高三数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合要求的.
1.已知 a R，若 a 1 (2a 1)i R（ i为虚数单位），则 a
1 1
A. B. C. 1 D.1
2 2
2.设集合 A {x | (x 1)2 1}, B {x N | 2 1},则 A B
x
A.[0,2] B. (0, 2] C.{0,1, 2} D.{1,2}
3.已知 a,b R，且0 a 1 b，则下列结论中正确的是
1 1
A. B.
a b a b 2
C.aa bb D. lgba lg ab
x2 1, x 0
4.已知函数 f (x) ，则下列结论中正确的是
cos x, x 0
A. f (x) 是偶函数 B. f (x)是增函数 C. f (x)的值域为[ 1, ) D. f [ f ( )] 2
2
5.设 p：关于 x的方程 4x 2x 1 a 0有解；q：函数 f (x) log 2(x a 1)在区间
(0, )上恒为正值，则 p是q的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.关于 x的不等式 ax2 x 2a 0的解集是 ( , )，则实数 a的取值范围为
[ 2A. , 2 2 2 2 2 ) B. ( , ] C.[ , ] D. ( , ] [ , )
4 4 4 4 4 4
7.向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用．平
面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势，已知对任意
平面向量 AB (x, y)，把 AB绕其起点沿逆时针方向旋转 角得到向量 AP (x cos
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y sin , x sin y cos ) ，叫做把点 B绕点 A沿逆时针方向旋转 角得到点 P .已知
平面内点 A(1, 2)，点 B(1 2,2 2 2)，点 B绕点 A沿顺时针方向旋转 后得到点
4
P，则点P的坐标为
A. (1,3) B. ( 3,1) C. (2,5) D. ( 2,3)
8.设正项数列 an 的前 n项和 Sn满足2 Sn an 1，记 x 表示不超过 x的最大整数，
b a n n 1.若数列 b 的前 n项和为T ，则使得T 2023成立的 n的最小值为 1010 n n n
A.1179 B.1180 C.2022 D.2023
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
z
9.已知复数 z 3 i（ i为虚数单位）， z0 ，则下列结论中正确的是z
3
A. z0 的虚部为 B. z0 在复平面内对应的点位于第四象限2
1 3
C. | z0 | 1 D.若 | z1 z0 | ，则 | z |的最大值为2 1 2
a (sin 2x, cos 2x),b ( 1 3
10.已知 , )，函数 f (x) a b，将函数 y f (x)的图
2 2
象向左平移 个单位长度后得到函数 g(x)的图象，则下列结论中正确的是
6
A. x 是函数 g(x)图象的一条对称轴 B. ( ,0)是函数 g(x)图象的一个对称中心
6 6
3 3
C.函数 g(x)在[0, ]上单调递增 D.函数 g(x)在[ , ]上的值域是[ , ]
4 6 3 2 2
11.设函数 y f (x)是定义在 R上的奇函数，满足 f (x 2) f (x) 0 .当 x [ 1,1]时，
f (x) x3 ，则下列结论中正确的是
A.8是函数 y f (x)的周期 B.函数 y f (x)的图象关于直线 x 2对称
x [1,3] f (x) (2 x)3C.当 时， D.函数 y f (x)的图象关于点 (2,0)对称
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*
12.已知函数 f (x) x cos x sin x 在区间 ( n ,n )(n N )上的零点个数为 an ， f (x)
区间 ( n ,n )(n N *)上的所有零点的和记为bn ，则下述正确的是
n
A.bn 0 B. a 2i n 2n
i 1
C. f (x)在区间 ( n ,n )上任意两相邻零点的差大于
2
D. f (x)在区间 ( n ,n )上任意两相邻零点的差大于
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．
13.若1 2i 2是关于 x的实系数方程 x bx c 0的一个根，则 c .
14.已知D为 ABC边上一点，DC 2DB，过D点的直线分别交直线 AB, AC于
E,F，若 AE AB,AF AC 2 1 ，其中 0, 0，则 ．
15.已知函数 f x Acos x （ A 0， 0， π）图象上的一个最高点是 2, 2 ，
*
这个最高点到其相邻的最低点间图象与 x轴交于点 4,0 .设 an f n n N ，则数列
an 的前100项和为___________.
1 ln x, x 1
16.已知函数 f x 1 1 ，若 x x ，且 f (x ) f (x ) 2, x x a 2 恒成
x , x 1
1 2 1 2 1 2
2 2
立，则实数 a的取值范围为___________.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明
过程或演算步骤.
17.（本小题满分 10 分）
2sin2 A B在 ABC中， cos B sin(A B)sin B cos(A C)
1
.
2 2
（Ⅰ）求角 A；
4
（Ⅱ）若 cos(A B) ，求 sin B 的值.
