2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.6直线与圆的位置关系 同步达标测评 （Word版含解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.6直线与圆的位置关系》
同步达标测评（附答案）
一．选择题（共8小题，满分24分）
1．如图，BC为⊙O直径，点A为圆上一点，点E为△ABC的内心，OE⊥EC于点E．则△ABC的外接圆半径与内切圆半径比值为（　　）
A．2 B． C．3 D．
2．如图，O为Rt△ABC的内心，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，OD∥AB交BC于点D，则CD的值为（　　）
A． B． C．8 D．
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点O在AC上，⊙O与AB、BC相切，与AD相交于点E、F，则EF的长为（　　）
A．3 B． C． D．
4．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别相为点D、E、F，设△ABC的面积、周长分别为S、l，⊙O的半径为r，则下列等式：①∠AED+∠BFE+∠CDF＝180°；②S＝lr；③2∠EDF＝∠A+∠C；④2（AD+CF+BE）＝l，其中成立的是（　　）
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D的切线交AC于点E，连接OE．若cos∠ABC＝，则tan∠AEO的值为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，，AD⊥BC于D，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，⊙O的半径为2，弦AB向上平移得到CD（AB与CD位于点O两侧），且CD与⊙O相切于点E．若的度数为120°，则AD的长为（　　）
A．4 B．2 C． D．3
8．如图，半径为3的⊙O与边长为8的正方形ABCD相切于点P、Q，⊙O与对角线BD交于M、N两点，则tan∠OMN的值为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题，满分32分）
9．如图，半径为1的⊙O与直线l相切于点A，C为⊙O上的一点，CB⊥l于点B，则AB+BC的最大值是 　 　．
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，其周长为20，⊙I是△ABC的内切圆，其半径为，则△BIC的外接圆直径为 　 　．
11．如图，在△ABC中，BA，BC分别为⊙O的切线，点E和点C为切线点，线段AC经过圆心O且与⊙O相交于D、C两点，若tanA＝，AD＝2，则BO的长为　 　．
12．如图，已知点A为圆O外一点，圆O的半径为5，AB切圆O于点B，C为OA上一点，且AB＝AC，延长BO，BC分别交圆O于点D，E，若＝，则AB的长为　 　．
13．如图，AB切⊙O于C，AO交⊙O于D，AO的延长线交⊙O于E，若∠A＝α，则∠ECB＝　 　（用含α的式子表示）．
14．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，则∠ABO﹣∠ABP＝　 　（用含有∠p的代数式表示）．
15．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PA是割线，交⊙O于A、B两点，与直径CT交于点D．已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那PB＝　 　．
16．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝1，若以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点P，则AP＝　 　．
三．解答题（共8小题，满分64分）
17．如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接CE．
