2021-2022学年北师大版九年级数学下册第3章圆 单元同步达标测评（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版九年级数学下册第3章圆 单元同步达标测评（Word版含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 535.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-10 10:51:19 | ||
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文档简介
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《第3章圆》单元同步达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．平面内有两点P，O，⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．圆上或圆外
2．如图，A、B、C是⊙O上的点，∠AOB＝130°，则∠ACB的大小为（ ）度．
A．100° B．110° C．115° D．125°
3．下列说法正确的是（ ）
A．经过三点可以作一个圆 B．三角形的外心是三个内角平分线的交点
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．等弧所对的圆心角相等
4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝20，CD＝16，则BE的长为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
5．以半径为4的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．2
6．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D，且DC+DA＝12，⊙O的直径为20，则AB的长等于（ ）
A．8 B．12 C．16 D．18
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，﹣3）．则△ABC的外心坐标应是（ ）
A．（0，0） B．（1，0） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1）
8．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（2，0），（0，4），过A、O、B三点作圆，点C在第一象限部分的圆上运动，连结CO，过点O作CO的垂线交CB的延长线于点D，下列说法：①∠AOC＝∠BOD；②tan∠ODB＝；③CD的最大值为10．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝BC＝4，把弧AB沿弦AB向下折叠交BC于点D，若点D为BC中点，则AC长为（ ）
A．1 B．2 C．2 D．
10．如图，⊙O的直径AB⊥弦CD于E，若CD＝8，BD＝2，则AB的长为（ ）
A．2 B．10 C．12 D．5
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝40°，则∠COD＝ ．
12．如图，已知在半径为1的半⊙O中，CD为直径，A为半圆上一动点，连结OA，作OB平分∠AOC交圆于点B，连结BD，分别与AC，AO交于点N，M．若AM＝AN，则△AMD的面积为 ．
13．已知⊙O半径为1，AB、BC是⊙O的弦，且AB＝1、BC＝，则∠ABC的度数是 ．
14．已知半径为2cm的扇形的面积为6cm2，则扇形的弧长是 cm．
15．如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），M是弦CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P．若CD＝3，AB＝5，则PM的范围是 ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAC＝∠PCB，则线段BP长的最小值是 ．
17．如图，点A，B，C是⊙O上三点，AC＝BC，点M为⊙O上一点，CE⊥AM，垂足为点E，AE＝2，BM＝，CM＝，则的长为 ．
18．已知直线l⊥AB于点E，以AB为直径画圆交直线l于点C、D，点G是弧AC上一动点，连结DG交AB于点P，连结AG并延长，交直线l于点F．若∠BAG＝45°，DP＝4，PG＝5，则AG＝ ，CD＝ ．
19．如图，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线AD，且AD∥BC，点E，F分别在、上，且∠ABF＝∠EBC．若BC＝4，EF＝2，则⊙O的半径为 ．
20．如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为圆O上一动点，CF⊥AE于F，当点E在圆O的运动过程中，线段FG的长度的最小值为 ．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上任意一点，连AD，GD，AG．
