高考试题中概率问题的类型与解法 学案

高考试题中概率问题的类型与解法
概率问题是近几年高考的热点内容之一。从题型上看主要是选择题（或判断题），但有时也可能参透到统计与概率的大题之中；难度一般为中，低档。纵观近几年高考试题，归结起来概率问题主要包括：①排列与组合问题；②事件与事件的关系问题；③随机事件的概率；④古典概率；⑤几何概率；⑥二项式定理及运用；⑦概率综合问题等几种类型。各种类型问题的结构具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答概率问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地予以解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、将5名北京东奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑，冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）（2021全国高考乙卷理）
A 60种 B 120种 C 240种 D 480种
【解析】
【考点】①排列定义与性质；②排列数计算公式及运用；③组合定义与性质；④组合数计算公式及运用。
【解答思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式和组合数计算公式，结合问题条件求出共有不同的分配方案数就可得出选项。
【详细解答】5名北京东奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑，冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，共有不同的分配方案数为.=1024=240（种），C正确，选C。
2、6名同学到甲，乙，丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）（2020全国高考新高考I理）
A 120种 B 90种 C 60种 D 30种
【解析】
【考点】①排列定义与性质；②排列数计算公式及运用；③组合定义与性质；④组合数计算公式及运用。
【解答思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式和组合数计算公式，结合问题条件求出共有不同的安排方法数就可得出选项。
【详细解答】6名同学到甲，乙，丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，共有不同的安排方法数为..=6101
=60，C正确，选C。
3、安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有（ ）（2020全国高考新高考II理）
A 12种 B 18种 C 24种 D 36种
【解析】
【考点】①排列定义与性质；②排列数计算公式及运用；③组合定义与性质；④组合数计算公式及运用。
【解答思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式和组合数计算公式，结合问题条件求出共有不同的安排方法数就可得出选项。
【详细解答】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由一人完成，共有不同的安排方法数为=66=36，D正确，选D。
『思考问题1』
（1）【典例1】是排列组合的综合问题，解决这类问题的基本方法是：① “分析”，就是找出问题中的条件和结论，弄清楚哪些是元素，哪些是位置；②“分辨”，是辨别问题中哪些是排列，哪些是组合，对哪些元素的位置有特别的限制；③“分类”，是对复杂问题中的元素分成互相排斥的几类，再逐类解答；④“分步”，是把问题化成几个互相联系的步骤，每一步都是简单的排列或组合问题，再逐步加以解答；
（2）排列的主要特征是元素与元素之间同顺序有关；组合的主要特征是元素与元素之间同顺序无关；
（3）在实际解答问题时，分辨它是排列还是组合的简便方法就是看元素与元素之间同顺序是否有关；
（6）在实际解答问题时，排列与组合往往会同时出现，面对解答既有排列又有组合的问题时，处理问题基本方法是组合后排列。
【典例2】解答下列问题：
1、有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取一个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，
丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”
则（ ）（2021全国高考新高考I）