5
18.（本小题满分 12 分）
已 知 等 差 数 列 an 的 前 n 项 和 为 Sn ， 数 列 bn 为 等 比 数 列 ， 满 足
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a1 b2 2,S5 30,b4 2是b3与b5的等差中项.
（Ⅰ）求数列 an ， bn 的通项公式；
n
（Ⅱ）设 cn ( 1) (an bn )，求数列 cn 的前 n项和Tn .
19.（本小题满分 12 分）
如图，在 ABC中，角 A,B,C所对的边为 a,b,c b2 c2 a2
1
, ac , AD 3 AC .
2 4
（Ⅰ）若 AB 2,BD 10，求BC的长；
（Ⅱ）若 AC 4，求 ABD面积的最大值.
20.（本小题满分 12 分）
已知正项数列 an 的前 n项和为 S 2n ,a1 2,且满足 4Sn an 1 4n 4 ．数列{bn}满
足b1 2b2 3b3 nbn (n 1)2
n 1 .
（Ⅰ）求数列 an ，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）若从数列 an 中去掉数列{bn}的项后余下的项按原来的顺序组成数列{cn}，设
数列{cn}的前 n项和为Tn ，求T60 .
21.（本小题满分 12 分）
已知函数 f x x m ln x在 x e处的切线与直线 2x y 2 0平行.
（I）求m的值，并求此切线方程；
x
（II）证明： f x e cos x 1．
22.（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) 2a 1 ln x(a Z ) .
x
（I）求函数 f (x)的极值；
2 ln x
（II）设 g(x) ，若对 x (1, )都有 f (x) g(x)成立，求 a的最大值.
x
高三数学 第 4页（共 4页）高三数学答案
一、单项选择题： BDDC,BACB
二、多项选择题: 9.BCD 10. BC 11. ACD 12. ABC
三、填空题: 13.3 14.3 15. 2 2 16. a 1 2ln 2
四、解答题:
17.（10 分）解：（Ⅰ）由题意知：
[1 cos(A B)]cos B sin(A B)sin B cos B 1 ,
2
所以 cos(A B) cos B sin(A B)sin B 1 ， …………2 分
2
1 2
所以 cos A ，因为 A (0, )，所以 A . …………5 分
2 3
（Ⅱ）因为 A 2 ,B (0, ) 2 2 ，所以 B ( , ) ,
3 3 3 3 3
sin(A B) 1 ( 4所以 ) 2 3 ， …………7 分
5 5
2 2
所以 sin B sin[A (A B )] sin cos(A B ) cos sin(A B )
3 3
3 4 1 3 4 3 3 . …………10 分
2 5 2 5 10
18.（12 分）解：（Ⅰ）设等差数列 an 的公差为 d ，等比数列 bn 的公比为 q，
5 4
因为 a1 2，所以 S5 10 d 30，解得 d 2， …………1 分2
所以 an 2 2(n 1) 2n . …………2 分
由题意知： 2(b4 2) b3 b5 ，
因为b2 2，所以 2(2q2 2) 2q 2q3 ，解得 q 2， …………3 分
n 1
所以bn 2 . …………4 分
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n n 1 n n
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 cn ( 1) (2n 2 ) ( 1) 2n ( 1) 2
n 1
， …………5 分
当 n为偶数时，
Tn ( 2 4 6 8 2n) ( 1 2 2
2 2 3 2 n 1)
n 1 2n 12 ( 2) 2
n
n 1 3n 2
n 1
. …………8 分
2 1 ( 2) 3 3
当 n为奇数时，
Tn ( 2 4 6 8 2n) ( 1 2 2
2 2 3 2 n 1)
2 n 1 2n 1 ( 2
n 1) ( 2) n 1 2n 2
n 1 3n 2n 4
. ……11 分
2 1 ( 2) 3 3
3n 2n 1
,n为偶数， 3
综上所述：Tn n …………12 分
3n 2 4
,n为奇数. 3
a2cos ABC c
2 b2 1
19.（12 分）解：（Ⅰ）由题意知： ， ……1 分
2ac 4
设 BC a,AD 3m,CD m，
2 2 2
在 ABC cos ABC a 2 16m 1中， ，所以16m2 a2 4 a （1）……3分
4a 4
cos A 4 9m
2 10 4 16m2 a2
，所以 4m2 a2 12（2） …………5 分
2 2 3m 2 2 4m
由（1）（2）得：3a2 a 52 0，解得 a 4，所以 BC 4 . …………6 分
高三数学答案 第 2页（共 6 页）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 cos ABC 1 sin ABC 1 1 15，所以 ， …………7 分
4 16 4
AD 3
AC S 3因为 ，所以 ABD S ABC . …………8分4 4
ABC b2 42 a2 c2在 中， 2ac cos ABC a2 c2
1
ac 3 ac ，
2 2
ac 32所以 ，当且仅当时 a c取等号. …………10 分
3
