大连市金普新区省示范性高中联合考试
2022 届高三（上）第二阶段考试
数学试卷参考答案
一、选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分）
1 2 3 4 5 6 7 8
A B C A C C A或 B D
二、多项选择题（本题共 4小题，每小题 5分，漏选得 2分，共 20分）
9 10 11 12
CD ABD ABD BCD
三、填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20.0分）
7
13、 3 14、1 15、 16、2 10
4
四、解答题（共 6个大题，17题 10 分，其余每题各 12分，共 70.0分）
17、解析:（1）圆C : x2 y2 2x 6y 6 0的圆心为 1,3 ，半径为 2，
圆C : x2 y2 4圆心为 0,0 ，半径为 2，
圆C : x2 y2 4与圆C 关于直线 l 对称即直线 l 为线段CC 的中垂线，-----------2 分
3 0 1 1 3
因为 kCC 3，则所求直线的斜率为 ，且线段CC 的中点为 , ，
1 0 3 2 2
3 1 1
故所求直线为 y x ，即 x 3y 5 0 .------------------------------------------5 分
2 3 2
（2）因为12 02 2 1 6 0 6 0，所以点P(1,0)在圆外，
若直线 l 的斜率不存在，即直线为 x 1，则圆心到直线的距离为2，符合题意，7 分
若直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y k x 1 ，即 kx y k 0 ，
第 1 页 共 7 页
k 3 k 5 5 5
则 2，解得 k ，所以直线为 x y 0，即5x 12y 5 0 ，
k 2 1 12 12 12
综上：直线 l 的方程为 x 1或5x 12y 5 0 . ------------------------------------------------10 分
18、【详解】
BD AB
（1）在 ABD中，由正弦定理得 .
sin A sin ADB
5 2 2
由题设知， ，所以sin ADB .-----------------------------------4 分
sin45 sin ADB 5
2 23
由题设知， ADB 90 ，所以cos ADB 1 ；--------------------------6 分
25 5
2
（2）由题设及（1）知，cos BDC sin ADB .-----------------------------------8 分
5
在 BCD中，由余弦定理得
2 2 2 2BC BD DC 2 BD DC cos BDC 25 8 2 5 2 2 25 .-------10 分
5
所以 BC 5 .-------------------------------------------------------------------------------------------12 分
19、【详解】
（1）由已知 BAP CDP 90 ，得 AB⊥AP，CD⊥PD．
由于 AB//CD ，故 AB⊥PD ，从而 AB⊥平面 PAD．
又 AB 平面 PAB，所以平面 PAB⊥平面 PAD---4 分
（2）在平面PAD内作PF AD，垂足为F ，由
（1）可知， AB 平面PAD，故 AB PF ，可得
PF 平面 ABCD .以 F 为坐标原点，FA的方向为 x
轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
F xyz .
2 2 2 2
由（1）及已知可得 A ,0,0 ， P 0,0, ，B ,1,0 ，C ,1,0 .
2 2 2 2
2 2 2 2
所以PC ,1, ，CB 2,0,0 ，PA ,0, 2 2 ， AB 0,1,0 .---5 分 2 2
第 2 页 共 7 页
设 n x, y, z 是平面PCB的法向量，则
2 2
n PC 0, x y z 0,
即 2 2
n CB 0,
2x 0,
可取n 0, 1, 2 .------------------------------------------------------------------------------------7 分
设m x, y, z 是平面PAB的法向量，则
2 2m PA 0, x z 0,
即 2 2 可取m 1,0,1 .--------------------------------------------8 分
m AB 0,
y 0.
n m 3
则 cos n,m ，
n m 3
3
设二面角 A PB C 的平面角为θ，所以 √|cosθ| = |cos m , n | = 10 分
3
6
所以 √sinθ = √1 cos2θ = .