A 甲与丙相互独立 B 甲与丁相互独立 C 乙与丙相互独立 D 丙与丁相互独立
【解析】
【考点】①相互独立事件定义与性质；②判断两个事件是否是相互独立事件的基本方法。
【解答思路】根据相互独立事件的性质，运用判断两个事件是否是相互独立事件的基本方法分别对各选项的两个事件是否是相互独立事件进行判断就可得出选项。
【详细解答】丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，第一次取出的球的数字至少是2，也就是说丙事件中第一次取出的球的数字不能是1，甲事件与丙事件两个事件不可能同时发生，且至少有一个发生，即甲与丙相互独立，A正确，选A。
3、从1，2，3，------，7这7个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数。上述事件中，是对立事件的是（ ）
A ① B ②④ C ③ D ①③
【解析】
【知识点】①事件的定义与性质；②对立事件的定义与性质；③判断对立事件的基本方法。
【解题思路】运用对立事件的性质对各问题中涉及的两个事件分别进行判断就可得出选项。
【详细解答】对①，任取的两个数中恰有一个是偶数，那么另一个就是奇数，同时任取的两个数中恰有一个是奇数，那么另一个就是偶数，两个事件有可能同时发生，不是对立事件；对②，任取的两个数中至少有一个奇数，也有可能两个都是奇数，两个事件有可能同时发生，不是对立事件；对③，任取的两个数中至少有一个奇数，也有可能两个都是奇数，但不可能两个都是偶数，两个事件不可能同时发生，且有一个必定发生，是对立事件；对④，任取的两个数中至少有一个奇数，包含恰有一个奇数和一个偶数的事件，任取的两个数中至少有一个偶数，包含恰有一个偶数和一个奇数的事件，不是对立事件，
C正确，选C。
『思考问题2』
（1）【典例2】是事件与事件之间的关系问题，解答这类问题需要理解事件，互斥事件和对立事件的定义，了解事件与事件之间的包含关系，相等关系，并事件（或和事件），交事件（或积事件），互斥事件，对立事件的意义，尤其要注意互斥事件与对立事件的区别和联系；
（2）互斥事件与对立事件的关系是：①联系：都是不能同时发生的两个事件，对立事件是互斥事件的一种特殊情况；②区别：两个互斥事件可以都不发生，但两个对立事件必须有一个发生。
【典例3】解答下列问题：
1、袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球和2个白球，从中不放回地依次随机摸出两个球，则摸出的两个球颜色相同的概率为（ ）（成都市2021高三二诊）
A B C D
【解析】
【考点】①组合的定义与性质；②求组合数的基本方法；③古典概率的定义与性质；④求古典概率的基本方法。
【解题思路】根据组合的性质和求组合数的基本方法，分别求出从5个球中不放回地依次随机摸出两个球和摸出的两个球颜色相同的组合数，运用古典概率的性质和求古典概率的基本方法求出从5个球中不放回地依次随机摸出两个球，摸出的两个球颜色相同的概率就可得出选项。
【详细解答】设从5个球中不放回地依次随机摸出两个球摸出的两个球颜色相同的事件为A，从5个球中不放回地依次随机摸出两个球的摸法有.=54
=20，从5个球中不放回地依次随机摸出两个球摸出的两个球颜色相同的摸法有
.+.=32+21=6+2=8，p（A）==，B正确，选B。
2、以网络公司为某贫困山区培养了100名“乡土直播员”，以帮助宣传该山区文化和销售该山区的农副产品，从而带领山区人民早日脱贫致富，该公司将这100名“乡土直播员”中每天直播时间不少于5小时的评为“网红乡土直播员”，其余的评为“乡土直播达人”，根据实际评选结果得到了下面22列联表： 网红乡土直播员 乡土直播达人 合计
（1）根据列联表判断是否有95%的把握认 男 10 40 50
为“网红乡土直播员”与性别有关？ 女 20 30 50
（2）（理）在“网红乡土直播员”按分层抽样 合计 30 70 100
方法抽取6人，在这6人中选2人作为“乡土直播推广大使”，设被选中的2名“乡土直播推广大使”中男性人数为，求的分布列和期望。
（文）在“网红乡土直播员”按分层抽样方法抽取6人，在这6人中选2人作为“乡土直播推广大使”，设被选中的2名“乡土直播推广大使”，求这俩人中恰有一男一女的概率（2021成都市高三一诊）
附：
（其中n=a+b+c+d）
【解析】
【考点】①22列联表的定义与性质；②两个变量相关的定义与判定的基本方法；③分层抽样的定义与性质；④分层抽样的基本方法；⑤随机变量概率分布列定义与性质；⑥求随机变量概率分布列的基本方法；⑦随机变量数学期望的定义与性质；⑧求随机变量数学期望的基本方法；⑨古典概率的定义与性质；⑩求古典概率的基本方法。
