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题型解读三 因式分解之完全平方公式法
打牢基础 重在理解
1.我们把形如，的式子叫做完全平方式.
a +2ab+b 和a -2ab+b 这这样的式子叫作完全平方式.
2.完全平方式a2±2ab＋b2的特点：
(1)必须是三项式（或可以看成三项的）；
(2)有两个同号的数或式的平方；
(3)中间有两底数之积的±2倍.
首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
3. 完全平方公式: 即，.
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
拓展知识：立方和与立方差公式
两个数的立方和(或者差)等于这两个数的和(或者差)乘以它们的平方和与它们积的差(或者和)．
a3+b3＝（a+b）（a2-ab+b2）
a3﹣b3＝（a-b）（a2+ab+b2）
需补充的公式：
（1）
（2）
（3）
典例引领 学会方法
【例题1】（2021辽宁本溪）分解因式：2x2﹣4x+2＝ ．
【答案】2（x﹣1）2．
【解析】先提取公因数2，再利用完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．21世纪教育网版权所有
2x2﹣4x+2，
＝2（x2﹣2x+1），
＝2（x﹣1）2．
【例题2】因式分解：
【答案】
【解析】利用完全平方公式进行分解因式即可得答案．
=
=．
强化精炼 提升本领
一、选择题
1.运用公式a2+2ab+b2＝（a+b）2直接对整式4x2+4x+1进行因式分解，公式中的a可以是（ ）
A．2x2 B．4x2 C．2x D．4x
【答案】C
【解析】直接利用完全平方公式得出答案．
∵4x2+4x+1
＝（2x）2+2×2x+1
＝（2x+1）2，
∴对上式进行因式分解，公式中的a可以是：2x．
2.如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( )
A . 11 B. 9 C. -11 D. -9 www.21-cn-jy.com
【答案】B
【解析】根据完全平方式的特征，中间项-6x=2x×(-3),故可知N=(-3)2=9.
3．下列分解因式正确的一项是（ ）
A．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3） B．2xy+4x＝2（xy+2x）
C．x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2 D．x2+y2＝（x+y）2
【答案】A
【解析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
A．原式＝（x+3）（x﹣3），符合题意；
B．原式＝2x（y+2），不符合题意；
C．原式不能分解，不符合题意；
D．原式不能分解，不符合题意．
4．下列由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2
B．x2﹣1＝x（x）
C．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x
D．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
【答案】A
【解析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
A．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，是因式分解，故本选项符合题意；
B．x2﹣1＝x（x），是分式，所以不是因式分解，故本选项不符合题意；
C．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；2·1·c·n·j·y
D．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4，是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意．
5．下列从左边到右边的变形，是正确的因式分解的是（ ）
A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 B．x2﹣4y2＝（x+4y）（x﹣4y）
C．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2 D．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
【答案】C
【解析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
A．不是因式分解，故本选项不符合题意；
B．两边不相等，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C．是因式分解，故本选项符合题意；
D．不是因式分解，故本选项不符合题意．
6.下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（ ）
A．x2 ＋1 B．x2＋2x－1
C．x2＋x＋1 D．x2＋4x＋4
【答案】D
【解析】A．不符合完全平方公式的结构，不能用完全平方公式分解因式；
B．不符合完全平方公式的结构，不能用完全平方公式分解因式；
C．不符合完全平方公式的结构，不能完全平方公式分解因式；
D．符合完全平方公式的结构，能用完全平方公式分解因式。
7.把多项式x2﹣6x+9分解因式，结果正确的是（ ）
A．（x﹣3）2 B．（x﹣9）2
C．（x+3）（x﹣3） D．（x+9）（x﹣9）
【答案】A
【解析】原式利用完全平方公式分解即可．
x2﹣6x+9=（x﹣3）2
8．下列各选项中因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】选项A是平方差公式应该是（x+1 ( http: / / www.21cnjy.com ))(x-1)，所以错误；选项B公因式应该是a，所以错误；选项C提取公因式-2y后，括号内各项都要变号，所以错误；只有选项D是正确的。
二、填空题
1．（2021湖北黄石）分解因式：a3﹣2a2+a＝ ．
【答案】a（a﹣1）2．
【解析】此多项式有公因式，应先提取公因式a，再对余下的多项式进行观察，有3项，可利用完全平方公式继续分解．21教育网
a3﹣2a2+a
＝a（a2﹣2a+1）
＝a（a﹣1）2．
2．（2021江苏连云港）分解因式：9x2+6x+1＝ ．
【答案】（3x+1）2
【解析】原式利用完全平方公式分解即可．
原式＝（3x+1）2
3．（2021苏州）因式分解：x2﹣2x+1＝ ．
【答案】（x﹣1）2
【解析】原式利用完全平方公式分解即可．
原式＝（x﹣1）2．
4．（2021江苏盐城）分解因式：a2+2a+1＝ ．
【答案】（a+1）2．
【解析】符合完全平方公式的结构特点，利用完全平方公式分解因式即可．
解：a2+2a+1＝（a+1）2．
5．（2021内蒙古乌兰察布）因式分解：+ax+a＝ ．
【答案】a（x+2）2．
【解析】先提公因式a，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
原式＝a（x2+4x+4）＝a（x+2）2。
6．（2021山东东营）因式分解：4a2b﹣4ab+b＝ ．
【答案】b（2a﹣1）2．
【解析】原式提取b，再利用完全平方公式分解即可．
原式＝b（4a2﹣4a+1）
＝b（2a﹣1）2．
7．（2021山东菏泽）因式分解：﹣a3+2a2﹣a＝ ．
【答案】﹣a（a﹣1）2．
【解析】先提公因式﹣a，再用完全平方式分解因式即可．
原式＝﹣a（a2﹣2a+1）
＝﹣a（a﹣1）2．
8．（2021陕西）分解因式x3+6x2+9x＝ ．
【答案】x（x+3）2
【解析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
原式＝x（9+6x+x5）
＝x（x+3）2．
9.如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________.
