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莒县、五莲县、岚山区2021～2022学年度上学期高二模块联考
数学试题 2021.11
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线的焦点坐标为
A． B． C． D．
2．直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则
A． B．
C．或 D．与的位置关系不能判断
3．已知空间向量，，，下列命题中正确的是：
A．若向量，共线，则向量，所在的直线平行
B．若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面
C．若存在不全为0的实数使得则，，共面
D．对于空间的任意一个向量，总存在实数使得
4．直线，，若，则的值为
A． B． C．或 D．或
5．已知椭圆的右焦点是双曲线的右顶点，则双曲线的渐近线方程为
A． B． C． D．
6．在三棱锥中，，，则
A． B． C． D．
7．已知点，，若直线上存在点，满足，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
8．已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
9．关于的方程表示的曲线可以是
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线
10．已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，，，下列结论正确的有
A． B．四边形为矩形
C．平面 D．
11．椭圆的两个焦点分别为，，为坐标原点，以下说法正确的是
A．椭圆的离心率为
B．椭圆上存在点，使得
C．过点的直线与椭圆交于，两点，则的面积最大值为
D．定义曲线为椭圆的伴随曲线，则曲线与椭圆无公共点
12．在正方体中，点在线段上运动，则
A．
B．三棱锥的体积为定值
C．直线与平面所成的角可以为
D．直线与直线所成的角最小值为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在空间四边形中，________.
14．已知点在圆上，则的最大值是_________．
15．双曲线的两个焦点分别是，，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若为正三角形，则双曲线的离心率为_________.
16．抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两点，且，过弦的中点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最大值为________.
四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（10分）已知中，，，角的平分线为轴.
（1）求点关于轴的对称点的坐标及边所在直线的方程；
（2）求的外接圆的方程.
18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝AA1＝2．
（1）求异面直线和所成角的大小；
（2）求直线和平面所成角的大小．
19．（12分）某河道上有一抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面9m，拱圈内水面宽30m，一条船在水面以上部分高7m，船顶部宽6m．
（1）试建立适当的直角坐标系，求拱桥所在的抛物线的标准方程；
（2）近日由于水位暴涨了2.46m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞，试问：船身至少应该降低多少？（精确到0.1m）
20．（12分）如图，在五面体中，平面，，，.
（1）若为的中点，求三棱锥的体积；
（2）求二面角的余弦值.
21．（12分）已知双曲线的渐近线方程为，且过点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若点，过右焦点且与坐标轴都不垂直的直线与交于，两点，求证：．
22．（12分）已知椭圆：的离心率，两个焦点分别为，，抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点.
（1）求椭圆的方程：
（2）已知圆：的切线与椭圆相交于两点，那么以为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.
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数学试题参考答案 2021.11
单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1—4 C B C A 5—8 C D D C
1．答案C
解析：根据题意，抛物线的标准方程为，其焦点在y轴正半轴上，且，则其焦点坐标为；故选：C．
2.答案B
解析：直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，
显然它们共线，所以．故选：B．
3.答案C
解析： 与共线，，所在的直线也可能重合，故A不正确；
根据自由向量的意义知，空间任意两向量，都共面，故B不正确；
实数x，y，z不全为0,不妨设，则，由共面向量定理知，，一定共面，故C正确；
只有当，，不共面时，空间任意一向量才能表示为，故D不正确，
故选：C．
答案A
解析：因为，所以，解得a＝3，故选：A．
5．答案C
解析：因为椭圆的半焦距为：，所以双曲线的右顶点坐标为，即，
因此该双曲线的渐近线方程为， 故选：C
6.答案D
解析：若为中点，连接，由知：；由知：，即有，
又，则面，而面，
∴，即.故选：D
答案D
解析：方法一:因为点P在直线上，设P（x，1-kx），
则，
所以有解，
所以，解得或．
方法二：因为直线上存在点P，满足，所以直线与以AB为直径的圆有交点，则，解得或．
故选：D．
8．答案C
解析：设F1Q的延长线交F2P的延长线于点M，则由题意知PM|＝|PF1|，
∵|PF1|+|PF2|＝2a＝12，∴|MF2|＝|PM|+|PF2|＝2a＝12，
由题意知OQ是△F1F2M的中位线，∴|OQ|＝a＝6，
∴Q点的轨迹是以O为圆心，以6为半径的圆，
∴当点Q与y轴重合时，Q与短轴端点取最近距离d＝a﹣b＝6﹣3＝3．故选：C．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
9．ABD 10．AC 11．BD 12．ABD
9．答案ABD
解析：对于方程（m﹣1）x2+my2＝m（m﹣1），
①当m＝1时，方程即y2＝0，即 y＝0，表示x轴；
②当m＝0时，方程即x2＝0，即 x＝0，表示y轴；
③当m≠1，且 m≠0时，方程即，
因为m≠m﹣1，所以方程不可能是圆；
若0若m＞1，方程表示椭圆．
综合可得：方程不可能是抛物线与圆． 故选：ABD．
10.答案AC
解析：对于A选项，，，A对；
对于B选项，，故平行四边形不是矩形，B错；
对于C选项，，则，
因为，则平面， C对；
对于D选项，根据C知，所以D错.
故选：AC.