【解题思路】（1）根据22列联表和公式，结合问题条件求出的值就可判断是否有95%的把握为“网红乡土直播员”与性别有关；（2）（理）根据随机变量概率分布列的性质和求随机变量概率分布列的基本方法，结合问题条件就可得到随机变量的分布列，运用随机变量数学期望的性质和求随机变量数学期望的基本方法就可求出随机变量的数学期望。（文）根据古典概率的性质和求古典概率的基本方法就可求出选取的俩人中恰有一男一女的概率。
【详细解答】（1）==4.762>3.841，
有95%的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关；（2）（理）抽取的男性人数为：
6=2（人），女性人数为：6=4（人），随机变量的可能取值为：0，1，2，p（=0）
===，p（=1）= = 0 1 2
= ，p（=2）= = =，随机变量 p
的分布列如表所示，E=0+1+2=。（文）设被选中的2名“乡土直播推广大使”中恰有一男一女的事件为A，抽取的男性人数为：6=2（人），女性人数为：6=4（人），令抽取的2名男性分别为，，抽取的4名女性分别为，，，，从这6人随机抽取2人的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，共15个，从这6人随机抽取2人，恰有一男一女的基本事件有：，，，，，，，共8个，p（A）=，即被选中的2名“乡土直播推广大使”中恰有一男一女的概率为。
『思考问题3』
（1）【典例3】是随机事件概率的计算问题，解答这类问题需要理解随机事件概率的定义，掌握随机事件概率的计算公式与基本方法；
（2）随机事件概率计算的基本方法是：①求出试验发生的总数（或一次试验中可能出现结果的总数）n；②确定某个事件在试验中出现的次数（或在一次试验中某事件包含的结果数） m；③运用公式：P（A）=求出该事件发生的概率。
【典例4】解答下列问题：
1、（理）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A B C D
（文）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）（2021全国高考甲卷）
A 0.3 B 0.5 C 0.6 D 0.8
【解析】
【考点】①排列定义与性质；②排列数计算公式及运用；③古典概率定义与性质；④求古典概率的基本方法。
【解答思路】（理）根据排列的性质和排列数计算公式，结合问题条件分别求出4个1和2个0随机排成一行和4个1和2个0随机排成一行，2个0不相邻的排列数，运用古典概率的性质和求古典概率基本方法求出将4个1和2个0随机排成一行，2个0不相邻的概率就可得出选项。（文）根据排列的性质和排列的基本方法，结合问题条件排出将3个1和2个0排成一行的所有可能的排列，分别求出排列总数与3个1和2个0排成一行的排列中2个0不相邻的排列数，运用古典概率的性质和求古典概率基本方法求出将3个1和2个0随机排成一行，2个0不相邻的概率就可得出选项。
【详细解答】设将4个1和2个0随机排成一行，2个0不相邻的事件为A，将4个1和2个0随机排成一行的排列数为=654321=720，将4个1和2个0随机排成一行，且2个0不相邻的排列数为=43211021=480，p（A）==，C正确，选C。设将3个1和2个0随机排成一行，2个0不相邻的事件为A，将3个1和2个0随机排成一行有：11100，00111，10011，11001，01011，01101，01110，10101，10110，11010共10个，将3个1和2个0随机排成一行，2个0不相邻的排列有：01011，01101，01110，10101，10110，11010共6个， p（A）==0.6，C正确，选C。
2、有两个正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验，用（x，y）表示结果，其中x表示第一颗正四面体玩具出现的点数，y表示第二颗正四面体玩具出现的点数，试写出：
（1）试验的基本事件；
（2）事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件；
（3）事件“出现点数相等”包含的基本事件。
【解析】
【知识点】①基本事件的定义与性质；②确定一个事件包含基本事件数的基本方法。
【解题思路】（1）运用确定一个事件包含基本事件数的基本方法就可求出试验的基本事件；（2）由（1）就可得出“出现点数之和大于3”包含的基本事件；（3）由（1）就可得出“出现点数相等”包含的基本事件。