（1）求证：∠CAD＝∠CAB；
（2）若EC＝4，sin∠CAD＝，求⊙O的半径．
18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D，连接BD，BE．
（1）求证：DB＝DE；
（2）若AE＝3，DF＝4，求DB的长．
19．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，且∠AOD＝90°，点C是⊙O外一点，分别连接CA，CB、CD，CA交⊙O于点M，交OD于点N，CB的延长线交⊙O于点E，连接AD，ME，且∠ACD＝∠E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）连接DM，若⊙O的半径为6，tanE＝，求DM的长．
20．如图，△ABC内接于⊙O，OA⊥BC，点P是圆外一点，连接PA，PC，PO，∠ACB＝∠OPC，OP∥AC．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若OP＝10，tan∠OCA＝，求AP的长．
21．如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接AD，点E、F在线段BC上，连接AE并延长交⊙O于点G，连接AF交⊙O于点H，若AD＝BD＝CD，且．
（1）判断AC所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当AB＝4，DE＝时，求DF的长．
22．如图，已知AB是⊙O的直径，直线AC与⊙O相切于点A，过点B作BD∥OC交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）求证：DE2＝EB EA；
（3）若BE＝1，，求线段AD的长度．
23．点O为 ABCD的两对角线的交点，△ABO的外接圆交AD于点F，且圆心E在AD边上．已知BC为⊙E的切线．
（1）求∠BCD的度数；
（2）已知BC＝2+2，求弧OF的长．
24．如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠ADC＝∠AOF；
（2）若sinC＝，BD＝12，求EF的长．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分24分）
1．解：如图，延长CE交AB于M，延长OE交AC于N，作EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，EH⊥AC于H．
∵E是△ABC内心，
∴EA平分∠BAC，EB平分∠ABC，EC平分∠ACB，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠EBC+∠ECB＝45°，
∴∠BEC＝135°，
∴∠BEM＝45°，
∵OE⊥EC，
∴∠OEC＝90°，
∴∠BEM＝∠BEO＝45°，
∵∠EBM＝∠EBO，BE＝BE，
∴△BEO≌△BEM（ASA），
同法可证△CEN≌△CEO（ASA），
∴BM＝BO，OC＝CN，EM＝EO＝EN，
设△ABC的外接圆半径为R，内切圆半径为r．
∵∠EBA＝∠EBC，EG⊥AB，EF⊥BC，
∴EG＝EF，同法可证EF＝EH，
∵＝＝＝，
∵EG∥AC，
∴∠MEG＝∠ECH，∠EGM＝∠CHE＝90°，
∴△EGM∽△CHE，
∴＝＝＝2，
∴GM＝r，CH＝2r，
∵EM＝EO＝EN，EG＝EF＝EH，
∴Rt△EGM≌Rt△EHN≌Rt△EFO（HL），
∴OF＝HN＝GM＝r，
∵OC＝CN，
∴R＝2r+r＝r，
∴＝．
故选：B．
2．解：如图，设圆O与Rt△ABC分别切于点E、F、G，
设OE＝OF＝OG＝x，
∵圆O与Rt△ABC分别切于点E、F、G，
∴OE⊥AC，OF⊥AB，OG⊥BC，
∴四边形OEAF为矩形，
∵OE＝OF，
∴四边形OEAF为正方形，
∴AE＝AF＝OE＝OF＝x，
∵AB＝6，AC＝8，
∴BG＝BF＝6﹣x，CG＝CE＝8﹣x，
∵BC＝，
∴6﹣x+8﹣x＝10，
∴x＝2，
∴CE＝CA﹣AE＝8﹣2＝6，
