AE，则∠AEC＝∠ABC，
∵CE⊥AB，
∴∠HBC+∠BCH＝90°
在△COF中，
∵∠OFC+∠OCF＝90°，
∴∠HBC＝∠OFC＝∠AFH．
在△AEH和△AFH中，
∵，
∴△AEH≌△AFH（AAS），
∴EH＝FH．
（3）由（1）易知，∠BMT＝∠BAC＝60°，
作直径BG，连CG，则∠BGC＝∠BAC＝60°，
∵⊙O的半径为4，
∴CG＝4．
连AG，
∵∠BCG＝90°，
∴CG⊥x轴，
∴CG∥AF，
∵∠BAG＝90°，
∴AG⊥AB，
∵CE⊥AB，
∴AG∥CE，
∴四边形AFCG为口，
∴AF＝CG＝4．
19．解：（1）作OM⊥AC于M，
∵AC＝4，
∴AM＝CM＝2，
∵OC＝4，
∴OM＝＝2；
（2）连接OA，
∵OM＝MC，∠OMC＝90°，
∴∠MOC＝∠MCO＝45°，
∵OA＝OC，
∴∠OAM＝45°，
∴∠AOC＝90°，
∴∠B＝45°，
∵∠D+∠B＝180°，
∴∠D＝135°．
20．解：延长CD到O，使得OC＝OA，如图所示：
则O为圆心，
∵CD为拱高，
∴OC⊥AB，
∴AD＝AB＝12（米），
设圆弧所在圆O的半径为x米，
则OD＝（x﹣8）米，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD2+OD2＝OA2，
即122+（x﹣8）2＝x2，
解得：x＝13，
答：圆弧所在圆的半径为13米．
21．解：有两种情况：①圆心O在弦AB和CD的同旁，如图，连接OC、OA，
过O作OE⊥AB于E，且直线OE交CD于F，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∴∠OFC＝90°，∠OEA＝90°，
∵OE⊥AB，OE过O，AB＝16cm，
∴AE＝BE＝8cm，
推理CF＝DF＝6cm，
由勾股定理得：OE＝＝＝6（cm），
OF＝＝＝8（cm），
∴EF＝OF﹣OE＝2cm；
②圆心O在弦AB和弦CD之间，如图，
此时EF＝OE+OF＝14cm，
所以弦AB和CD之间的距离是2cm或14cm．
22．解：连接OD，设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣2，
∵∠BAD＝30°，
∴∠DOE＝60°，
∵CD⊥AB，
∴CD＝2DE，∠ODE＝30°，
∴OD＝2OE，即r＝2（r﹣2），解得r＝4；
∴OE＝4﹣2＝2，
∴DE＝＝＝2，
∴CD＝2DE＝4．
23．解：连接OA、OC，
∵由题意知：AB∥CD，OE⊥AB，OF⊥CD，CD＝20cm，
∴CG＝CD＝10cm，
在Rt△OGC中，由勾股定理得：OC2＝CG2+OG2，
OC2＝102+（OC﹣2）2，
解得：OC＝26（cm），
则OE＝26cm﹣2cm﹣2cm＝22cm，
∵在Rt△OEA中，由勾股定理得：OA2＝OE2+AE2，
∴262＝222+AE2，
∴AE＝8，
∵OE⊥AB，OE过圆心O，
∴AB＝2AE＝16cm．
24．解：设圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，如图所示：
∴AC＝AB＝×10＝5，
设⊙O的半径为r寸，
在Rt△ACO中，OC＝r﹣1，OA＝r，
则有r2＝52+（r﹣1）2，
解得r＝13，
∴⊙O的直径为26寸．