人教A版2019必修第一册 4.4对数函数及其性质专项练习题 （word版含答案解析）

4.4对数函数及其性质专项练习题
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．下列函数是对数函数的是（　　）
A．y＝log3（x+1）
B．y＝loga（2x）（a＞0，且a≠1）
C．y＝lnx
D．
2．函数y的定义域为（　　）
A．（0，+∞） B．[0，+∞） C．（﹣1，+∞） D．[﹣1，+∞）
3．函数y＝2+log2x（x≥1）的值域为（　　）
A．（2，+∞） B．（﹣∞，2） C．[2，+∞） D．[3，+∞）
4．已知，b＝log32，，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a
5．当a＞1时，在同一坐标系中，函数y＝ax与y＝logax的图象是（　　）
A． B．
C． D．
6．“x＜﹣2”是“ln（x+3）＜0”的（　　）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．函数f（x）的单调递增区间是（　　）
A． B． C． D．
8．若函数f（x）＝loga（x2﹣ax+5），（a＞0，a≠1）满足对任意的x1，x2，当x1＜x2时f（x1）﹣f（x2）＞0，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＞1 B．0＜a＜2 C．0＜a＜1 D．1＜a＜2
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．设a＝50.6，b＝0.65，c＝log0.60.5，d＝log50.6，则在a，b，c，d这4个数中（　　）
A．最大数为a B．最小数为b C．最大数为c D．最小数为d
10．已知函数f（x）＝|lgx|，则（　　）
A．f（x）是偶函数 B．f（x）值域为[0，+∞）
C．f（x）在[0，+∞）上递增 D．f（x）有一个零点
11．已知logb2021＞loga2021＞0，则下列结论正确的是（　　）
A．0.2a＜0.2b B．
C．lnb﹣b＞lna﹣a D．若m＞0，则
12．如果函数f（x）＝loga|x﹣1|在（0，1）上是减函数，那么（　　）
A．f（x）在（1，+∞）上递增且无最大值
B．f（x）在（1，+∞）递减且无最小值
C．f（x）在定义域内是偶函数
D．f（x）的图象关于直线x＝1对称
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．设a＝log32，b＝20.2，c＝log20.2，则a，b，c从小到大的顺序为 　 　．
14．已知函数f（x）＝|ln（x+1）﹣1|，若a＞b且f（a）＝f（b），则a+b的取值范围是 　 ．
15．已知函数f（x）＝log2（x+1），若f（m2+2）＜f（3m），则实数m的取值范围是 　 　．
16．已知函数f（x）＝loga（2x﹣a）在区间上恒有f（x）＞0，则实数a的取值范围为 　 　．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．设，比校a、b、c的大小，并说明理由．
18．已知函数f（x）＝log2（x+1）﹣2．
（1）若f（x）＞0，求x的取值范围．
（2）若x∈（﹣1，3]，求f（x）的值域．
19．已知函数f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）在区间上的最大值为2．
（1）求a的值；
（2）如果0＜a＜1，求使f（f（x）﹣2）＞0成立的x的取值范围．
20．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数，单位是m/s，其中O表示鱼的耗氧量的单位数．
（1）当一条鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？
（2）某条鱼想把游速提高1m/s，那么它的耗氧量的单位数将如何变化？
21．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f（x）（﹣x+1）
（1）求f（3）+f（﹣1）；
（2）求函数f（x）的解析式；
（3）若f（a﹣1）＜﹣1，求实数a的取值范围．
22．如图，已知过原点O的直线与函数y＝log8x的图像交于A，B两点，分别过点A，B作y轴的平行线与函数y＝log2x的图像交于C，D两点．
（1）证明O，C，D三点在同一条直线上；
（2）当BC∥x轴时，求A点的坐标．
4.4对数函数及其性质专项练习题-参考答案
1、[分析]：根据对数函数的定义即可得出．