∵OD∥AB，∠A＝90°，OE⊥AC，
∴D、O、E三点共线，
∴OE∥AB，
∴，
∴，
∴CD＝，
故选：A．
3．解：如图，过点O作OK⊥AD，OG⊥AB，垂足为K、G，延长KO交BC于点H，
∵AB、BC与⊙O相切，OG＝OH，
∴四边形OGBH是正方形，
∴OG∥BC，
∴△ABC∽△AGO，
∴＝，
设正方形OGBH的边长为x，则
＝，
解得x＝，
∴OK＝AG＝3﹣＝，
在Rt△OKF中，由勾股定理得，
KF＝＝，
又∵OK⊥EF，
∴，
故选：D．
4．解：如图，作直径ET,连接DT．
∵AB是⊙O的切线，
∴ET⊥AB,
∴∠AET＝90°,
∴∠AED+∠DET＝90°,
∵ET是直径，
∴∠EDT＝90°,
∴∠DET+∠ETD＝90°,
∴∠AED＝∠ETD,
∵∠EFD＝∠ETD,
∴∠AED＝∠EFD,
同法可证，∠BFE＝∠EDF,∠CDF＝∠DEF,
∵∠EFD+∠EDF+∠DEF＝180°,
∴∠AED+∠BFE+∠CDF＝180°,故①正确，
连接OA,OB,OC,OF,OD．
∵S＝S△AOB+S△BOC+S△ACO＝ AB OE+ BC OF+ AC OD＝ (AB+BC+AC) r＝lr,故②正确，
∵∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°,∠BEF+∠BFE+∠ABC＝180°
∴∠BEF+∠BFE＝∠BAC+∠ACB,
∵∠BEF＝∠EDF,∠BFE＝∠EDF,
∴2∠EDF＝∠BAC+∠ACB,故③正确，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别相为点D、E、F，
∴AE＝AD,CD＝CF,BE＝BF,
∴2(AD+CF+BE)＝l,故④正确，
故选：A．
5．解：连接OD，AD，
∵AB为直径．
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，∠ABC＝∠ACB，
设CD＝CD＝3x，
∵cos∠ABC＝＝，
∴AB＝AC＝5x，
∴DO＝AO＝AB＝，
∵cos∠ABC＝cos∠ACB＝＝，
∴＝，
∴CE＝，
∴DE＝＝，
∵AO＝BO，BD＝CD，
∴DO∥AC，
∴∠AOE＝∠DOE，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥DO，
∴tan∠AEO＝tan∠DOE＝＝，
故选：C．
6．解：如图所示：O为△ABC中∠ABC、∠ACB、∠BAC的角平分线交点，过点O分别作垂线相交于AB、AC、BC于点E、G、F，设⊙O的半径为R，则：
S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC＝＝，
∵AB+AC＝，
∴S△ABC＝ （）＝，
又∵AD的长为h，
∴S△ABC＝，
∴＝，
即，h＝，
∴，
故A、C、D错误，
故选：B．
7．解：∵的度数为120°，
∴∠AOB＝120°，
连接OE，OE的反向延长线交AB于F，连接OA，OB，如图，
∵CD与⊙O相切于点E，
∴EF⊥CD，
由平移的性质得：CD∥AB，CD＝AB，
∴EF⊥AB，
∵OA＝OB，
∴∠AOF＝∠BOF＝∠AOB＝60°，AF＝BF＝AB＝DE，
∴∠OAF＝30°，四边形BDEF是矩形，
∴OF＝OA＝×2＝1，BD＝EF，
∴EF＝2+1＝3，
∴BD＝3，
在Rt△AOF中，OA＝2，OF＝1，
∴AF＝＝＝，
∴AB＝2，
∴AD＝＝＝，
故选：C．
8．解：如图，连接AO并延长交BD于点H，连接OP，OQ，
∵⊙O与正方形ABCD相切于点P、Q，
∴OP⊥AB，OQ⊥AD，
∵OP＝OQ，
∴四边形APOQ是正方形，
∴OA＝OQ＝3，
∵∠QAO＝∠ABH＝45°，
∴∠AHB＝90°，
∵AB＝8，
∴AH＝AB sin45°＝8×＝4，
∴OH＝AH﹣OA＝，
在Rt△OMH中，OM＝3，根据勾股定理，得
MH＝＝＝，
∴tan∠OMN＝＝＝．
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分32分）
9．解：如图，延长AB到点D，使BD＝BC，