【详细解答】（1）投掷两个四个面上分别标有数字1，2，3，4的正四面体玩具的试验，用（x，y）表示结果，试验的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共16个；（2）“出现点数之和大于3”包含的基本事件有：（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共13个；（3）“出现点数相等”包含的基本事件有：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）共4个。
3、袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球。
（1）有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看着一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典模型？
（2）若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典模型？
【解析】
【知识点】①基本事件的定义与性质；②确定一个事件包含基本事件数的基本方法；③古典概率的定义与性质；④判断概率是否是古典概率的基本方法。
【解题思路】（1）运用确定一个事件包含基本事件数的基本方法就可求出从中摸出一个球，有多少种不同的摸法，根据判断概率是否是古典概率的基本方法就可得出结论；（2）运用判断概率是否是古典概率的基本方法就可得出结论。
【详细解答】（1）设5个白球分别为，，，，，3个黑球分别为，，，3个红球分别为 , , , 从中摸出一个球的基本事件有：，，，，，，，， , , 共11个，有11种不同的摸法，如果把每个球的编号看着一个基本事件建立概率模型，该模型是古典模型；（2）若按球的颜色为划分基本事件的依据，有3个基本事件，以这些基本事件建立概率模型，该模型不是古典模型。
『思考问题4』
（1）【典例4】是古典概率的计算问题，解答这类问题需要理解基本事件，古典概率的定义，掌握确定一个事件所含基本事件个数和判断一个概率模型是不是古典概率的基本方法；
（2）基本事件具有的特征是：①任何两个基本事件是互斥的，②任何事件（不可能事件除外）都可以表示成几个基本事件的和；
（3）古典概率具有的特征是：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，②每个基本事件出现的可能性相等；
（4）求古典概率的基本方法是：①求出试验发生的总数（或一次试验中可能出现结果的总数）n；②确定某个事件在试验中出现的次数（或在一次试验中某事件包含的结果数） m；③运用公式：P（A）=求出该事件发生的概率。
【典例5】解答下列问题：
1、在区间（0，）随机取1个数，则取到的数小于的概率为（ ）（2021全国高考乙卷文）
A B C D
【解析】
【考点】①几何概率定义与性质；②求几何概率的基本方法。
【解答思路】根据几何概率的性质，运用求几何概率的基本方法，结合问题条件求出在区间（0，）随机取1个数，取到的数小于的概率就可得出选项。
【详细解答】设在区间（0，）随机取1个数，取到的数小于的事件为A，区间（0，）的长度为个单位长度，取到的数小于的长度为个单位长度，p（A）==，B正确，选B。
2、如图所示的矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数
得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积
为（ ）
A B C 10 D 不能估计
【解析】
【知识点】①几何概率的定义与性质；②求几何概率的基本方法。
【解题思路】运用几何概率的性质和基本求法，结合问题条件求出黄豆落在阴影部分的概率，从而得出阴影部分的面积就可得出选项。
【详细解答】设黄豆落在阴影部分的事件为A，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，p（A）==，=52=10， p（A）=，
=10=，A正确，选A。
3、由不等式组 x0，确定的平面区域为，由不等式组 x+y1确定的平面区域为， y0， x+y-2，若在中随机取
y-x-20，一点，则该点恰好在内的概率为 。
【解析】
【知识点】①几何概率的定义与性质；②求几何概率的基本方法。
【解题思路】运用几何概率的性质和基本求法，结合问题条件就可求出该点恰好在内的概率。
【详细解答】设该点恰好在内的事件为A，作出平面 y
区域为，平面区域为如图所示， = 2 2
=2，= - =2-=，
p（A）===。
4、在正方形中随机撒一把豆子，求豆子落在正方形内切圆上的概率；
【解析】
【知识点】①几何概率的定义与性质；②求几何概率的基本方法。
【解题思路】运用几何概率的性质和基本求法，结合问题条件就可求出豆子落在正方形内切圆上的概率。
【详细解答】设豆子落正方形内切圆上的事件为A，正方形的边长为1，=11=1，