【答案】
【解析】∵16=(±4)2，故-m=2×(±4)，m=±8.
10．因式分解：__________．
【答案】
【解析】本题考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题的关键．在分解因式时，要注意分解彻底．21·cn·jy·com
，故答案为：．
11．（2020 哈尔滨）把多项式m2n+6mn+9n分解因式的结果是 ．
【答案】n（m+3）2．
【解析】直接提取公因式n，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
原式＝n（m2+6m+9）
＝n（m+3）2．
12.分解因式：= ．
【答案】a（a﹣3b）2．
【解析】先提取公因式，再用完全平方公式。
a3﹣6a2b+9ab2
＝a（a2﹣6ab+9b2）
＝a（a﹣3b）2．
13.因式分解：x3﹣2x2y+xy2＝ ．
【答案】x（x﹣y）2
【解析】提公因式法与公式法的综合运用．原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
原式＝x（x2﹣2xy+y2）＝x（x﹣y）2
14．（2020 无锡）因式分解：ab2﹣2ab+a＝ ．
【答案】a（b﹣1）2．
【解析】原式提取a，再运用完全平方公式分解即可．
原式＝a（b2﹣2b+1）＝a（b﹣1）2；
15．（2020 营口）ax2﹣2axy+ay2＝ ．
【答案】a（x﹣y）2．
【解析】ax2﹣2axy+ay2
＝a（x2﹣2xy+y2）
＝a（x﹣y）2．
故答案为：a（x﹣y）2．
16．（2020 自贡）分解因式：3a2﹣6ab+3b2＝ ．
【答案】3（a﹣b）2．
【解析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
3a2﹣6ab+3b2
＝3（a2﹣2ab+b2）
＝3（a﹣b）2．
17.分解因式：2x2－2x＋＝ .
【答案】
【解析】先提取公因式2，再根据完全平方公式进行二次分解.
2x2－2x＋＝2(x2－x＋)＝.
18. 分解因式：3a3-6a2+3a= ．
【答案】3a（a-1）2
【解析】原式=3a（a2-2a+1）=3a（a-1）2.
19.因式分解：x3﹣2x2y+xy2＝ ．
【答案】x（x﹣y）2
【解析】提公因式法与公式法的综合运用
原式＝x（x2﹣2xy+y2）＝x（x﹣y）2，故答案为：x（x﹣y）2
20．若多项式可以因式分解成，那么a=_____．
【答案】1
【解析】把展开后合并，根据对应系数相等即可得出关于的方程，求出即可．
，
即，，解得：．故答案为：1．
三、解答题
1.因式分解：
【答案】
【解析】直接利用完全平方公式进行分解即可．
=
=．
2．将下列多项式因式分解：
（1）2x2﹣4x+2；
（2）x2（x﹣2）﹣16（x﹣2）．
【答案】见解析
【解析】（1）先提公因式2，再用完全平方公式即可；
原式＝2（x2﹣2x+1）＝2（x﹣1）2；
（2）先提公因式（x﹣2），再用平方差公式即可．
原式＝（x﹣2）（x2﹣16）＝（x﹣2）（x+4）（x﹣4）．
3．把下列各式分解因式：
（1）25（a+b）2﹣9（a﹣b）2；
（2）16x4﹣8x2y2+y4．
【答案】见解析。
【解析】（1）直接利用平方差公式分解因式得出答案；
原式＝[5（a+b）﹣3（a﹣b）][5（a+b）+3（a﹣b）]
＝（8a+2b）（2a+8b）
＝4（4a+b）（a+4b）；
（2）直接利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式得出答案．
原式＝（4x2﹣y2）2＝（2x+y）2（2x﹣y）2．
4．分解因式：﹣2m3+16m2﹣32m；
【答案】见解析。
【解析】直接提取公因式﹣2m，再利用完全平方公式分解因式即可；
﹣2m3+16m2﹣32m
＝﹣2m（m2﹣8m+16）
＝﹣2m（m﹣4）2
5．因式分解（a﹣b）2+4ab；
【答案】（a+b）2
【解析】先根据完全平方公式展开，再根据完全平方公式分解因式即可。
（a﹣b）2+4ab
＝a2﹣2ab+b2+4ab
＝a2+2ab+b2
＝（a+b）2
6.分解因式：
（1）16x2+24x+9； （2）-x2+4xy-4y2.
【答案】见解析
【解析】 (1)16x2+ 24x +9 21cnjy.com
= (4x)2 + 2·4x·3 + (3)2
= (4x + 3)2；
(2)-x2+ 4xy-4y2
=-(x2-4xy+4y2)
=-(x-2y)2.
7.把下列各式分解因式：
(1)3ax2+6axy+3ay2 ；(2)(a+b)2-12(a+b)+36.
【答案】见解析
【解析】(1)中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式；
原式=3a（x2+2xy+y2）
=3a（x+y）2；
(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36.
原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62
=(a+b-6)2.
8.已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．
【答案】见解析
【解析】此类问题一般情况是通过配方将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质解答问题．
几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0.
∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，
∴(x－2)2＋(y－5)2＝0.
∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0，
∴x－2＝0，y－5＝0，
∴x＝2，y＝5，
∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2
＝112＝121.
9．请阅读下列材料,并完成相应的任务．
( http: / / www.21cnjy.com )
任务:（1）利用上述方法推导立方和公式 (从左往右推导)；
（2）已知,求的值．
【答案】（1）推导见解析；（2），．
【解析】（1）应用添项办法进行因式分解可得:
（2）根据配方法和立方差公式可得.
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