（1）找出图中和∠ADC相等的角，并给出证明．
（2）已知BE＝2，CD＝6，求AB的长．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为6，∠C＝67.5°，求阴影部分的面积．
23．如图，AB是⊙O的直径，点F是半圆上的一动点（F不与A，B重合），弦AD平分∠BAF，DE是⊙O的切线，交射线AF于点E．
（1）求证：DE⊥AF；
（2）若AE＝8，AB＝10，求DE长．
24．如图，四边形APBC内接于圆，∠APC＝60°，AB＝AC，AP，CB的延长线相交于点D．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若AP＝3，BP＝2，求PC的长；
（3）若∠PAC＝90°，AB＝2，求PD的长．
25．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD，OF⊥AB，垂足分别是E、F．
（1）直接写出OF与CD的数量关系 ，并证明你的结论．
（2）若AB＝2，CD＝1．求⊙O的半径．
26．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE＝OF．
（1）求证：OF∥BC．
（2）求证：△AFO≌△CEB．
（3）若EB＝5cm，设OE＝x，求x值及阴影部分的面积．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：∵⊙O的半径为5，若PO＝4，
∴4＜5，
∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内，
故选：A．
2．解：如图，在优弧AB上取一点D，连接AD，DB．
∵∠ADB＝∠AOB，∠AOB＝130°，
∴∠ADB＝65°，
∵∠ACB+∠ADB＝180°，
∴∠ACB＝115°，
故选：C．
3．解：A、经过不共线的三点可以作一个圆，所以A选项的说法错误；
B、三角形的外心到三个顶点的距离相等，所以B选项的说法错误；
C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以选项C说法错误；
D、等弧所对的圆心角相等，所以D选项的说法正确；
故选：D．
4．解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AB＝20，
∴CO＝OB＝10，AB⊥CD，CE＝DE＝CD，
∵CD＝16，
∴CE＝8，
在Rt△COE中，OE＝，
∴BE＝OB﹣OE＝10﹣6＝4，
故选：B．
5．解：如图1，△ABC为⊙O的内接正三角形，作OM⊥BC于M，连接OB，
∵∠OBC＝∠ABC＝30°，
∴OM＝OB＝2；
如图2，四边形ABCD为⊙O的内接正方形，作ON⊥DC于N，连接OD，
∵∠ODC＝∠ADC＝45°，
∴ON＝DN＝OD＝2；
如图3，六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，作OH⊥DE于H，连接OE，
∵∠OED＝∠FED＝60°，
∴EH＝OE＝2，OH＝EH＝2，
∴半径为4的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为2，2，2，
∵22+（2）2＝（2）2，
∴以三条边心距所作的三角形为直角三角形，
∴该三角形的面积＝×2×2＝2．
故选：D．
6．解：连接OC，过O作OF⊥AB，垂足为F，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC＝∠CAO，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴PB∥OC，
∵CD⊥PA，
∴∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，
∴四边形DCOF为矩形，
∴OC＝FD，OF＝CD．
∵DC+DA＝12，
设AD＝x，则OF＝CD＝12﹣x，
∵⊙O的直径为20，
∴DF＝OC＝10，
∴AF＝10﹣x，
在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2＝OA2．
即（10﹣x）2+（12﹣x）2＝102，
解得x1＝4，x2＝18．
∵CD＝12﹣x大于0，故x＝18舍去，
∴x＝4，
∴AD＝4，AF＝10﹣4＝6，
∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，
∴AB＝2AF＝12．
故选：B．
7．解：如图，根据网格点O′即为所求．
∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．
故选：D．
8．解：∵OC⊥OD，BO⊥AO，
∴∠DOC＝∠BOA＝90°．
∴∠DOB+∠BOC＝∠BOC+∠COA＝90°，
∴AOC＝∠BOD．
∴①正确；