解：根据对数函数的定义可得：只有y＝lnx为对数函数．
故选：C．
2、[分析]：根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可．
解：由题意得：
，解得：x＞0，
故选：A．
3、[分析]：根据函数y＝2+log2x可知其在[1，+∞）上单调递增，利用函数的单调性求得，当x＝1时，y有最小值2，从而求得函数的值域．
解：∵函数y＝2+log2x在[1，+∞）上单调递增，
∴当x＝1时，y有最小值2，
即函数y＝2+log2x（x≥1）的值域为[2，+∞）．
故选：C．
4、[分析]：利用对数的性质，判断3个数值的大小即可．
解：0，b＝log32∈（0，1），1，
所以a＜b＜c．
故选：A．
5、[分析]：根据底数与指数（对数）函数单调性即可判断．
解：a＞1时，函数y＝ax与y＝logax的均为增函数，
故选：B．
6、[分析]：先求出对数不等式的解，再根据充分必要条件的定义即可判断．
解：ln（x+3）＜0，则0＜x+3＜1，即﹣3＜x＜﹣2，
∴“x＜﹣2”是“ln（x+3）＜0”的必要不充分条件，
故选：B．
7、[分析]：先根据对数函数的真数大于零求定义域，再把复合函数分成二次函数和对数函数，分别在定义域内判断两个基本初等函数的单调性，再由“同增异减”求原函数的递增区间
解：要使函数有意义，则6+x﹣2x2＞0，解得x＜2，故函数的定义域是（，2）
令t＝﹣2x2+x﹣6则函数t在（，）上递增，在[，2）上递减，
又因函数y在定义域上单调递减，
故由复合函数的单调性知y（6+x﹣2x2）的单调递增区间是[，2）．
故选：B．
8、[分析]：对任意的x1，x2，当x1＜x2时f（x1）﹣f（x2）＞0，转化成函数f（x）在（﹣∞，]上单调递减，然后根据符合函数的单调性的性质建立关系式，解之即可求出所求．
解：对任意的x1，x2，当x1＜x2时f（x1）﹣f（x2）＞0，实质上就是“函数单调递减”的“伪装”，同时还隐含了“f（x）有意义”．
事实上由于g（x）＝x2﹣ax+5在x时递减，
从而，由此得a的取值范围为（1，2），
故选：D．
9、[分析]：利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
解：∵a＝50.6＞50.5＞40.5＝2，
0＜b＝0.65＜0.60＝1，
1＝log0.60.6＜c＝log0.60.5＜log0.60.36＝2，
d＝log50.6＜log51＝0，
∴在a，b，c，d这4个数中最大的为a，最小的为d．
故选：AD．
10、[分析]：可画出函数f（x）的图象，然后根据图象即可判断每个选项的正误．
解：可画出f（x）＝|lgx|的图象如下图所示：
根据图象可看出f（x）的值域为[0，+∞），f（x）有一个零点．
故选：BD．
11、[分析]：推导出a＞b＞1，从而0.2a＜0.2b，，；设y＝lnx﹣x，x＞1，则y′0，从而y＝lnx﹣x，x＞1是减函数，进而lnb﹣b＞lna﹣a；再利用作差数判断D．
解：∵logb2021＞loga2021＞0，
∴，
∴log2021a＞log2021b＞0，
∴a＞b＞1，
对于A，∵a＞b＞1，∴0.2a＜0.2b，故A正确；
对于B，∵a＞b＞1，∴，，故B错误；
对于C，设y＝lnx﹣x，x＞1，则y′0，∴y＝lnx﹣x，x＞1是减函数，
∵a＞b＞1，∴lnb﹣b＞lna﹣a，故C正确；
对于D，∵a＞b＞1，m＞0，
∴0，
∴若m＞0，则，故D错误．
故选：AC．
12、[分析]：利用复合函数的单调性确定a的取值范围，然后再利用复合函数的单调性判断选项A，B即可，利用定义域即可判断选项C，由f（2﹣x）＝f（x），即可判断选项D．
解：因为函数f（x）＝loga|x﹣1|在（0，1）上是减函数，
所以f（x）＝loga（1﹣x）在（0，1）上为减函数，
而y＝1﹣x是减函数，
故a＞1，
所以当x＞1时，f（x）＝loga（x﹣1），y＝x﹣1是增函数，而a＞1，
则f（x）在（1，+∞）上递增且无最大值，
故选项A正确，选项B错误；
函数f（x）＝loga|x﹣1|的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），不关于原点对称，
所以f（x）为非奇非偶函数，
故选项C错误；
因为f（2﹣x）＝loga|2﹣x﹣1|＝loga|x﹣1|＝f（x），
所以f（x）的图象关于直线x＝1对称，
故选项D正确．
故选：AD．
13、[分析]：利用对数函数和指数函数的性质求解．
解：∵0＝log31＜log32＜log33＝1，∴0＜a＜1，
∵20.2＞20＝1，∴b＞1，
∵log20.2＜log21＝0，∴c＜0，
∴c＜a＜b，
故答案为：c＜a＜b．