S 3所以 ABD S
3 1
ABC ac sinB
3 1 32 15
15 ，
4 4 2 4 2 3 4
所以 ABD面积的最大值为 15 . …………12 分
4S a220.（12 分）解：（Ⅰ）因为 n n 1 4n 4 ，（1）
2
所以当 n 2时， 4Sn 1 an 4n（2），
所以（1）-（2）得 4an a
2 2 2
n 1 an 4，所以 an 1 (an 2)
2
. …………1 分
因为 an 0，所以 an 1 an 2(n 2)， …………2 分
4S a2因为 1 2 4 4 4a1 ， a1 2,a2 0，所以 a2 4， a2 a1 2
所以数列 an 是首项为 2，公差为2的等差数列， …………3 分
所以 an 2 (n 1) 2 2n . …………4 分
因为b1 2b2 3b3 nbn (n 1)2
n 1，（3）
所以当 n 2时，b1 2b2 3b3 (n 1)bn 1 (n 2)2
n 1 1，（4）
所以（3）-（4）得 nbn (n 1)2
n (n 2)2n 1 n 1，解得bn 2 (n 2)， …………6 分
n 1
当 n 1时，b1 1满足上式，所以bn 2 . …………7 分
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（Ⅱ）由（Ⅰ）知 a60 120， …………8 分
6
数列 an 前60项中与数列{bn}的公共项共有6项，且最大公共项为b7 2 64 .
a 7又因为 66 132,b8 2 128，
T S (2 22 27 ) 134 67 66 2 2
8
所以 60 67 2 4302 . …………12 分2 1 2
1
21.（12 分）解：（I） f x ln x x m ， …………1 分
x
由题意知 f e 1 m lne e m 1 1 2，所以m 0 . …………2分
e e
所以 f x x ln x， f e e lne e，切点为 (e,e)， …………3 分
所求切线方程为 y e 2(x e)，即 2x y e 0 . …………4 分
（II）证明： x ln x e x cos x 1.
x
（1）当 x (0,1]时， e cos x 1 0, x ln x 0，
所以 x ln x e x cos x 1成立； …………6 分
x
（2）当 x (1, )时，令 g(x) e cos x x ln x 1，
g (x) e x sin x ln x 1 h(x) g (x) e x，令 sin x ln x 1，
所以 h (x) e x cos x 1 ，因为 x (1, )，所以 h (x) 0，
x
所以 h(x)在 x (1, )上单调递增， …………8 分
所以 h(x) h(1) e sin1 1 0，即 g (x) 0， …………9 分
所以 g(x)在 x (1, )上单调递增， …………10 分
所以 g(x) g(1) e cos1 1 0 ， …………11 分
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所以当 x (0,1]时， x ln x e x cos x 1成立.
x
综上， f x e cos x 1. …………12 分
22.（12 分）解：（I）函数 f (x)的定义域为 (0, )， …………1 分
f (x) 1 x因为 ，令 f 2 (x) 0，解得 x 1. …………2 分x
当 f (x) 0时，0 x 1；当 f (x) 0时， x 1，
所以函数 f (x)在 x (0,1)上单调递增，在 x (1, )上单调递减，
所以 f (x)的极大值为 f (1) 2a 1，无极小值. …………4 分
1 2 ln x
（II）由题意知， 2a ln x ，
x x
2a 3 ln x即 ln x 对 x (1, )恒成立， …………5 分
x x
F (x) 3 ln x ln x令 (x 1)，
x x
则 F (x) 3 1 1 ln x x ln x 2 2 x x x2
， …………6 分
x2
令 h(x) x ln x 2(x 1) h (x) 1 1 x 1 ，则 0，
x x
所以 h(x)在 x (1, )上单调递增， …………7 分
又因为 h(3) 1 ln 3 0,h(4) 2 2ln 2 0
所以在 (3, 4)内必存在 x0，使得 h(x0 ) 0， …………8 分
当 x (1, x0 )时， h(x) 0， F (x) 0，所以 F (x)在 x (1, x0 )上单调递减；
当 x (x0 , )时， h(x) 0， F (x) 0，所以 F (x)在 x (x0 , )上单调递增；
所以F (x) F (x )
3 ln x
min 0 ln x0 0x x ， …………9 分0 0
因为 h(x0 ) x0 ln x0 2 0，即 ln x0 x0 2，
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所以F (x)min F (x0 )
3 x 2 x0 2 x 1 0 0 1, x0 (3, 4)x x x ， …………10 分0 0 0
F (x ) 7 13因为 0 在 x0 (3, 4)上单调递增，所以 F (x)min ( , )，3 4
又因为 a Z ，所以2a 2，所以 a 1， …………11 分
所以a的最大值为1. …………12 分
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