连接AB，如图，
∵点A，B的坐标分别为（2，0），（0，4），
∴OA＝2，OB＝4．
∵OC⊥OD，BO⊥AO，
∴∠C+∠D＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°．
∵∠C＝∠OAB，
∴∠D＝∠OBA．
∴tan∠ODB＝tan∠OBA＝＝．
∴②正确；
∵tan∠ODB＝，
∴OD＝2OC．
∴CD＝＝OC．
∵OC是圆的弦，直径是圆中最长的弦，
∴当OC为圆的直径时，CD取得最大值．
∵圆的直径AB＝＝2，
∴CD的最大值为2×＝10．
∴③正确．
综上，正确的结论有：①②③，
故选：D．
9．解：如图，连接AD，
∵AB＝BC＝4，
∴∠ACB＝∠BAC，
∵点D为BC中点，
∴BD＝CD＝2，
∵弧AB沿弦AB向下折叠交BC于点D，
∴＝，
∴∠ACB＝∠ABD+∠BAD，
∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD，
∴∠ABD＝∠CAD，
又∵∠ACB＝∠ACD，
∴△ACD∽△BCA，
∴，
∴，
∴AC＝，
故选：C．
10．解：∵AB⊥CD，CD＝8，BD＝2，
∴DE＝CE＝4，
∴BE＝＝＝2，
连接OD，设OD＝r，则OE＝r﹣2，
在Rt△ODE中，
OD2＝OE2+DE2，即r2＝（r﹣2）2+42，解得r＝5，
∴AB＝10．
故选：B．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．解：如图，连接OB，
∵OB＝OC，OD⊥BC，
∴∠COD＝∠BOD＝∠BOC；
∵∠A＝40°，且∠A＝∠BOC，
∴∠COD＝40°，
故答案为：40°．
12．解：如图，
∵OB平分∠AOC，
∴∠AOB＝∠COB，
∴＝，
∴∠ADB＝∠BDC，
∵AM＝AN，
∴∠ANM＝∠AMN，
又∵∠AMN＝∠OMD，
∴∠ANM＝∠OMD，
∴△OMD∽△AND，
∴＝＝，∠MOD＝∠NAD，
∵CD是直径，
∴∠NAD＝90°，
∴∠MOD＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝45°，
∴AD＝OD＝，
∴＝＝＝＝，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴S△ADM＝×1×1×＝．
故答案为：．
13．解：连接OA、OB、OC，
∵⊙O半径为1，
∴OA＝OB＝OC＝1，
∵AB＝1，
∴OA＝OB＝AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∵OB＝OC＝1，BC＝，
∴OB2+OC2＝BC2，
∴△OBC是直角三角形，∠BOC＝90°，
分两种情况：
①当AB、BC在OB的同侧时，如图1所示：
则∠AOC＝∠BOC﹣∠AOB＝30°，
∴∠ABC＝∠AOC＝15°；
②当AB、BC在OB的异侧时，如图2所示：
则∠AOC＝∠BOC+∠AOB＝150°，
∴∠ABC＝（360°﹣∠AOC）＝（360°﹣150°）＝105°；
综上所述，∠ABC的度数是15°或105°，
故答案为：15°或105°．
14．解：设扇形的弧长为acm，
∵半径为2cm的扇形的面积为6cm2，
∴＝6，
解得：a＝6，
即扇形的弧长为6cm，
故答案为：6．
15．解：如图：延长CP交⊙O于N，连接DN．
∵AB⊥CN，
∴CP＝PN，
∵CM＝DM，
∴PM＝DN，
∴当DN为直径时，PM的值最大，最大值为，
当DN＝AC时，PM最小，最小值为，
∴PM的范围是≤PM≤．
故答案为：≤PM≤．
16．解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACP+∠PCB＝90°，
∵∠PAC＝∠PCB
∴∠CAP+∠ACP＝90°，
∴∠APC＝90°，
∴点P在以AC为直径的⊙O上，连接OB交⊙O于点P，此时PB最小，
在Rt△CBO中，∠OCB＝90°，BC＝3，OC＝2，
∴OB＝＝＝，
∴PB＝OB﹣OP＝﹣2．
∴PC最小值为﹣2．
故答案为：﹣2．
17．解：在AE上截取AG＝BM，连接CG，
∵AC＝BC，∠A＝∠B，
∴△ACG≌△BCM（SAS），
∴CG＝CM＝，
∵AE＝2，AG＝BM＝，
∴GE＝，
∵CE⊥AM，
∴CE＝＝＝2，
∴tan∠A＝＝，
∴∠A＝30°，
∴∠COM＝60°，
连接OM，CO，
∵OC＝OM，
∴△COM是等边三角形，
∴OC＝，
∴的长＝＝π，
故答案为π．
18．解：连接OD，如图，
∵AB为直径，
∴∠AGB＝90°，
∵∠BAG＝45°，
∴∠ABG＝45°，
∴∠ADG＝∠ABG＝45°，
∵∠AGP＝∠DGA，∠GAP＝∠GDA，
∴△GAP∽△GDA，
∴GA：GD＝GP：GA，即GA：9＝5：GA，
解得GA＝3，
∵△ABG为等腰直角三角形，
∴OG⊥AB，
∴OG＝AG＝×3＝，
∵CD⊥AB，
∴DE＝CE，OG∥CD，
∴＝＝，
∴DE＝OG＝×＝，
∴CD＝2DE＝．
故答案为：3，．
19．解：如图，连接AO，并延长交⊙O于H，交BC于N，连接BO，
∵AD是⊙O的切线，AH是直径，
∴OA⊥AD，