11.答案BD
解析：对于选项：因为，，所以，即，所以离心率，所以选项错误；
对于选项B：设，则，且，又，，
所以，，
因此，
解得，故选项B正确 (或根据几何性质易知)；
对于选项C：设直线的方程与椭圆方程联立得：，因此，因为当且仅当取等号所以，故选项错误；
对于选项：椭圆中，，而伴随曲线中，，故选项正确，
故选：BD．
12．答案ABD 解析：对于A，因为，，可得平面， 平面，所以成立；
对于B，由正方体知ABC1D1为平行四边形，故BC1∥AD1，又BC1 平面ACD1，AD 平面ACD1，则BC1∥平面ACD1，所以直线BC1上任意一点到平面ACD1的距离都相等，
又由等体积法，且底面面积不变，故三棱锥A﹣D1PC的体积不变，
故B正确；
对于C，因为点P在直线BC1上运动，当点P与点C1重合时，直线与平面所成的角∠C1AC<45°，故C错误；
对于D，由A中的求解过程可知，BC1∥AD1，
所以直线与直线所成的角即BC1和DP所成的角，当点P与点B或C1重合时，所成的角最小值为，故D正确；故选：ABD．
第II卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 14. 15. 16.
13.答案
解析：.
14答案
解析：令，则，表示直线在轴上的截距，
所以的最大值是直线在轴上截距的最大值，此时直线与圆相切，
则圆心到直线的距离等于半径，即，解得.
故答案为： (或由几何性质易得)
15.答案
解析：∵ 为正三角形，∴ ，又，
∴ ∴，
∴ ∴ ,（舍去） 故答案为：.
16.答案
解析：设，，作垂直准线于点，作垂直准线于点.
由抛物线的定义，知，，
又为的中点且，所以
在中，由余弦定理得，
又，∴，
当且仅当时，等号成立，∴，
∴，即的最大值为. 故答案为：．
四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（10分）解：因为A与D关于y轴对称，所以点， ……………………………1分
角的平分线为轴，
点在直线上， ………………………………3分
又，则直线方程为，即； ………………………………5分
（2）角的平分线为轴.，在中令得，
设外接圆的方程为，则有， ………7分
解得，外接圆的方程为，即.……10分
18.（12分）解：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，且AC⊥BC，
∴AC，BC，CC1两两垂直， ………………………………2分
则以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，
A（2，0，0），C1（0，0，2），A1（2，0，2），B（0，2，0），
＝（﹣2，0，﹣2），＝（﹣2，2，0）， …………………3分
设直线和所成角的大小为θ，
则cosθ＝＝，
∴直线AC1和A1B1所成角的大小为60°． ………………………………6分
（2）＝（﹣2，0，﹣2），＝（﹣2，2，0），＝（0，0，2），………………7分
设平面ABB1A1的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝1，得＝（1，1，0）， ……………………………9分
设直线A1C和平面ABB1A1所成角的大小为θ，
则sinθ＝＝，θ＝30°．
∴直线A1C和平面ABB1A1所成角的大小为30°． ………………………………12分
（其他方法参考给分）
19（12分）解：（1）设抛物线型拱桥与水面两交点分别为A，B，
以AB垂直平分线为y轴，拱圈最高点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则A（﹣15，﹣9），B（15，﹣9）， …………………2分
设拱桥所在的抛物线方程为x2＝﹣2py（p＞0），………………3分
因点A（﹣15，﹣9）在抛物线上，代入解得2p＝25，
故拱桥所在的抛物线方程是x2＝﹣25y．…………………………6分
（2）因x2＝﹣25y，故当x＝3时，y＝﹣0.36，………………7分
故当水位暴涨2.46m后，船身至少应降低7+2.46﹣（9﹣0.36）＝0.82，………9分
因精确到0.1m，故船身应降低0.9m．
故船身应降低0.9m，才能安全通过桥洞………………………12分
20.（12分）解：（1），，，
又平面，所以AE，AC，AB两两垂直， ……………2分
解法一：因为为线段的中点，所以，
，平面ABE, 平面ABE，平面ABE,
, ………………………………5分
又，；
………………………………6分
解法二：因为两两垂直，以为原点，分别以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，则，……2分
取平面的一个法向量为，
则点P到平面ABE距离， ……………………………4分
则； ……………………………6分
（2）因为两两垂直，以为原点，分别以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，
，， ………………………………8分
设平面的一个法向量为，由，取，则，，
所以
同理求得平面的一个法向量， ………………………………10分
所以，
因为二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为．…………12分
（其他方法参考给分）
21.（12分）解：（1）双曲线C的渐近线方程为，设双曲线方程为，……2分
又双曲线过点，则，
所以双曲线的方程为，即； ………………………………4分
（2）由（1）可知F(2,0)，l的斜率存在且不为0，设l的方程为，………5分
联立，消去y得，由题意，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则， ………………………………8分
则
………………………………10分
，成立 ……………………………12分
22.（12分）解：（1）因为椭圆的离心率，所以，即，
因为抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点，所以，………3分
所以，，所以椭圆的方程为. ………………………………4分
（2）①当直线的斜率不存在时，因为直线与圆相切，故其中一条切线方程为，
由，可得，，
则以为直径的圆的方程为，即为.……………6分
②当直线的斜率为零时，因为直线与圆相切，故其中条切线方程为，
由，可得，，
则以为直径的圆的方程为即为.
显然以上两种情况对应的圆都经过定点. ……………………………8分
③当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为，
由，消去并整理得，
设，，则，，
所以 ………………10分
所以，
因为直线和圆相切，所以圆心到直线的距离，整理得，于是，
则以直径的圆经过定点.
综上可知，以直径的圆经过定点. ………………………………12分
试卷第4页，共9页
试卷第5页，共9页
