2021—2022学年人教版八年级数学下册18.2.3 正方形 练习题（Word版含简答）
文档属性
| 名称 | 2021—2022学年人教版八年级数学下册18.2.3 正方形 练习题（Word版含简答） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 139.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-11 10:18:39 | ||
图片预览
文档简介
18.2.3 正方形
一、选择题
1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是 ( )
A.对角线相等 B.对角线互相垂直
C.对角线互相平分 D.每条对角线平分一组对角
2.要使矩形ABCD成为正方形,需要添加的条件是 ( )
A.AB=BC B.AD=BC C.AB=CD D.AC=BD
3.正方形的一条对角线长为4,则这个正方形的面积是 ( )
A.8 B.4 C.8 D.16
4.如图1,正方形ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,点E在BD上,且BE=CD,则∠BEC的度数为 ( )
图1
A.22.5° B.60° C.67.5° D.75°
5.如图2,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,添加下列一个条件,能使菱形ABCD成为正方形的是 ( )
图2
A.BD=AB B.AC=AD C.∠ABC=90° D.OD=AC
6.如果要证明平行四边形ABCD为正方形,那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上,进一步证明 ( )
A.AC与BD互相垂直平分 B.∠A=∠B且AC=BD
C.AB=AD且AC=BD D.AB=AD且AC⊥BD
7.如图3,在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=3,则以AC为边的正方形ACEF的面积为 ( )
图3
A.9 B.12 C.15 D.20
8.如图4,四边形ABCD是正方形,△CDE是等边三角形,连接AE,则∠AED的度数为 ( )
图4
A.10° B.15° C.20° D.30°
9.(2021玉林)一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形:
图5
a.两组对边分别相等;b.一组对边平行且相等;c.一组邻边相等;d.一个角是直角.
顺次添加的条件:①a→c→d;②b→d→c;③a→b→c.
其中正确的是 ( )
A.仅① B.仅③ C.①② D.②③
二、填空题
10.两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是 .
11.如图6,在边长为2的正方形ABCD中,P是对角线AC上一点,PE⊥AB于点E,PF⊥BC于点F,则PE+PF= .
图6
12.如图7,E为正方形ABCD的边BC延长线上一点,且CE=BD,AE交DC于点F,则∠AFC= °.
图7
三、解答题
13.如图8所示,在矩形ABCD中,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,BF∥CE,CF∥BE.
求证:四边形BECF是正方形.
图8
14.如图9,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是OC上一点,连接BE,过点A作AM⊥BE,垂足为M,AM与BD相交于点F.求证:OE=OF.
图9
15.阅读下面的例题及点拨,并解决问题:
例题:如图10①,在等边三角形ABC中,M是BC边上一点(不含端点B,C),N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点,且AM=MN.求证:∠AMN=60°.
点拨:如图②,作∠CBE=60°,BE与NC的延长线相交于点E,得等边三角形BEC,连接EM.易证:△ABM≌△EBM(SAS),可得AM=EM,∠1=∠2.又AM=MN,则EM=MN,可得∠3=∠4.由∠3+∠1=∠4+∠5=60°,进一步可得∠1=∠2=∠5.又因为∠2+∠6=120°,所以∠5+∠6=120°,故∠AMN=60°.
问题:如图③,在正方形A1B1C1D1中,M1是B1C1边上一点(不含端点B1,C1),N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点,且A1M1=M1N1.求证:∠A1M1N1=90°.
图10
答案
1.C 2.A 3.A
4.C [解析] ∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=CD,∠DBC=45°.
∵BE=CD,∴BE=BC,
∴∠BEC=∠BCE=×(180°-45°)=67.5°.
5.C 6.C 7.A
8.B [解析] ∵四边形ABCD是正方形,
∴DA=DC,∠ADC=90°.
∵△CDE是等边三角形,
∴DC=DE,∠CDE=60°,
∴DA=DE,∠ADE=150°,
∴∠AED=∠DAE=×(180°-150°)=15°.
9.C [解析] 两组对边分别相等的四边形是平行四边形,加上一组邻边相等,得到的是菱形,再加上一个角是直角,得到的是正方形,所以①正确;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,加上一个角是直角,得到的是矩形,再加上一组邻边相等,得到的是正方形,所以②正确;
两组对边分别相等的四边形是平行四边形,加上一组对边平行且相等,得到的仍是平行四边形,再加上一组邻边相等,得到的是菱形,所以③不正确.