∴∠HAB+∠BAD＝90°，
∵AH是直径，
∴∠ABH＝90°，
∴∠HAB+∠H＝90°，
∴∠H＝∠BAD，
∵BC∥AD，
∴∠BAD＝∠ABC，
∵∠H＝∠C，
∴∠C＝∠ABC，
∴AC＝AB，＝，且AH是直径，
∴AN⊥BC，BN＝CN＝BC＝2，
∵∠ABF＝∠EBC．
∴∠ABC＝∠EBF，
∴＝，
∴AC＝EF＝2，
∴AB＝AC＝2，
∴AN＝＝4，
设OB＝AO＝r，
∴r2＝（4﹣r）2+22，
∴r＝，
∴⊙O的半径为，
故答案为：．
20．解：作GM⊥AC于M，连接AG．
∵GO⊥AB，
∴OA＝OB，
在Rt△AGO中，AG＝2，OG＝1，
∴AG＝2OG，OA＝＝＝，
∴∠GAO＝30°，AB＝2AO＝2，
∴∠AGO＝60°，
∵GC＝GA，
∴∠GCA＝∠GAC，
∵∠AGO＝∠GCA+∠GAC，
∴∠GCA＝∠GAC＝30°，
∴AC＝2OA＝2，MG＝CG＝1，
∵∠AFC＝90°，
∴点F在以AC为直径的⊙M上，
当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值＝FM﹣GM＝﹣1．
故答案为：﹣1．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．解：（1）∠AGD＝∠ADC，
理由如下：∵弦CD⊥AB，
∴DE＝CE，＝，
∴∠AGD＝∠ADC，∠ACD＝∠ADC；
（2）设OC＝OB＝r，
∵OB⊥CD，
∴EC＝DE＝3，
∵OC2＝OE2+EC2，
∴R2＝（R﹣2）2+32，
∴R＝，
∴AB＝2R＝．
22．（1）证明：如图，连接OD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠B，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC于点F，
∴∠ODF＝∠DFC＝90°，
∵DF经过⊙O的半径OD的端点D，且DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切线．
（2）解：如图，连接OE，则OE＝OA，
∵∠B＝∠C＝67.5°，
∴∠OEA＝∠A＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，
∴∠AOE＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∵OA＝OE＝6，
∴S阴影＝＝9π﹣18，
∴阴影部分的面积为9π﹣18．
23．（1）证明：如图，连接OD，
∵DE与⊙O相切于点D，
∴DE⊥OD，
∴∠ODE＝90°，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD平分∠BAF，
∴∠OAD＝∠DAF，
∴∠ODA＝∠DAF，
∴OD∥AF，
∴∠AED＝180°﹣∠ODE＝90°，
∴DE⊥AF．
（2）如图，连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠AED＝∠ADB，
∵∠EAD＝∠DAB，
∴△AED∽△ADB，
∴，
∵AE＝8，AB＝10，
∴AD＝＝＝，
∴DE＝＝＝4，
∴DE的长为4．
24．（1）证明：∵∠APC＝60°，
∴∠ABC＝∠APC＝60°，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形；
（2）解：如图1中，在PC上截取PT，使得PT＝PA．
∵∠APT＝60°，
∴△APT是等边三角形，
∵△ABC是等边三角形，
∴AP＝AT，AB＝AC，∠PAT＝∠BAC＝60°，
∴∠PAB＝∠TAC，
∴△PAB≌△TAC（SAS），
∴PB＝TC＝2，
∵PT＝PA＝3，
∴PC＝PT+CT＝3+2＝5；
（3）解：在Rt△PAC中，∠APC＝60°，∠PAC＝90°，AC＝AB＝2，
∴∠PCA＝30°，
∴PC＝2PA．
∵PC2＝PA2+AC2，
∴PA＝2，PC＝4．
同理，可求出CD＝4，AD＝6，
∴PD＝AD﹣PA＝4．
25．解：（1）结论：OF＝CD．
理由：连接AO并延长交⊙O于点G，连接CB．
∵OF⊥AB，
∴AF＝BF，
∵AO＝GO，
∴OF是△ABG的中位线，
∴OF＝BG，
∵AG是⊙O的直径，
∴∠ABG＝90°，
∴∠BAG+∠G＝90°，
∵AC⊥BD，
∴∠CEB＝90°，
∴∠ECB+∠EBC＝90°，
∵∠G＝∠ECB，
∴∠BAG＝∠CBD，
∴∠BAG所对弧上的圆心角等于∠CBD所对弧上的圆心角，
∴BG＝CD，
∴OF＝CD；
（2）由（1）得：OF＝CD＝，
在Rt△AOF中，AF＝1，
∴OA＝＝＝，
∴⊙O的半径为．
26．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴AC⊥BC，
又∵OF⊥AC，
∴OF∥BC；
（2）证明：∵AB⊥CD，
∴＝，
∴∠CAB＝∠BCD，
在△AFO和△CEB中，
∴△AFO≌△CEB（AAS）；
（3）解：连接DO．设OE＝x，
∵OF∥BC，OA＝OB，
∴OF＝BC，
∵OF＝BE＝5cm，
