2021--2022学年沪科版九年级数学上册第22章 相似形 单元自测卷 （Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021--2022学年沪科版九年级数学上册第22章 相似形 单元自测卷 （Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 430.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-10 10:55:02 | ||
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文档简介
沪科版九年级数学上册第22章相似形单元自测卷
班级 姓名 学号
一、单选题（40分）
1．根据下列各组条件，不能判定△ABC∽△A1B1C1的是（ ）
A．∠B＝∠B1＝60°，∠C＝50°，∠A1＝70°
B．∠C＝∠C1＝90°，AB＝10，AC＝6，A1B1＝5，A1C1＝3
C．∠A＝40°，AB＝2，AC＝3，∠A1＝40°，A1B1＝4，A1C1＝5
D．AB＝12，BC＝15，AC＝24，A1B1＝8，A1C1＝16，B1C1＝10
2．如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′：，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（ ）
A．4：9 B．2：5 C．2：3 D．5：5
3．如图，在中，，点在边上，，E为边上一点，当时，的值为
A． B． C． D．
（3） （4）（5）
4．如图，有一块形状为Rt△ABC的斜板余料，∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，要把它加工成一个形状为 DEFG的工件，使GF在边BC上，D、E两点分别在边AB、AC上，若点D是边AB的中点，则S DEFG的面积为（ ）cm2．
A．10 B．12 C．14 D．16
5．如图，在平面直角坐标系中，点A在函数 的图象上，点B在函数的图象上，若AO=2BO，∠AOB=90°，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．1.5 D．0.25
6．如图，中，点E、F在BC边上，点D、G分别在AB、AC边上，四边形DEFG是矩形．若矩形DEFG的面积与的面积相等，设的BC边上高AH与DG相交于点K，则的值为（ ）
A． B． C． D．
（6）（7）（8）
7．如图，Rt△OAB中，∠OAB=90°，点A在x轴上，反比例函数y=（x＞0）的图象过斜边OB的中点D，与AB交于点C．若△OBC的面积为3，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在矩形ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，AB＝BC＝2且EF＝BC，点G是边AB上的中点，连接GE、DF．当GE+DF取最小值时，线段CF的长是（ ）
A．1 B． C． D．2
9．如图，点D、E分别在的边AB、AC的反向延长线上，下面比例式中，不一定能判断的是（ ）
A． B． C． D．
（9）（10）
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE＝5，连接CE，P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动，在整个运动过程中，阴影部分面积S1+S2的最小值为（ ）
A．80 B．82.5 C．86 D．88.5
二、填空题（20分）
11．如图，是一块直角三角形木板，BC＝1.5米，AC＝2米，要在这个三角形内部裁剪出一个正方形，且正方形各顶点都在三角形的边上，则这个正方形最大面积是____．
（11）（12）（13）
12．如图，在 ABCD的对角线BD上取一点E，延长AE交BC于G，交DC的延长线于F，若DF＝2CF，则△CFG与△BEG的面积比是____．
13．在△ABC中，AB＝4，AC＝6，D为BC边的中点，在直线AB上取一点E，连接DE交直线AC与点F，若AE＝1.2，求AF的长为 ___．
14．小明将3块拼图①、②、③拼成如图1所示一个矩形，也可以拼成如图2所示的“L”形状，且是轴对称图形．已知，，，则FG的长为____________．
三、解答题（90分）
15．（8分）图①、图②、图③都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点A、B、C均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图．不要求写出画法．
（1）在图①中画出边BC上的中线AD，则_______；
（2）在图②中画出，点E、F分别在边AB、BC上，满足，且；