则AB+BC＝AD，
当DC与⊙O相切于点C时，AD最大，
则此时连接AO并延长交DC延长线于点E，
则AE⊥AD，
∵CB⊥l，
∴∠DBC＝90°，
∵BD＝BC，
∴∠CDB＝45°，
∵⊙O与直线l相切于点A，
∴OA⊥l，
∴∠OAD＝90°，
∴∠AED＝45°，
连接OC，则OC⊥DE，
在Rt△OCE中，OC＝CE＝1，根据勾股定理，得
OE＝＝，
∴AD＝AE＝AO+OE＝1+．
则AB+BC的最大值是+1．
故答案为：+1．
10．解：如图，设△BIC的外接圆圆心为O，连接OB，OC，作CD⊥AB于点D，
在圆O上取点F，连接FB，FC，作OE⊥BC于点E，
设AB＝c，BC＝a，AC＝b，
∵∠BAC＝60°，
∴AD＝b，
CD＝AC sin60°＝b，
∴BD＝AB﹣AD＝c﹣b，
∵△ABC周长为l＝20，△ABC的内切圆半径为r＝，
∴S△ABC＝lr＝×20×＝AB CD，
∴20＝b c，
∴bc＝40，
在Rt△BDC中，根据勾股定理，得
BC2＝BD2+CD2，
即a2＝（c﹣b）2+（b）2，
整理得：a2＝c2+b2﹣bc，
∵a+b+c＝20，
∴a2＝c2+b2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝（20﹣a）2﹣3×40，
解得a＝7，
∴BC＝a＝7，
∵I是△ABC内心，
∴IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠IBC+∠ICB＝60°，
∴∠BIC＝120°，
∴∠BFC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∵OE⊥BC，
∴BE＝CE＝，∠BOE＝60°，
∴OB＝＝÷＝．
∴外接圆直径为．
故答案为：．
11．解：如图，连接OE，
设⊙O的半径为3x，则OE＝OD＝OC＝3x，
在Rt△AOE中，tanA＝，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝4x，
∴AO＝＝＝5x，
∵AD＝2，
∴AO＝OD+AD＝3x+2，
∴3x+2＝5x，
∴x＝1，
∴OA＝3x+2＝5，OE＝OD＝OC＝3x＝3，
∴AC＝OA+OC＝5+3＝8，
在Rt△ABC中，tanA＝，
∴BC＝AC tanA＝8×＝6，
∴OB＝＝＝3．
故答案是：3．
12．解：过A点作AF⊥BC于F，过O点作OG⊥BE于G点，如图，
∵OG⊥BE，
∴BG＝EG，
∵BD为直径，
∴∠E＝90°，
∴OG∥DE，
∴DE＝2OG，
∵＝，
∴＝，
设OC＝a，OG＝2a，
∴CG＝＝a，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
而∠ACB＝∠OCG，
∴∠OCG＝∠ABC，
∵AB为切线，
∴BD⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
∴∠OBC＝∠GOC，
∴Rt△BOG∽Rt△OCG，
∴BG：OG＝OG：CG，即BG：2a＝2a：a，解得BG＝4a，
在Rt△OBG中，OB＝＝2a，
∴2a＝5，解得a＝
∴OC＝，
在Rt△ABO中，设AB＝AC＝x，
∴52+x2＝（x+）2，解得x＝，
即AB的长为．
故答案为．
13．解：连接CD；则∠BCE＝∠CDE，∠CDE+∠E＝90°；
∵∠A+∠ACD＝∠CDE，
∴α+∠ACD＝∠CDE；
又∵∠ACD＝∠E，
∴∠E＝90°﹣∠CDE＝∠CDE﹣α；
∴∠CDE＝45°+；
故∠CDE＝∠ECB＝45°+．
14．解：连接OA，
根据切线的性质定理得OB⊥BP、OA⊥AP，
则∠AOB+∠P＝180°；
又∠ABO+∠OAB+∠AOB＝180°，∠OAB＝∠ABO，
∴∠ABO＝∠P，
根据切线长定理得PA＝PB，
则∠PBA＝∠PAB＝，
因此∠ABO﹣∠ABP＝∠P﹣45°．
15．解：∵AD BD＝CD DT，
∴TD＝，
∵CD＝2，AD＝3，BD＝4，
∴TD＝6，
∵PT是⊙O的切线，PA是割线，
∴PT2＝PA PB，
∵CT为直径，
∴PT2＝PD2﹣TD2，
∴PA PB＝PD2﹣TD2，