==，p（A）==。
5、假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6.30—7.30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7.00—8.00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？
【解析】
【知识点】①几何概率的定义与性质；②求几何概率的基本方法。
【解题思路】运用几何概率的性质和基本求法，结合问题条件就可求出父亲在离开家前能得到报纸的概率。
【详细解答】根据题意作出图像如图所示，图中
阴影部分的区域父亲在离开家前能得到报纸，空白 7.30
部分区域父亲在离开家前不能得到报纸，p（A） 7.00
=，即父亲在离开家前能得到报纸的概率是。 7.00 7.30 8.00
6、已知正三棱锥S—ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得＜的概率是（ ）
A B C D
【解析】
【知识点】①几何概率的定义与性质；②求几何概率的基本方法。
【解题思路】运用几何概率的性质和基本求法，结合问题条件求出在正三棱锥内任取一点P，使得＜的概率，从而得出选项。
【详细解答】设在正三棱锥内任取一点P，使得＜的事件为A， ＜，p（A）=＜，D正确，选D。
7、一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，则称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（ ）
A B C D
【解析】
【知识点】①几何概率的定义与性质；②求几何概率的基本方法。
【解题思路】运用几何概率的性质和基本求法，结合问题条件求出蜜蜂“安全飞行”的概率从而得出选项。
【详细解答】设蜜蜂“安全飞行”的事件为A， =333=27，=111=1，
p（A）==，C正确，选C。
『思考问题5』
（1）【典例5】是求几何概率的问题，解答这类问题需要理解几何概率的定义，注意几何概率的特点，掌握几何概率计算的基本方法；
（2）求几何概率的基本方法是：①求出整体几何的度量（长度，面积或体积）；②求出某事件包含几何的度量（长度，面积或体积）； ③运用公式：P（A）= 求出该事件的几何概率。
【典例6】解答下列问题：
1、的展开式中的系数是 （用数字作答）（成都市2021高三一诊理）
【解析】
【考点】①二项式定理及运用；②二项式展开式的通项公式及运用。
【解题思路】根据二项式定理和二项式展开式的通项公式，得到的展开式中的项就可求出展开式中的系数。
【详细解答】= （）= ，=-1，r=3， 的展开式中的系数为=-35。
2、若的展开式中的系数为，则实数a的值为 （成都市2021高三三诊理）
【解析】
【考点】①二项式定理及运用；②二项展开式通项公式及运用。
【解题思路】根据二项式定理和二项展开式的通项公式，结合问题条件得到关于a的方程，求解方程就可求出实数a的值。
【详细解答】的通项公式为：==，当9-2r=3，即
r=3时，=84=，==，即a=。
3、的展开式中的系数为（ ）（2020全国高考新课标I理）
A 5 B 10 C 15 D 20
【解析】
【考点】①二项式定理及运用；②二项式展开式的通项公式及运用；③确定二项式展开式某项系数的基本方法。
【解答思路】根据二项式定理和二项式展开式的通项公式，运用确定二项式展开式某项系数的基本方法，结合问题条件求出项的系数就可得出选项。
【详细解答】=，的展开式中的项的系数，是的展开式中，y两项的系数之和，的展开式中的项的系数为+=10+5=15，C正确，选C。
4、的展开式中常数项是 （用数字作答）（2020全国高考新课标III理）
【解析】
【考点】①二项式定理及运用；②二项式展开式的通项公式及运用；③确定二项式展开式某项系数的基本方法。
【解答思路】根据二项式定理和二项式展开式的通项公式，结合问题条件确定常数项的项，运用确定二项式展开式某项系数的基本方法就可求出、的展开式中常数项。
【详细解答】 = = ，当12-3r=0时，r=4，
的展开式中常数项是=1516=240。
『思考问题6』
（1）【问题6】是二项式定理及运用的问题，解答这类问题需要理解二项式定理，掌握二项展开式通项公式；
（2）解答二项式定理及运用问题的基本方法是：①求出问题中二项展开式的通项公式
=；②根据问题条件确定通项公式中r的取值；③将r的值代入二项展开式的通项公式=求出问题的答案。
（3）在解答二项式定理及运用的问题时，应该注意二项系数与项的系数具有不同的含义：在二项式的展开式中，是第k+1项，这里k+1是项数，是项；其中是该项的二项系数，它与a，b无关；项的系数是指化简后除字母以外的数字。