∴BC＝10cm，
∵△AFO≌△CEB，
∴OA＝BC＝10cm，
∴CE＝＝＝5cm，
∴CD＝2CE＝10cm，
∵OB＝x+5，
∴OE＝OB﹣5＝10﹣5＝5cm，
∵cos∠COE＝＝＝，
∴∠COE＝60°
∴∠COD＝120°，
∴扇形COD的面积是：＝cm2
△COD的面积是：CD OE＝＝25cm2
∴阴影部分的面积是：（﹣25）cm2．
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．平面内有两点P，O，⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．圆上或圆外
2．如图，A、B、C是⊙O上的点，∠AOB＝130°，则∠ACB的大小为（ ）度．
A．100° B．110° C．115° D．125°
3．下列说法正确的是（ ）
A．经过三点可以作一个圆 B．三角形的外心是三个内角平分线的交点
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．等弧所对的圆心角相等
4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝20，CD＝16，则BE的长为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
5．以半径为4的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．2
6．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D，且DC+DA＝12，⊙O的直径为20，则AB的长等于（ ）
A．8 B．12 C．16 D．18
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，﹣3）．则△ABC的外心坐标应是（ ）
A．（0，0） B．（1，0） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1）
8．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（2，0），（0，4），过A、O、B三点作圆，点C在第一象限部分的圆上运动，连结CO，过点O作CO的垂线交CB的延长线于点D，下列说法：①∠AOC＝∠BOD；②tan∠ODB＝；③CD的最大值为10．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝BC＝4，把弧AB沿弦AB向下折叠交BC于点D，若点D为BC中点，则AC长为（ ）
A．1 B．2 C．2 D．
10．如图，⊙O的直径AB⊥弦CD于E，若CD＝8，BD＝2，则AB的长为（ ）
A．2 B．10 C．12 D．5
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝40°，则∠COD＝ ．
12．如图，已知在半径为1的半⊙O中，CD为直径，A为半圆上一动点，连结OA，作OB平分∠AOC交圆于点B，连结BD，分别与AC，AO交于点N，M．若AM＝AN，则△AMD的面积为 ．
13．已知⊙O半径为1，AB、BC是⊙O的弦，且AB＝1、BC＝，则∠ABC的度数是 ．
14．已知半径为2cm的扇形的面积为6cm2，则扇形的弧长是 cm．
15．如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），M是弦CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P．若CD＝3，AB＝5，则PM的范围是 ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAC＝∠PCB，则线段BP长的最小值是 ．
17．如图，点A，B，C是⊙O上三点，AC＝BC，点M为⊙O上一点，CE⊥AM，垂足为点E，AE＝2，BM＝，CM＝，则的长为 ．
18．已知直线l⊥AB于点E，以AB为直径画圆交直线l于点C、D，点G是弧AC上一动点，连结DG交AB于点P，连结AG并延长，交直线l于点F．若∠BAG＝45°，DP＝4，PG＝5，则AG＝ ，CD＝ ．
19．如图，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线AD，且AD∥BC，点E，F分别在、上，且∠ABF＝∠EBC．若BC＝4，EF＝2，则⊙O的半径为 ．
20．如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为圆O上一动点，CF⊥AE于F，当点E在圆O的运动过程中，线段FG的长度的最小值为 ．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上任意一点，连AD，GD，AG．
（1）找出图中和∠ADC相等的角，并给出证明．
（2）已知BE＝2，CD＝6，求AB的长．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为6，∠C＝67.5°，求阴影部分的面积．