即（PB+7）PB＝（PB+4）2﹣62，
解得PB＝20．
故答案为：20．
16．解：Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝，BC＝1，
∴AB＝＝，
设AC交圆于M，延长AC交圆于N，
则AM＝AC﹣CM＝﹣1 AN＝+1
根据AM AN＝AP AB得，
（﹣1）（+1）＝AP×，
解得AP＝．
三．解答题（共8小题，满分64分）
17．（1）证明：连接OC，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠CAD＝∠ACO．
又∵OC＝OA，
∴∠ACO＝∠OAC，
∴∠CAD＝∠OAC，
即∠CAD＝∠BAC；
（2）解：连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B+∠CAB＝90°，
∴∠CAD+∠B＝90°，
∵∠CED＝∠B，∠CED+∠ECD＝90°，
∴∠DCE＝∠CAD，
∵sin∠CAD＝sin∠DCE＝＝，
∴DE＝，
∴CD＝＝，
∴AC＝8，
∵∠BAC＝∠CAD，
∴sin∠CAD＝sin∠BAC＝＝，
∴设AB＝3x，BC＝x，
∴AC＝2x＝8，
∴x＝4，
∴AB＝3x＝12，
∴⊙O的半径为6．
方法二：∵∠CAD＝∠BAC，
∴EC＝CB＝4，
连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴sin∠CAB＝，
∴AB＝12，
∴半径为6
18．（1）证明：∵点E是△ABC的内心，
∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE，
又∵∠CAD与∠CBD所对弧为，
∴∠CAD＝∠CBD＝∠BAD．
∴∠BED＝∠ABE+∠BAD，∠DBE＝∠CBE+∠CBD，
即∠BED＝∠DBE，
故DB＝DE．
（2）解：∵∠D＝∠D，∠DBF＝∠CAD＝∠BAD，
∴△ABD∽△BFD，
∴①，
∵DF＝4，AE＝3，设EF＝x，
由（1）可得DB＝DE＝4+x，
则①式化为，
解得：x1＝2，x2＝﹣6（不符题意，舍去），
则DB＝4+x＝4+2＝6．
19．解：（1）∵∠ACD＝∠E，∠E＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴AB∥CD，
∴∠ODC＝∠AOD＝90°，
即OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AC于F，
∵⊙O的半径为6，tanE＝＝tan∠ACD＝tan∠OAN，
∴ON＝OA＝×6＝2，
∴DN＝OD﹣ON＝6﹣2＝4，
∴CD＝3DN＝12，
在Rt△CDN中，
CN＝＝＝4，
由三角形的面积公式可得，
CN DF＝DN CD，
即4DF＝4×12，
∴DF＝，
又∵∠AMD＝∠AOD＝×90°＝45°，
在Rt△DFM中，
DM＝DF＝×＝．
20．（1）证明：如图，连接OC，
∵OP∥AC，
∴∠COP＝∠OCA．
∵△ABC内接于⊙O，OA⊥BC，
∴∠OCA＝∠OAC＝∠COP，∠OAC+∠ACB＝90°．
∵∠ACB＝∠OPC，
∴∠COP+∠CPO＝90°，即OC⊥CP．
∴PC是⊙O的切线．
（2）解：如图，延长AO交⊙O于点M，连接PM，
∵OP∥AC，
∴∠MOP＝∠OAC，∠COP＝∠OCA，
∵∠OAC＝∠OCA，
∴∠MOP＝∠COP，
在△OMP和△OCP中，
，
∴△OMP≌△OCP（SAS），
∴∠OMP＝∠OCP＝90°．
∵tan∠OCA＝＝tan∠COP，∠OCP＝90°，
∴sin∠COP＝，cos∠COP＝，
又∵OP＝10，
∴OC＝OM＝OA＝OP cos∠COP＝6，
PC＝PM＝OP sin∠COP＝8．
在Rt△AMP中，AM＝2OM＝12，MP＝8．
∴AP＝＝＝4．
21．解：（1）AC所在直线与⊙O相切；
理由：∵AD＝BD＝CD，
∴AD＝BC，
∴∠BAC＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝4，
∴AD＝BD＝2，
∵DE＝，
∴BE＝，AE＝＝＝，