16．（8分）如图，△ABC中，∠A＝90°，BC＝13cm，AC＝12cm，点E从C出发，在边CA上以2cm/s的速度移动，点D从A出发、在边AB上以1cm/s的速度移动、若E，D分别同时从C，A出发，当一个点到达终点时，另一个点也停止移动．经过多少时间以A，D，E为顶点的三角形与以C，B，A为顶点的三角形相似？
17．（8分）如图，在中，，于，作于，是中点，连结交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的值．
18．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向终点A运动，P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，连接PQ，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）t为何值时，△AQP与△ABC相似？
（2）t为何值时，△AQP的面积为0.8？
19．（10分）如图，在矩形ABCD中，沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O．
求证：
20．（10分）如图，在ABC中，AB=AC，∠A为锐角且不等于60°，AD平分∠BAC交BC于点D，BE⊥AC于点E，AD交BE于点F．
（1）写出图中所有与ACD相似的三角形（全等除外）；
（2）连接DE，求证：ABF∽△EDF．
21．（12分）已知：如图，在平面直角坐标系中，A（0，2a），B（2a，0），C为AB的中点，D为OB上一点，点E在AD上，连接CE并延长交x轴于F，若∠DEF＝45°．
（1）求证：△ACE∽△ADB；
（2）求证：OE⊥AD；
（3）若D（a，0），求 的值．
22．（12分）如图，在△ABC中，点D在AB边上，且∠ADC＝∠ACB．
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）若AD＝2，BD＝3，求AC的长．
23．（14分）如图，矩形ABCD中，长AB和宽AD的长度分别是方程的两个根，点E为AD上一个动点，将沿CE折叠得到，点D的对应点为F．
（1）求AB与AD的长；
（2）当点F恰好落在AB边上时，
①求DE的长；
②动点M从点F出发沿FC向C点匀速运动，速度为每秒2个单位长度，同时动点N以每秒1个单位长度的速度从C点出发，沿CB匀速向B点运动，当点M到达C点时，两点同时停止运动，设运动时间为t，若以M，N，C为顶点的三角形与相似时，求t的值．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案
1．C2．B3．A4．B5．A6．C7．C8．C9．C10．B
11．12．13．或14．6
15．（1）作图见解析部分，6；（2）作图见解析部分．
【详解】
解：（1）如图①中，
线段即为所求．，
故答案为6．
（2）如图②中，
线段即为所求．
16．经过秒或秒时，以A，D，E为顶点的三角形与以C，B，A为顶点的三角形相似．
【详解】
解：∵△ABC中，∠A＝90°，BC＝13cm，AC＝12cm，
∴AB=5，
∵点D以每秒1个单位长度的速度由A向B运动，同时点E以每秒2个单位长度的速度由C向A运动，
∴AD=t，AE=12-2t，
∴当△ADE∽△ABC时，，即，解得t=（秒）；
当△AED∽△ABC时，，即，解得t=（秒）；
综上所述，经过秒或秒时，以A，D，E为顶点的三角形与以C，B，A为顶点的三角形相似．
17．（1）证明见解析；（2）．
【详解】
解：（1）∵，，
∴．
由题意可知，
∴，
∴，
∴．
（2）如图，连接FD．
∵，，
∴D点为BC中点，
∴DF为中位线．
∴，且，
∴，即，
∴．
18．（1）当或时，△ABC与△AQP相似；（2）当或2时，△AQP的面积为0.8．
【详解】
解：（1）由题意得：，
∵AB＝3，BC＝4，
∴AC＝5，
由可知，△ABC与△AQP相似时，存在以下两种情况：
①当△ABC∽△AQP时，则有：
，即，
解得：；
②当△ABC∽△APQ时，则有：
，即，
解得：；
综上所述：当或时，△ABC与△AQP相似；
（2）过点P作PE⊥AB于点E，如图所示：
∴PE∥BC，
∴△ABC∽△AEP，
∴，即，
∴，
∴，
整理得：，
解得：，
∴当或2时，△AQP的面积为0.8．
19．见解析
【详解】
证明：∵沿直线对折，使A、C重合，
∴A与C关于直线对称，
∴，
∴
在矩形中，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴．
20．（1）△AFE、△BCE、△BFD；（2）见解析
【分析】
（1）由等腰三角形的性质得出AD⊥BC，由两角相等证得与ACD相似的三角形有△AFE、△BCE、△BFD；
（2）由两角相等证得△AFE∽△BFD，得出即，有由夹角相等，即可证得结论．
【详解】
解（1）与△ACD相似的三角形有：△AFE、△BCE、△BFD证明如下：
∵AD平分∠BAC，AB=AC，
∴AD⊥BC，