23．如图，AB是⊙O的直径，点F是半圆上的一动点（F不与A，B重合），弦AD平分∠BAF，DE是⊙O的切线，交射线AF于点E．
（1）求证：DE⊥AF；
（2）若AE＝8，AB＝10，求DE长．
24．如图，四边形APBC内接于圆，∠APC＝60°，AB＝AC，AP，CB的延长线相交于点D．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若AP＝3，BP＝2，求PC的长；
（3）若∠PAC＝90°，AB＝2，求PD的长．
25．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD，OF⊥AB，垂足分别是E、F．
（1）直接写出OF与CD的数量关系 ，并证明你的结论．
（2）若AB＝2，CD＝1．求⊙O的半径．
26．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE＝OF．
（1）求证：OF∥BC．
（2）求证：△AFO≌△CEB．
（3）若EB＝5cm，设OE＝x，求x值及阴影部分的面积．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：∵⊙O的半径为5，若PO＝4，
∴4＜5，
∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内，
故选：A．
2．解：如图，在优弧AB上取一点D，连接AD，DB．
∵∠ADB＝∠AOB，∠AOB＝130°，
∴∠ADB＝65°，
∵∠ACB+∠ADB＝180°，
∴∠ACB＝115°，
故选：C．
3．解：A、经过不共线的三点可以作一个圆，所以A选项的说法错误；
B、三角形的外心到三个顶点的距离相等，所以B选项的说法错误；
C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以选项C说法错误；
D、等弧所对的圆心角相等，所以D选项的说法正确；
故选：D．
4．解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AB＝20，
∴CO＝OB＝10，AB⊥CD，CE＝DE＝CD，
∵CD＝16，
∴CE＝8，
在Rt△COE中，OE＝，
∴BE＝OB﹣OE＝10﹣6＝4，
故选：B．
5．解：如图1，△ABC为⊙O的内接正三角形，作OM⊥BC于M，连接OB，
∵∠OBC＝∠ABC＝30°，
∴OM＝OB＝2；
如图2，四边形ABCD为⊙O的内接正方形，作ON⊥DC于N，连接OD，
∵∠ODC＝∠ADC＝45°，
∴ON＝DN＝OD＝2；
如图3，六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，作OH⊥DE于H，连接OE，
∵∠OED＝∠FED＝60°，
∴EH＝OE＝2，OH＝EH＝2，
∴半径为4的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为2，2，2，
∵22+（2）2＝（2）2，
∴以三条边心距所作的三角形为直角三角形，
∴该三角形的面积＝×2×2＝2．
故选：D．
6．解：连接OC，过O作OF⊥AB，垂足为F，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC＝∠CAO，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴PB∥OC，
∵CD⊥PA，
∴∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，
∴四边形DCOF为矩形，
∴OC＝FD，OF＝CD．
∵DC+DA＝12，
设AD＝x，则OF＝CD＝12﹣x，
∵⊙O的直径为20，
∴DF＝OC＝10，
∴AF＝10﹣x，
在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2＝OA2．
即（10﹣x）2+（12﹣x）2＝102，
解得x1＝4，x2＝18．
∵CD＝12﹣x大于0，故x＝18舍去，
∴x＝4，
∴AD＝4，AF＝10﹣4＝6，
∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，
∴AB＝2AF＝12．
故选：B．
7．解：如图，根据网格点O′即为所求．
∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．
故选：D．
8．解：∵OC⊥OD，BO⊥AO，
∴∠DOC＝∠BOA＝90°．
∴∠DOB+∠BOC＝∠BOC+∠COA＝90°，
∴AOC＝∠BOD．
∴①正确；
连接AB，如图，
∵点A，B的坐标分别为（2，0），（0，4），
∴OA＝2，OB＝4．
∵OC⊥OD，BO⊥AO，
∴∠C+∠D＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°．
∵∠C＝∠OAB，
∴∠D＝∠OBA．
∴tan∠ODB＝tan∠OBA＝＝．
∴②正确；
∵tan∠ODB＝，