3
6
所以二面角 A PB C 的正弦值为√ . 12 分
3
20、解析：（1）圆的方程即： a(1 x y) (x2 y2 x) 0 ，
1 x y 0 1 1 1
联立方程组： 2 2 可得：x 1，y 0或 x y ，则圆恒过定点 (1,0)和 ( , ) .
x y x 0 2 2 2
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4分
（2）因为圆C : x2 (1 a)x y2 ay a 0
将 y 0代入，可得 x2 (1 a)x a 0，变形得 (x 1)(x a) 0 ，所以 x 1或 x a，
因为 a 1，点M 在点N 的左侧，所以M (1,0)，N (a,0) ，------------------------------5 分
因为直线 AB 的倾斜角不为 0，所以可设直线 AB 的方程为 x my 1，
代入圆O的方程可得 (my 1)2 y2 9 ，整理后为 (m2 1)y2 2my 8 0 ，
因为直线上点M (1,0)在圆O内部，所以该直线与圆必然有两个交点，
第 3 页 共 7 页
并设两交点坐标为 A(x1 ， y B(x1)， 2 ， y2 )，
2m 8
由韦达定理可得 y1 y2 ， y1 y2 2 ，--------------------------------------------
m2 1 m 1 7 分
因为直线 AB 的方程为 x my 1，
所以 x1 my1 1， x2 my2 1，若 ANM BNM ，
y1 y2
则直线 AN 与直线BN 关于 x轴对称，所以 kAN kBN 0 ，------------
x a x a 8 分
1 2
y1 y2
所以 0，整理得 2my y (1 a)(y
my a 1 my a 1 1 2 1
y2 ) 0 ，
1 2
2m 8 8 2m
将 y1 y2 , y1 y2 ，代入，可得 2m (1 a) 02 2 ， m 1 m 1 m2 1 m2 1
即m(a 9) 0，因为对任意m R ，都有 ANM BNM 成立，-----------------------10分
即任意m R ，m(a 9) 0，所以a 9，
所以存在a 9，使得 ANM BNM .----------------------------------------------------------12分
21、解：（1）取 PD 的中点为 H，
1
连接 FH，HC.因为 F为 PA的中点，所以FH // AD，
2
1
又因为BC // AD，所以BC // FH ,所以四边形 BCHF为平行四边形，
2
所以BF//HC ，
又因为HC 平面PCD, BF 平面PCD,所以BF//平面PCD. ----------- 4分
//
（2）由题意得： BC DE , ADC 90 ,
所以四边形BCDE为矩形， 又PE 面ABCD,
如图建立空间直角坐标系E xyz,
则B 0, 3,0 , D 1,0,0 ,
P 1 3 0,0, 3 ,C 1, 3,0 , F ,0,
, BP 0, 3, 3 ，
2 2
第 4 页 共 7 页
设 PM PC 1, 3, 3 , 3 , 3 ， 0,1 --- 6分
BM BP PM , 3 3 , 3 3 ，
3 3
设平面 BDF的法向量为n2 x2 , y2 , z ， DF 2 ,0, , DB 1, 3,0 ,
2 2
x 3y 0 DB n 0
2 2
2
则 ，即 3 3 ，不妨设x2 3,
DF n2 0 x2 z2 0
2 2
可得平面 BDF的法向量为n2 3,1,3 ，--------------------------- 8分
设直线 BM 和平面BDF 所成的角为θ，则
BM n 3 3 2 3 3 3 3 3 39
sin cos BM ,n ，---- 10分2
2
BM n2 13 2 2 133 3
1
有3 2 4 1 0，解得 1 舍 或 ， --------------------------- 11分
3
可得 1 3 3 PM , , ，
3 3 3
7
所以 PM . -------------------------------------------------- 12分
3
x x
22、解析：（1）由题意知， f (x) a(x 1)e 2(x 1) (x 1) ae 2 ，
1） 当 a 0，aex 2 0，
所以令 f (x) 0 x 1，令 f (x) 0, x 1，
故 f (x)的单调递增区间为 ( , 1)，单调递减区间为 ( 1, ) -------------------2 分
2
2）当a 0时，由 f (x) 0得， x1 1， x2 ln ，
a
2
①若 ln 1，即a 2e 时， f (x) 0恒成立，故 f (x)在R 上单调递增；-------
a 3分
第 5 页 共 7 页
2
②若 ln 1，即a 2e 时，
a
2 2
令 f (x) 0 x ln 或 x 1；令 f (x) 0 ln x 1
a a
2 2
故 f (x)的单调递增区间为 , ln 和 ( 1, )，单调递减区间为 ln , 1 ；-------
a a
4分
2
③若 ln 1，即0 a 2e时，
a
2 2
令 f (x) 0 x 1或 x ln ；令 f (x) 0 1 x ln
a a
2 2
故 f (x)的单调递增区间为 ( , 1)和 ln , ，单调递减区间为 1, ln ；-------5分
a a
综上：当a 0时， f (x)的单调递增区间为 ( , 1)，单调递减区间为 ( 1, )
当 a 2e 时， f (x)在R上单调递增；
2 2
当 a 2e 时， f (x)的单调递增区间为 , ln 和 ( 1, )，单调递减区间为 ln , 1 ；
a a
2 2