14、[分析]：利用f（a）＝f（b）得出a，b满足关系式（a+1）（b+1）＝e ，代入a+b＝（a+1）+（b+1）﹣2，消去b，构造函数求解．
解：因为，
所以﹣1＜b＜e﹣1＜a，且﹣ln（b+1）+1＝ln（a+1）﹣1，整理得（a+1）（b+1）＝e ．
所以a+b＝（a+1）+（b+1）﹣2＝（a+1）2，
设g（t）＝t，则g（t）在（e，+∞）上单调递增，
所以g（t）＞g（e）＝2e﹣2．
故答案为：（2e﹣2，+∞）
15、[分析]：根据对数函数的定义域和单调性列出不等式组，解出不等式即可．
解：由题意可得函数的定义域为（﹣1，+∞），
又因为函数f（x）＝log2（x+1）在（﹣1，+∞）单调递增，
∴有，解得，1＜m＜2，
所以实数m的取值范围为（1，2）．
故答案为：（1，2）．
16、[分析]：由题意利用对数函数的单调性和特殊点，函数的恒成立问题，求得实数a的取值范围．
解：函数f（x）＝loga（2x﹣a）在区间上恒有f（x）＞0，
即当a＞1时，2x﹣a＞1，或当0＜a＜1时，0＜2x﹣a＜1．
∴①，或②．
由①求得 a∈ ，由②求得 a．
综合可得实数a的取值范围为（，），
故答案为：（，）．
17、[分析]：由对数的运算性质可得b＞a＞0，进一步分析c＜0得答案．
解：log2（log48），
b＝log2（log23）＝log2（log49），
∴b＞a＞0，
又∵0＜log32＜1，∴c＝log3（log32）＜0．
∴b＞a＞c．
18、[分析]：（1）通过f（x）＞0，列出不等式即可求x的取值范围．
（2）x∈（﹣1，3]，求出x+1的范围，利用对数函数的单调性求解求f（x）的值域．
解：（1）函数f（x）＝log2（x+1）﹣2，
∵f（x）＞0，即log2（x+1）﹣2＞0，
∴log2（x+1）＞2，
∴x＞3．
（2）∵x∈（﹣1，3]，∴x+1∈（0，4]，
∴log2（x+1）∈（﹣∞，2]，
∴log2（x+1）﹣2∈（﹣∞，0]．
所以f（x）的值域为（﹣∞，0]．19、[分析]：（1）分类讨论a的范围，利用对数函数的单调性求出函数的最大值，从而得到a的值．
（2）由题意利用对数函数的单调性可得0＜f（x）﹣2＜1，即2＜logax＜3，由此求得a 的范围．
解：（1）∵函数f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）在区间上是单调函数，
当a＞1时，函数为增函数，最大值为loga3＝2，故a．
当0＜a＜1时，函数为减函数，最大值为2，故a．
综上可得，a或．
（2）∵0＜a＜1，不等式f（f（x）﹣2）＞0，即loga[f（x）﹣2]＞0，
∴0＜f（x）﹣2＜1，即2＜f（x）＜3，即2＜logax＜3，
解得a3＜x＜a2，故x的范围为（a3，a2）．
20、[分析]：（1）将O＝900代入，直接求得结果．
（2）由v2﹣v1＝1得，即耗氧量变为原来的九倍．
解：（1）当O＝900时，lm/s
（2）由v2﹣v1＝1得，所以耗氧量增大为原来的9倍．
21、[分析]：（1）利用函数奇偶性的性质即可求f（3）+f（﹣1）
（2）根据函数奇偶性的性质即可求函数f（x）的解析式；
（3）若f（a﹣1）＜﹣1，将不等式进行转化即可求实数a的取值范围．
解：（I）∵f（x）是定义在R上的偶函数，x≤0时，f（x）（﹣x+1），
∴f（3）+f（﹣1）＝f（﹣3）+f（﹣1）42＝﹣2﹣1＝﹣3；
（II）令x＞0，则﹣x＜0，f（﹣x）（x+1）＝f（x）
∴x＞0时，f（x）（x+1），
则f（x）．
（Ⅲ）∵f（x）（﹣x+1）在（﹣∞，0]上为增函数，
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数
∵f（a﹣1）＜﹣1＝f（1）
∴|a﹣1|＞1，
∴a＞2或a＜0
22、[分析]：（1）设A（x1，log8x1），B（x2，log8x2），由题意可知C（x1，log2x1），D（x2，log2x2），由题意可知kOA＝kOB，即，利用对数的运算性质化简可得kOC＝kOD，即点O，C，D三点在同一条直线上．
（2））由BC∥x轴可得，代入可得0，结合x1＞0求出x1的值，得到A点的坐标．
证明：（1）设A（x1，log8x1），B（x2，log8x2），由题意可知C（x1，log2x1），D（x2，log2x2），
∵A，B在过点O的直线上，∴kOA＝kOB，
∴，∴，
∴，即kOC＝kOD，
∴点O，C，D三点在同一条直线上．
解：（2）∵BC∥x轴，∴log2x1＝log8x2，即3log2x1＝log2x2，
∴，
由（1）知，∴3x1log2x1
∴0，
∵x1＞0，
∴log2x1＝0或
∴x1＝1 或，
当x1＝1 时，A，B两点重合，不符合题意，舍去，
∴A点的坐标为（，）