10.正方形
11.2 [解析] ∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=90°,∠BAC=∠BCA=45°.
∵PE⊥AB于点E,PF⊥BC于点F,
∴四边形PEBF为矩形,△AEP和△PFC为等腰直角三角形,
∴PF=BE,PE=AE,
∴PE+PF=AE+BE=2.
12.112.5 [解析] 连接AC.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AC=BD,∠ECF=90°.
∵CE=BD,∴CE=AC,
∴∠E=∠CAE.
∵AC是正方形ABCD的对角线,
∴∠ACB=45°,
∴∠E+∠CAE=45°,
∴∠E=×45°=22.5°,
∴∠AFC=∠E+∠ECF=22.5°+90°=112.5°.
13.证明:∵BF∥CE,CF∥BE,
∴四边形BECF是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=∠BCD=90°.
∵BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,
∴∠EBC=∠ECB=45°,
∴∠E=90°且BE=CE,
∴平行四边形BECF是正方形.
14.证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,OA=OB,∴∠AOF=∠BOE=90°.
又∵AM⊥BE,
∴∠FAO+∠AEB=∠EBO+∠AEB=90°,∴∠FAO=∠EBO,
∴△AOF≌△BOE,∴OE=OF.
15.证明:如图,延长N1C1交A1B1的延长线于点E1,连接E1M1.
∵四边形A1B1C1D1为正方形,
∴A1B1=B1C1,∠A1B1C1=∠E1B1C1=∠D1C1H1=90°.
∵C1N1平分∠D1C1H1,
∴∠N1C1H1=45°,
∴∠B1C1E1=∠N1C1H1=45°,
∴∠B1E1C1=45°,
∴E1B1=B1C1=A1B1.
在△A1B1M1和△E1B1M1中,
∴△A1B1M1≌△E1B1M1(SAS),
∴A1M1=E1M1,∠1=∠2.
∵A1M1=M1N1,
∴E1M1=M1N1,
∴∠3=∠4.
∵∠N1C1H1=∠4+∠5=45°,∠B1E1C1=∠1+∠3=45°,
∴∠1+∠3=∠4+∠5,
∴∠1=∠2=∠5.
∵∠2+∠6=90°,
∴∠5+∠6=90°,
∴∠A1M1N1=180°-90°=90°.
一、选择题
1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是 ( )
A.对角线相等 B.对角线互相垂直
C.对角线互相平分 D.每条对角线平分一组对角
2.要使矩形ABCD成为正方形,需要添加的条件是 ( )
A.AB=BC B.AD=BC C.AB=CD D.AC=BD
3.正方形的一条对角线长为4,则这个正方形的面积是 ( )
A.8 B.4 C.8 D.16
4.如图1,正方形ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,点E在BD上,且BE=CD,则∠BEC的度数为 ( )
图1
A.22.5° B.60° C.67.5° D.75°
5.如图2,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,添加下列一个条件,能使菱形ABCD成为正方形的是 ( )
图2
A.BD=AB B.AC=AD C.∠ABC=90° D.OD=AC
6.如果要证明平行四边形ABCD为正方形,那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上,进一步证明 ( )
A.AC与BD互相垂直平分 B.∠A=∠B且AC=BD
C.AB=AD且AC=BD D.AB=AD且AC⊥BD
7.如图3,在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=3,则以AC为边的正方形ACEF的面积为 ( )
图3
A.9 B.12 C.15 D.20
8.如图4,四边形ABCD是正方形,△CDE是等边三角形,连接AE,则∠AED的度数为 ( )
图4
A.10° B.15° C.20° D.30°
9.(2021玉林)一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形:
图5
a.两组对边分别相等;b.一组对边平行且相等;c.一组邻边相等;d.一个角是直角.
顺次添加的条件:①a→c→d;②b→d→c;③a→b→c.
其中正确的是 ( )
A.仅① B.仅③ C.①② D.②③
二、填空题
10.两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是 .
11.如图6,在边长为2的正方形ABCD中,P是对角线AC上一点,PE⊥AB于点E,PF⊥BC于点F,则PE+PF= .
图6
12.如图7,E为正方形ABCD的边BC延长线上一点,且CE=BD,AE交DC于点F,则∠AFC= °.
图7
三、解答题
13.如图8所示,在矩形ABCD中,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,BF∥CE,CF∥BE.