∴OD＝2OC．
∴CD＝＝OC．
∵OC是圆的弦，直径是圆中最长的弦，
∴当OC为圆的直径时，CD取得最大值．
∵圆的直径AB＝＝2，
∴CD的最大值为2×＝10．
∴③正确．
综上，正确的结论有：①②③，
故选：D．
9．解：如图，连接AD，
∵AB＝BC＝4，
∴∠ACB＝∠BAC，
∵点D为BC中点，
∴BD＝CD＝2，
∵弧AB沿弦AB向下折叠交BC于点D，
∴＝，
∴∠ACB＝∠ABD+∠BAD，
∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD，
∴∠ABD＝∠CAD，
又∵∠ACB＝∠ACD，
∴△ACD∽△BCA，
∴，
∴，
∴AC＝，
故选：C．
10．解：∵AB⊥CD，CD＝8，BD＝2，
∴DE＝CE＝4，
∴BE＝＝＝2，
连接OD，设OD＝r，则OE＝r﹣2，
在Rt△ODE中，
OD2＝OE2+DE2，即r2＝（r﹣2）2+42，解得r＝5，
∴AB＝10．
故选：B．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．解：如图，连接OB，
∵OB＝OC，OD⊥BC，
∴∠COD＝∠BOD＝∠BOC；
∵∠A＝40°，且∠A＝∠BOC，
∴∠COD＝40°，
故答案为：40°．
12．解：如图，
∵OB平分∠AOC，
∴∠AOB＝∠COB，
∴＝，
∴∠ADB＝∠BDC，
∵AM＝AN，
∴∠ANM＝∠AMN，
又∵∠AMN＝∠OMD，
∴∠ANM＝∠OMD，
∴△OMD∽△AND，
∴＝＝，∠MOD＝∠NAD，
∵CD是直径，
∴∠NAD＝90°，
∴∠MOD＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝45°，
∴AD＝OD＝，
∴＝＝＝＝，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴S△ADM＝×1×1×＝．
故答案为：．
13．解：连接OA、OB、OC，
∵⊙O半径为1，
∴OA＝OB＝OC＝1，
∵AB＝1，
∴OA＝OB＝AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∵OB＝OC＝1，BC＝，
∴OB2+OC2＝BC2，
∴△OBC是直角三角形，∠BOC＝90°，
分两种情况：
①当AB、BC在OB的同侧时，如图1所示：
则∠AOC＝∠BOC﹣∠AOB＝30°，
∴∠ABC＝∠AOC＝15°；
②当AB、BC在OB的异侧时，如图2所示：
则∠AOC＝∠BOC+∠AOB＝150°，
∴∠ABC＝（360°﹣∠AOC）＝（360°﹣150°）＝105°；
综上所述，∠ABC的度数是15°或105°，
故答案为：15°或105°．
14．解：设扇形的弧长为acm，
∵半径为2cm的扇形的面积为6cm2，
∴＝6，
解得：a＝6，
即扇形的弧长为6cm，
故答案为：6．
15．解：如图：延长CP交⊙O于N，连接DN．
∵AB⊥CN，
∴CP＝PN，
∵CM＝DM，
∴PM＝DN，
∴当DN为直径时，PM的值最大，最大值为，
当DN＝AC时，PM最小，最小值为，
∴PM的范围是≤PM≤．
故答案为：≤PM≤．
16．解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACP+∠PCB＝90°，
∵∠PAC＝∠PCB
∴∠CAP+∠ACP＝90°，
∴∠APC＝90°，
∴点P在以AC为直径的⊙O上，连接OB交⊙O于点P，此时PB最小，
在Rt△CBO中，∠OCB＝90°，BC＝3，OC＝2，
∴OB＝＝＝，
∴PB＝OB﹣OP＝﹣2．
∴PC最小值为﹣2．
故答案为：﹣2．
17．解：在AE上截取AG＝BM，连接CG，
∵AC＝BC，∠A＝∠B，
∴△ACG≌△BCM（SAS），
∴CG＝CM＝，
∵AE＝2，AG＝BM＝，
∴GE＝，
∵CE⊥AM，
∴CE＝＝＝2，
∴tan∠A＝＝，
∴∠A＝30°，
∴∠COM＝60°，
连接OM，CO，
∵OC＝OM，
∴△COM是等边三角形，
∴OC＝，
∴的长＝＝π，
故答案为π．
18．解：连接OD，如图，
∵AB为直径，
∴∠AGB＝90°，
∵∠BAG＝45°，
∴∠ABG＝45°，
∴∠ADG＝∠ABG＝45°，
∵∠AGP＝∠DGA，∠GAP＝∠GDA，
∴△GAP∽△GDA，
∴GA：GD＝GP：GA，即GA：9＝5：GA，
解得GA＝3，
∵△ABG为等腰直角三角形，
∴OG⊥AB，
∴OG＝AG＝×3＝，
∵CD⊥AB，
∴DE＝CE，OG∥CD，
∴＝＝，
∴DE＝OG＝×＝，
∴CD＝2DE＝．
故答案为：3，．
19．解：如图，连接AO，并延长交⊙O于H，交BC于N，连接BO，
∵AD是⊙O的切线，AH是直径，
∴OA⊥AD，
∴∠HAB+∠BAD＝90°，
∵AH是直径，
∴∠ABH＝90°，
∴∠HAB+∠H＝90°，
∴∠H＝∠BAD，
∵BC∥AD，
∴∠BAD＝∠ABC，
∵∠H＝∠C，
∴∠C＝∠ABC，
∴AC＝AB，＝，且AH是直径，
∴AN⊥BC，BN＝CN＝BC＝2，
∵∠ABF＝∠EBC．
∴∠ABC＝∠EBF，
∴＝，
∴AC＝EF＝2，
∴AB＝AC＝2，