由∵BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠ADB＝∠AEC＝∠AEB＝90°，
又∵∠EAF＝∠DAC，
∴△AFE∽△ACD；
又∵∠C＝∠C，
∴△BCE∽△ACD，
∴∠DBE＝∠DAC，
又∵∠BDF＝∠ADC＝90°，
∴△BFD∽△ACD；
（2）∵△BFD∽△ACD，
∴∠CAD＝∠CBE，
又∵∠AFE＝∠BFD，
∴△AFE∽△BFD，
∴，
∴，
∵∠AFB＝∠EFD，
∴ABF∽△EDF．
21．（1）见解析；（2）见解析；（3）
【详解】
解：（1）∵A（0，2a），B（2a，0），
∴OA=OB=2a，
∵∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵∠DEF＝45°，
∴∠OBA=∠DEF，
∵∠DEF =∠AEC，
∴∠OBA=∠AEC，
∵∠CAE=∠BAE，
∴△ACE∽△ADB；
（2）由（1）知：△ACE∽△ADB，
∴ ，
∴ ，
∵C为AB的中点，
∴AB=2AC，
∴，
∵∠AOB=90°，AO=BO，C为AB的中点，
∴OC⊥AB，
∴∠AOC=∠OAC=45°，
∴ 是等腰直角三角形，
∴AC=OC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵∠OAE=∠DAO，
∴ ，
∴∠AEO=∠AOD=90°，
∴OE⊥AD；
（3）∵OE⊥AD，
∴∠AEO=∠OED=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠OED=∠AOB，
∵∠ODE=∠ODA，
∴△OED∽△AOD，
∴ ，
∵A（0，2a），B（2a，0），D（a，0），
∴OA=OB=2a，OD=a，
∴ ，
∴，解得： ，
∵∠B=∠DEF=45°，∠DFE=∠BFC，
∴△DEF∽△CBF，
∴ ，
∵OA=OB=2a，∠AOB=90°，
∴ ，
∵C为AB的中点，
∴ ，
∴．
22．（1）见解析；（2）．
【详解】
解：（1）证明：如图，∵∠ADC=∠ACB，∠CAD=∠BAC，
∴△ACD∽△ABC；
（2）∵点D在AB边上，AD=2，BD=3，
∴AB=AD+BD=2+3=5，
∵△ACD∽△ABC，
∴，
∴，
∴．
23．（1），；（2）①；②当或时，以M、N、C为顶点的三角形与相似．
【详解】
解：（1）∵长AB和宽AD的长度分别是方程的两个根，
可得，，，
即，；
（2）①由折叠可得，，而，
∴，∴，
设，则，
中，，
∴，解得，∴；
②∵，，
∴，
由①可得，，，，
∵，，
∴，
①当时，，
∴，即，解得；
②当时，，
∴，即，解得，
综上所述，当或时，以M、N、C为顶点的三角形与相似．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
班级 姓名 学号
一、单选题（40分）
1．根据下列各组条件，不能判定△ABC∽△A1B1C1的是（ ）
A．∠B＝∠B1＝60°，∠C＝50°，∠A1＝70°
B．∠C＝∠C1＝90°，AB＝10，AC＝6，A1B1＝5，A1C1＝3
C．∠A＝40°，AB＝2，AC＝3，∠A1＝40°，A1B1＝4，A1C1＝5
D．AB＝12，BC＝15，AC＝24，A1B1＝8，A1C1＝16，B1C1＝10
2．如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′：，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（ ）
A．4：9 B．2：5 C．2：3 D．5：5
3．如图，在中，，点在边上，，E为边上一点，当时，的值为
A． B． C． D．
（3） （4）（5）
4．如图，有一块形状为Rt△ABC的斜板余料，∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，要把它加工成一个形状为 DEFG的工件，使GF在边BC上，D、E两点分别在边AB、AC上，若点D是边AB的中点，则S DEFG的面积为（ ）cm2．
A．10 B．12 C．14 D．16
5．如图，在平面直角坐标系中，点A在函数 的图象上，点B在函数的图象上，若AO=2BO，∠AOB=90°，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．1.5 D．0.25
6．如图，中，点E、F在BC边上，点D、G分别在AB、AC边上，四边形DEFG是矩形．若矩形DEFG的面积与的面积相等，设的BC边上高AH与DG相交于点K，则的值为（ ）
A． B． C． D．
（6）（7）（8）
7．如图，Rt△OAB中，∠OAB=90°，点A在x轴上，反比例函数y=（x＞0）的图象过斜边OB的中点D，与AB交于点C．若△OBC的面积为3，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在矩形ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，AB＝BC＝2且EF＝BC，点G是边AB上的中点，连接GE、DF．当GE+DF取最小值时，线段CF的长是（ ）