当0 a 2e时，f (x)的单调递增区间为 ( , 1)和 ln , ，单调递减区间为 1, ln ；
a a
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------6分
（2）由题意知，axex ln x x 2 0对任意的 x 0恒成立，
ln x x 2
即 a 对任意的 x 0恒成立，
xex
x
ln x x 2 (x 1)e (3 ln x x)
令 g(x) (x 0)，则 g (x) 2 ， ---------------------------- x
xex xe 8分
1
令 h(x) 3 ln x x，h (x) 1 0，则h(x) 在 (0, )上单调递减，
x
又 h(1) 2 0，h(e) 2 e 0，故h(x) 0 在 (0, )上有唯一的实根，不妨设该实根为 x0 ，
故当 x (0, x0 )时， g (x) 0， g(x)单调递增；
当 x (x , )时， g 0 (x) 0， g(x)单调递减，
故 x0 为 g(x)的极大值点，
ln x0 x0 2
故 g(x)max g x0 x ，又3 ln x0 x0 0，--------------------------------- x0e 0 10分
第 6 页 共 7 页
ln x x 2 1
代入上式得 g x 0 00 x ，
x 00e e
3
1
故a的取值范围为 , 3 .-----------------------------------------------------------------------12 分
e
第 7 页 共 7 页大连市金普新区省示范性高中联合考试
2022届高三（上）第二阶段考试数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知集合，，则（）
A． B．
C． D．
2．若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（）
A． B． C． D．
3．已知，，，则的最小值是（）
A．6 B．8 C． D．
4．已知，，，则（）
A． B． C． D．
5．设，则“”是“直线与直线平行”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知，为不同直线，，为不同平面，则下列结论正确的是（）
A．若，，则
B．若，，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
7．函数，的图象大致为（）
A．B．C．D．
8．已知函数（）的导函数是，且满足，，当时，，则使得成立的的取值范围是（）
A． B．
C． D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，漏选得2分，错选得0分，共20分）
9．已知实数，满足方程，则下列说法错误的是（）
A．的最大值为 B．的最大值为
C．的最大值为 D．的最小值为
10．设函数，下列结论正确的是（）
A．的最小正周期为
B．的图像关于直线对称
C．在单调递减
D．把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象
11．如图，在菱形中，，，为的中点，将沿直线翻折成，连接和，为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）
A．
B．的长为定值
C．与的夹角为
D．当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是
12．已知函数，以下结论正确的是（）
A．
B．在区间上是增函数
C．若方程恰有3个实根，则
D．若函数在上有6个零点，则的取值范围是
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知为平面内一点，若平面的法向量为，则点到平面的距离为.
14.在中，D是BC的中点，，则=．
15．若，，且，，则的值是.
16．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两个定点A、B的距离之比为（，），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若已知圆O：和点，点，M为圆O上的动点，则的最小值为.
四、解答题（共6个大题，17题10分，其余每题各12分，共70分）
17．已知圆．
（1）若圆与圆关于直线对称，求直线的方程；
（2）若过点的直线与圆相切，求直线的方程；
18．在平面四边形中，，，，.
（1）求；
（2）若，求.
19．如图，在四棱锥P ABCD中，AB//CD，且.
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC=1，，求二面角A PB C的正弦值.
20．圆.
（1）求证：不论为何值，圆必过两定点；
（2）已知，圆与轴相交于两点，（点在点的左侧）.过点任作一条与轴不重合的直线与圆相交于两点，.问：是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由.
21．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，且，E为的中点，F是棱的中点，，底面.
（1）证明：平面；
（2）在线段（不含端点）上是否存在一点M，使得直线和平面所成角的正弦值为？若存在，求出此时的长；若不存在，说明理由.
22．已知函数（其中，为自然对数的底数）.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，，求的取值范围.
高三数学 第1页 共3页