∴AN＝＝4，
设OB＝AO＝r，
∴r2＝（4﹣r）2+22，
∴r＝，
∴⊙O的半径为，
故答案为：．
20．解：作GM⊥AC于M，连接AG．
∵GO⊥AB，
∴OA＝OB，
在Rt△AGO中，AG＝2，OG＝1，
∴AG＝2OG，OA＝＝＝，
∴∠GAO＝30°，AB＝2AO＝2，
∴∠AGO＝60°，
∵GC＝GA，
∴∠GCA＝∠GAC，
∵∠AGO＝∠GCA+∠GAC，
∴∠GCA＝∠GAC＝30°，
∴AC＝2OA＝2，MG＝CG＝1，
∵∠AFC＝90°，
∴点F在以AC为直径的⊙M上，
当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值＝FM﹣GM＝﹣1．
故答案为：﹣1．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．解：（1）∠AGD＝∠ADC，
理由如下：∵弦CD⊥AB，
∴DE＝CE，＝，
∴∠AGD＝∠ADC，∠ACD＝∠ADC；
（2）设OC＝OB＝r，
∵OB⊥CD，
∴EC＝DE＝3，
∵OC2＝OE2+EC2，
∴R2＝（R﹣2）2+32，
∴R＝，
∴AB＝2R＝．
22．（1）证明：如图，连接OD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠B，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC于点F，
∴∠ODF＝∠DFC＝90°，
∵DF经过⊙O的半径OD的端点D，且DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切线．
（2）解：如图，连接OE，则OE＝OA，
∵∠B＝∠C＝67.5°，
∴∠OEA＝∠A＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，
∴∠AOE＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∵OA＝OE＝6，
∴S阴影＝＝9π﹣18，
∴阴影部分的面积为9π﹣18．
23．（1）证明：如图，连接OD，
∵DE与⊙O相切于点D，
∴DE⊥OD，
∴∠ODE＝90°，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD平分∠BAF，
∴∠OAD＝∠DAF，
∴∠ODA＝∠DAF，
∴OD∥AF，
∴∠AED＝180°﹣∠ODE＝90°，
∴DE⊥AF．
（2）如图，连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠AED＝∠ADB，
∵∠EAD＝∠DAB，
∴△AED∽△ADB，
∴，
∵AE＝8，AB＝10，
∴AD＝＝＝，
∴DE＝＝＝4，
∴DE的长为4．
24．（1）证明：∵∠APC＝60°，
∴∠ABC＝∠APC＝60°，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形；
（2）解：如图1中，在PC上截取PT，使得PT＝PA．
∵∠APT＝60°，
∴△APT是等边三角形，
∵△ABC是等边三角形，
∴AP＝AT，AB＝AC，∠PAT＝∠BAC＝60°，
∴∠PAB＝∠TAC，
∴△PAB≌△TAC（SAS），
∴PB＝TC＝2，
∵PT＝PA＝3，
∴PC＝PT+CT＝3+2＝5；
（3）解：在Rt△PAC中，∠APC＝60°，∠PAC＝90°，AC＝AB＝2，
∴∠PCA＝30°，
∴PC＝2PA．
∵PC2＝PA2+AC2，
∴PA＝2，PC＝4．
同理，可求出CD＝4，AD＝6，
∴PD＝AD﹣PA＝4．
25．解：（1）结论：OF＝CD．
理由：连接AO并延长交⊙O于点G，连接CB．
∵OF⊥AB，
∴AF＝BF，
∵AO＝GO，
∴OF是△ABG的中位线，
∴OF＝BG，
∵AG是⊙O的直径，
∴∠ABG＝90°，
∴∠BAG+∠G＝90°，
∵AC⊥BD，
∴∠CEB＝90°，
∴∠ECB+∠EBC＝90°，
∵∠G＝∠ECB，
∴∠BAG＝∠CBD，
∴∠BAG所对弧上的圆心角等于∠CBD所对弧上的圆心角，
∴BG＝CD，
∴OF＝CD；
（2）由（1）得：OF＝CD＝，
在Rt△AOF中，AF＝1，
∴OA＝＝＝，
∴⊙O的半径为．
26．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴AC⊥BC，
又∵OF⊥AC，
∴OF∥BC；
（2）证明：∵AB⊥CD，
∴＝，
∴∠CAB＝∠BCD，
在△AFO和△CEB中，
∴△AFO≌△CEB（AAS）；
（3）解：连接DO．设OE＝x，
∵OF∥BC，OA＝OB，
∴OF＝BC，
∵OF＝BE＝5cm，
∴BC＝10cm，
∵△AFO≌△CEB，
∴OA＝BC＝10cm，
∴CE＝＝＝5cm，
∴CD＝2CE＝10cm，
∵OB＝x+5，
∴OE＝OB﹣5＝10﹣5＝5cm，
∵cos∠COE＝＝＝，
∴∠COE＝60°
∴∠COD＝120°，
∴扇形COD的面积是：＝cm2
△COD的面积是：CD OE＝＝25cm2
∴阴影部分的面积是：（﹣25）cm2．