A．1 B． C． D．2
9．如图，点D、E分别在的边AB、AC的反向延长线上，下面比例式中，不一定能判断的是（ ）
A． B． C． D．
（9）（10）
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE＝5，连接CE，P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动，在整个运动过程中，阴影部分面积S1+S2的最小值为（ ）
A．80 B．82.5 C．86 D．88.5
二、填空题（20分）
11．如图，是一块直角三角形木板，BC＝1.5米，AC＝2米，要在这个三角形内部裁剪出一个正方形，且正方形各顶点都在三角形的边上，则这个正方形最大面积是____．
（11）（12）（13）
12．如图，在 ABCD的对角线BD上取一点E，延长AE交BC于G，交DC的延长线于F，若DF＝2CF，则△CFG与△BEG的面积比是____．
13．在△ABC中，AB＝4，AC＝6，D为BC边的中点，在直线AB上取一点E，连接DE交直线AC与点F，若AE＝1.2，求AF的长为 ___．
14．小明将3块拼图①、②、③拼成如图1所示一个矩形，也可以拼成如图2所示的“L”形状，且是轴对称图形．已知，，，则FG的长为____________．
三、解答题（90分）
15．（8分）图①、图②、图③都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点A、B、C均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图．不要求写出画法．
（1）在图①中画出边BC上的中线AD，则_______；
（2）在图②中画出，点E、F分别在边AB、BC上，满足，且；
16．（8分）如图，△ABC中，∠A＝90°，BC＝13cm，AC＝12cm，点E从C出发，在边CA上以2cm/s的速度移动，点D从A出发、在边AB上以1cm/s的速度移动、若E，D分别同时从C，A出发，当一个点到达终点时，另一个点也停止移动．经过多少时间以A，D，E为顶点的三角形与以C，B，A为顶点的三角形相似？
17．（8分）如图，在中，，于，作于，是中点，连结交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的值．
18．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向终点A运动，P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，连接PQ，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）t为何值时，△AQP与△ABC相似？
（2）t为何值时，△AQP的面积为0.8？
19．（10分）如图，在矩形ABCD中，沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O．
求证：
20．（10分）如图，在ABC中，AB=AC，∠A为锐角且不等于60°，AD平分∠BAC交BC于点D，BE⊥AC于点E，AD交BE于点F．
（1）写出图中所有与ACD相似的三角形（全等除外）；
（2）连接DE，求证：ABF∽△EDF．
21．（12分）已知：如图，在平面直角坐标系中，A（0，2a），B（2a，0），C为AB的中点，D为OB上一点，点E在AD上，连接CE并延长交x轴于F，若∠DEF＝45°．
（1）求证：△ACE∽△ADB；
（2）求证：OE⊥AD；
（3）若D（a，0），求 的值．
22．（12分）如图，在△ABC中，点D在AB边上，且∠ADC＝∠ACB．
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）若AD＝2，BD＝3，求AC的长．
23．（14分）如图，矩形ABCD中，长AB和宽AD的长度分别是方程的两个根，点E为AD上一个动点，将沿CE折叠得到，点D的对应点为F．
（1）求AB与AD的长；
（2）当点F恰好落在AB边上时，
①求DE的长；
②动点M从点F出发沿FC向C点匀速运动，速度为每秒2个单位长度，同时动点N以每秒1个单位长度的速度从C点出发，沿CB匀速向B点运动，当点M到达C点时，两点同时停止运动，设运动时间为t，若以M，N，C为顶点的三角形与相似时，求t的值．
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参考答案
1．C2．B3．A4．B5．A6．C7．C8．C9．C10．B
11．12．13．或14．6
15．（1）作图见解析部分，6；（2）作图见解析部分．
【详解】
解：（1）如图①中，
线段即为所求．，
故答案为6．