连接BG，则∠BGE＝90°，
∴∠BGE＝∠ADE，
∵∠BEG＝∠AEG，
∴△BEG∽△AED，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴BG＝，EG＝，
∴AG＝，
∵，
∴∠BAG＝∠DAF，
∵∠AGB＝∠ADF＝90°，
∴△ABG∽△AFD，
∴＝，
∴＝，
∴DF＝．
22．解：（1）∵BD∥OC，
∴∠DBO＝∠COA，∠ODB＝∠COD，
∵OB＝OD，
∴∠DBO＝∠ODB，
∴∠COA＝∠COD，
在△COA和△COD中，
，
∴△COA≌△COD（SAS），
∴∠CAO＝∠CDO，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠CAO＝90°＝∠CDO，
即OD⊥EC，
∵OD是⊙O的半径，
∴EC是⊙O的切线；
（2）∵EC是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
即∠EDB+∠ODB＝90°，
又∴AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
又∵∠ODB＝∠OBD，
∴∠EDB＝∠EAD，
又∵∠E＝∠E，
∴△EBD∽△EDA，
∴＝，
即DE2＝AE BE；
（3）∵∠ACO+∠COA＝90°，
∠BAD+∠OBD＝90°，
而∠OBD＝∠ODB＝∠COD＝∠COA，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠ACO，
由△EBD∽△EDA，
∴＝＝tan∠BAD＝，
∵BE＝1，
∴DE＝2，
由DE2＝AE BE得，
22＝1×AE，
∴AE＝4，
∴AB＝4﹣1＝3，
设BD＝a，则AD＝2a，由勾股定理得，
BD2+AD2＝AB2，
即a2+（2a）2＝32，
解得a＝，
∴AD＝2a＝．
23．解：（1）如图，连接EB，
∵BC为⊙E的切线，
∴EB⊥BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，
∴∠AEB＝∠EBC＝90°，
∵AE＝BE，
∴∠BAE＝∠EBA＝45°，
∴∠BCD＝45°；
（2）如图，作CG⊥AD交AD的延长线于点G，连接OE，
∵AD∥BC，
∴∠GDC＝∠BCD＝45°，
∴∠DCG＝90°﹣45°＝45°，
∴GD＝GC，∠BCG＝45°，
∵EB⊥BC，
∴四边形EBCG是矩形，
∴GC＝BE＝r，
∴DG＝r，
∴AG＝AD+DG＝BC+DG＝2+2+r，
∵BC为⊙E的切线，
∴∠CBO＝∠CAB，
∵∠OCB＝∠BCA，
∴△COB∽△CBA，
∴，
∴CB2＝CA CO＝CA2，
∴CA2＝2CB2＝2（2+2）2＝32+16，
在Rt△ACG中，AC2＝CG2+AG2，
∴32+16＝2r2+（4+4）r+16+8，
解得：r＝2或r＝﹣2（2+）（舍去），
∴DG＝r＝2，
∴ED＝（2+2）﹣2＝2，
∴tan∠EBD＝＝＝，
∴∠EBD＝60°，
∵EB＝EO，
∴△BEO是等边三角形，
∴∠BEO＝60°，
∴∠OEF＝90°﹣60°＝30°，
∴弧OF的长为：＝．
24．（1）证明：如图1，连接OD，则OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵CD是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴∠ODC＝∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝∠ODB，
∴∠ADC＝∠OBD，
又∵OF⊥AD，
∴∠OEA＝∠ADB＝90°，
∴OF∥BD，
∴∠AOF＝∠OBD，
∴∠ADC＝∠AOF．
（2）∵OF∥BD，OA＝OB，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE＝BD＝×12＝6，
∵sinC＝＝，
设OD＝x，OC＝3x，则OB＝x，
∴CB＝OC+OB＝x+3x＝4x，
∵OF∥BD，
∴△COF∽△CBD，
∴，
∴，
∴OF＝9，
∴EF＝OF﹣OE＝9﹣6＝3．