求证:四边形BECF是正方形.
图8
14.如图9,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是OC上一点,连接BE,过点A作AM⊥BE,垂足为M,AM与BD相交于点F.求证:OE=OF.
图9
15.阅读下面的例题及点拨,并解决问题:
例题:如图10①,在等边三角形ABC中,M是BC边上一点(不含端点B,C),N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点,且AM=MN.求证:∠AMN=60°.
点拨:如图②,作∠CBE=60°,BE与NC的延长线相交于点E,得等边三角形BEC,连接EM.易证:△ABM≌△EBM(SAS),可得AM=EM,∠1=∠2.又AM=MN,则EM=MN,可得∠3=∠4.由∠3+∠1=∠4+∠5=60°,进一步可得∠1=∠2=∠5.又因为∠2+∠6=120°,所以∠5+∠6=120°,故∠AMN=60°.
问题:如图③,在正方形A1B1C1D1中,M1是B1C1边上一点(不含端点B1,C1),N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点,且A1M1=M1N1.求证:∠A1M1N1=90°.
图10
答案
1.C 2.A 3.A
4.C [解析] ∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=CD,∠DBC=45°.
∵BE=CD,∴BE=BC,
∴∠BEC=∠BCE=×(180°-45°)=67.5°.
5.C 6.C 7.A
8.B [解析] ∵四边形ABCD是正方形,
∴DA=DC,∠ADC=90°.
∵△CDE是等边三角形,
∴DC=DE,∠CDE=60°,
∴DA=DE,∠ADE=150°,
∴∠AED=∠DAE=×(180°-150°)=15°.
9.C [解析] 两组对边分别相等的四边形是平行四边形,加上一组邻边相等,得到的是菱形,再加上一个角是直角,得到的是正方形,所以①正确;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,加上一个角是直角,得到的是矩形,再加上一组邻边相等,得到的是正方形,所以②正确;
两组对边分别相等的四边形是平行四边形,加上一组对边平行且相等,得到的仍是平行四边形,再加上一组邻边相等,得到的是菱形,所以③不正确.
10.正方形
11.2 [解析] ∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=90°,∠BAC=∠BCA=45°.
∵PE⊥AB于点E,PF⊥BC于点F,
∴四边形PEBF为矩形,△AEP和△PFC为等腰直角三角形,
∴PF=BE,PE=AE,
∴PE+PF=AE+BE=2.
12.112.5 [解析] 连接AC.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AC=BD,∠ECF=90°.
∵CE=BD,∴CE=AC,
∴∠E=∠CAE.
∵AC是正方形ABCD的对角线,
∴∠ACB=45°,
∴∠E+∠CAE=45°,
∴∠E=×45°=22.5°,
∴∠AFC=∠E+∠ECF=22.5°+90°=112.5°.
13.证明:∵BF∥CE,CF∥BE,
∴四边形BECF是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=∠BCD=90°.
∵BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,
∴∠EBC=∠ECB=45°,
∴∠E=90°且BE=CE,
∴平行四边形BECF是正方形.
14.证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,OA=OB,∴∠AOF=∠BOE=90°.
又∵AM⊥BE,
∴∠FAO+∠AEB=∠EBO+∠AEB=90°,∴∠FAO=∠EBO,
∴△AOF≌△BOE,∴OE=OF.
15.证明:如图,延长N1C1交A1B1的延长线于点E1,连接E1M1.
∵四边形A1B1C1D1为正方形,
∴A1B1=B1C1,∠A1B1C1=∠E1B1C1=∠D1C1H1=90°.
∵C1N1平分∠D1C1H1,
∴∠N1C1H1=45°,
∴∠B1C1E1=∠N1C1H1=45°,
∴∠B1E1C1=45°,
∴E1B1=B1C1=A1B1.
在△A1B1M1和△E1B1M1中,
∴△A1B1M1≌△E1B1M1(SAS),
∴A1M1=E1M1,∠1=∠2.
∵A1M1=M1N1,
∴E1M1=M1N1,
∴∠3=∠4.
∵∠N1C1H1=∠4+∠5=45°,∠B1E1C1=∠1+∠3=45°,
∴∠1+∠3=∠4+∠5,
∴∠1=∠2=∠5.
∵∠2+∠6=90°,
∴∠5+∠6=90°,
∴∠A1M1N1=180°-90°=90°.