（2）如图②中，
线段即为所求．
16．经过秒或秒时，以A，D，E为顶点的三角形与以C，B，A为顶点的三角形相似．
【详解】
解：∵△ABC中，∠A＝90°，BC＝13cm，AC＝12cm，
∴AB=5，
∵点D以每秒1个单位长度的速度由A向B运动，同时点E以每秒2个单位长度的速度由C向A运动，
∴AD=t，AE=12-2t，
∴当△ADE∽△ABC时，，即，解得t=（秒）；
当△AED∽△ABC时，，即，解得t=（秒）；
综上所述，经过秒或秒时，以A，D，E为顶点的三角形与以C，B，A为顶点的三角形相似．
17．（1）证明见解析；（2）．
【详解】
解：（1）∵，，
∴．
由题意可知，
∴，
∴，
∴．
（2）如图，连接FD．
∵，，
∴D点为BC中点，
∴DF为中位线．
∴，且，
∴，即，
∴．
18．（1）当或时，△ABC与△AQP相似；（2）当或2时，△AQP的面积为0.8．
【详解】
解：（1）由题意得：，
∵AB＝3，BC＝4，
∴AC＝5，
由可知，△ABC与△AQP相似时，存在以下两种情况：
①当△ABC∽△AQP时，则有：
，即，
解得：；
②当△ABC∽△APQ时，则有：
，即，
解得：；
综上所述：当或时，△ABC与△AQP相似；
（2）过点P作PE⊥AB于点E，如图所示：
∴PE∥BC，
∴△ABC∽△AEP，
∴，即，
∴，
∴，
整理得：，
解得：，
∴当或2时，△AQP的面积为0.8．
19．见解析
【详解】
证明：∵沿直线对折，使A、C重合，
∴A与C关于直线对称，
∴，
∴
在矩形中，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴．
20．（1）△AFE、△BCE、△BFD；（2）见解析
【分析】
（1）由等腰三角形的性质得出AD⊥BC，由两角相等证得与ACD相似的三角形有△AFE、△BCE、△BFD；
（2）由两角相等证得△AFE∽△BFD，得出即，有由夹角相等，即可证得结论．
【详解】
解（1）与△ACD相似的三角形有：△AFE、△BCE、△BFD证明如下：
∵AD平分∠BAC，AB=AC，
∴AD⊥BC，
由∵BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠ADB＝∠AEC＝∠AEB＝90°，
又∵∠EAF＝∠DAC，
∴△AFE∽△ACD；
又∵∠C＝∠C，
∴△BCE∽△ACD，
∴∠DBE＝∠DAC，
又∵∠BDF＝∠ADC＝90°，
∴△BFD∽△ACD；
（2）∵△BFD∽△ACD，
∴∠CAD＝∠CBE，
又∵∠AFE＝∠BFD，
∴△AFE∽△BFD，
∴，
∴，
∵∠AFB＝∠EFD，
∴ABF∽△EDF．
21．（1）见解析；（2）见解析；（3）
【详解】
解：（1）∵A（0，2a），B（2a，0），
∴OA=OB=2a，
∵∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵∠DEF＝45°，
∴∠OBA=∠DEF，
∵∠DEF =∠AEC，
∴∠OBA=∠AEC，
∵∠CAE=∠BAE，
∴△ACE∽△ADB；
（2）由（1）知：△ACE∽△ADB，
∴ ，
∴ ，
∵C为AB的中点，
∴AB=2AC，
∴，
∵∠AOB=90°，AO=BO，C为AB的中点，
∴OC⊥AB，
∴∠AOC=∠OAC=45°，
∴ 是等腰直角三角形，
∴AC=OC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵∠OAE=∠DAO，
∴ ，
∴∠AEO=∠AOD=90°，
∴OE⊥AD；
（3）∵OE⊥AD，
∴∠AEO=∠OED=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠OED=∠AOB，
∵∠ODE=∠ODA，
∴△OED∽△AOD，
∴ ，
∵A（0，2a），B（2a，0），D（a，0），
∴OA=OB=2a，OD=a，
∴ ，
∴，解得： ，
∵∠B=∠DEF=45°，∠DFE=∠BFC，
∴△DEF∽△CBF，
∴ ，
∵OA=OB=2a，∠AOB=90°，
∴ ，
∵C为AB的中点，
∴ ，
∴．
22．（1）见解析；（2）．
【详解】
解：（1）证明：如图，∵∠ADC=∠ACB，∠CAD=∠BAC，
∴△ACD∽△ABC；
（2）∵点D在AB边上，AD=2，BD=3，
∴AB=AD+BD=2+3=5，
∵△ACD∽△ABC，
∴，
∴，
∴．
23．（1），；（2）①；②当或时，以M、N、C为顶点的三角形与相似．
【详解】
解：（1）∵长AB和宽AD的长度分别是方程的两个根，
可得，，，
即，；
（2）①由折叠可得，，而，
∴，∴，
设，则，
中，，
∴，解得，∴；
②∵，，
∴，
由①可得，，，，
∵，，
∴，
①当时，，
∴，即，解得；
②当时，，
∴，即，解得，
综上所述，当或时，以M、N、C为顶点的三角形与相似．
答案第1页，共2页
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