2021-2022学年冀教版八年级数学上册17.2直角三角形 解答题练习 （word版含答案）

2021-2022学年冀教版八年级数学上册《17.2直角三角形》解答题专题练习（附答案）
1．如图，OE平分∠AOB，且EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C、D．
（1）求证∠1＝∠2；
（2）求证：OE是线段CD的垂直平分线．
2．已知在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．
（1）如图，E、F分别是AB，AC上的动点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形；
（2）在（1）的条件下，四边形AEDF的面积是否变化，证明你的结论；
（3）若E、F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AF是角平分线，交CD于点E．求证：∠1＝∠2．
4．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝6cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始以每秒2cm的速度运动到B点，动点E也同时从点C开始沿射线CM方向以每秒1cm的速度运动．
（1）问动点D运动多少秒时，△ABD≌△ACE，并说明理由；
（2）设动点D运动时间为x秒，请用含x的代数式来表示△ABD的面积S；
（3）动点D运动多少秒时，△ABD与△ACE的面积比为3：1．
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的一条高线，若∠B＝28°．求∠ACD的度数．
6．如图，在等腰直角△ABC中∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E．若AC＝10cm，求△DEB的周长．
7．如图，△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠D＝90°，AB＝AC＝．现将△DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起．现将△ABC保持不动，△DEF运动，且满足：点E在边BC上运动（不与B、C重合），且边DE始终经过点A，EF与AC交于M点．请问：（1）BC＝　 　；
（2）在△DEF运动过程中，△AEM能否构成等腰三角形？若能，请求出BE的长；若不能，请说明理由．
8．在△ABC中，∠ACB﹣∠B＝90°，∠BAC的角平分线交BC于E，△BAC的外角平分线交BC于F，证明：AE＝AF．
9．如图，已知一块四边形草地ABCD，其中∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，AB＝20m，CD＝10m，求这块草地的面积．
10．操作：在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°．将一块足够大的等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．如图①②③是旋转三角板得到的图形中的3种情况．
（1）三角板绕点P旋转，当PD⊥AC时，如图①，四边形PDCE是正方形，则PD＝PE．当PD与AC不垂直时，如图②、③，PD＝PE还成立吗？并选择其中的一个图形证明你的结论．
（2）若D、E两点分别在线段AC和CB上移动时，设BE的长为x，△APD的面积为y，求y与x之间的函数关系式．
（3）三角板绕点P旋转，△PEB是否能成为等腰三角形？若能，求出此时CE的长；若不能，请说明理由．
11．如图，∠A＝∠C＝∠BED＝90°，求证：∠1＝∠3，∠2＝∠4．
12．（1）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA，求∠DAE的度数；
（2）如果把第（1）题中“AB＝AC”条件删去，其余条件不变，那么∠DAE的度数改变吗？试证明；
（3）如果把（1）题中“∠BAC＝90°”的条件改为“∠BAC＞90°”，其余条件不变，试探究∠DAE与∠BAC的数量关系式，试证明．
13．如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E是AD上一点，试说明∠C与∠DEB的大小关系．
14．如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知∠B＝48°，∠BAC＝72°，求∠CAD与∠DHE的度数．
15．如图，∠C＝∠D＝90°，AD交BC于点E．∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
16．如图1，在△ABC，∠A＝45°，延长CB至D，使得BD＝BC．
（1）若∠ACB＝90°，求证：BD＝AC；
（2）如图2，分别过点D和点C作AB所在直线的垂线，垂足分别为E、F，求证：DE＝CF；
（3）如图3，若将（1）中“∠ACB＝90°”改为“∠ACB＝m°，并在AB延长线上取点G，使得∠1＝∠A”．试探究线段AC、DG的数量与位置关系．
17．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高．
（1）求证：∠ACD＝∠B；
（2）若AC＝3，BC＝4，AB＝5，则求CD的长．
18．如图，AD，BF分别是△ABC的高与角平分线，BF，AD交于E，∠1＝∠2，求证：AB⊥AC．
19．如图，由一副三角尺拼成的图形，写出∠C，∠EAD，∠CBE的度数．
20．在△ABC中，∠ACB＝90°，E是BC边上的一点，过C作CF⊥AE，垂足为F，过点B作BD⊥BC，交CF的延长线于点D，若∠D＝65°，求∠EAC的度数．
21．已知：如图，在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB为斜边，AC＝BD，BC，AD相交于点E．
（1）求证：AE＝BE；
（2）若∠AEC＝45°，AC＝1，求CE的长．
22．如图，已知在等腰Rt△BCD中，∠BDC＝90°，BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到A，使DA＝DF，延长BF交AC于E，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G
（1）试说明：△FBD≌△ACD；
（2）试说明：△ABC是等腰三角形；
（3）试说明：CE＝BF；
（4）求BG：GE的值（直接写出答案）．
23．已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．
（1）如图，D为AC上任一点，连接BD，过A点作BD的垂线交过C点与AB平行的直线CE于点E．求证：BD＝AE．
若点D在AC的延长线上，如图，其他条件同（1），请画出此时的图形，并猜想BD与AE是否仍然相等？说明你的理由．
24．AD、BE为△ABC的高，AD、BE相交于H点，∠C＝50°，求∠BHD．
25．如图，已知∠CDF＝∠OEF＝90°，CE与OA相交于点F，若∠C＝20°，求∠O的大小．
26．如图，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，D为CB延长线上一点，AE＝AD，且AE⊥AD，BE与AC的延长线交于点P．
（1）求证：BP＝PE；
（2）若AC＝3PC，求的值．
27．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高．
（1）图中有几个直角三角形？是哪几个？
（2）∠1和∠A有什么关系？∠2和∠A呢？还有哪些锐角相等．
28．已知：如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A＝∠C，求证：AB⊥CD．
参考答案
1．证明：（1）∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴CE＝DE，
∴∠1＝∠2；
（2）在△OCE和△ODE中，，
∴△OCE≌△ODE（HL），
∴OC＝OD，
又∵CE＝DE，
∴OE是线段CD的垂直平分线．
2．（1）证明：连接AD
∵AB＝AC，∠A＝90°，D为BC中点
∴AD＝＝BD＝CD
且AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD＝45°
在△BDE和△ADF中，
∴△BDE≌△ADF（SAS）
∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF
∵∠BDE+∠ADE＝90°
∴∠ADF+∠ADE＝90°
即：∠EDF＝90°
∴△EDF为等腰直角三角形．
（2）解：四边形AEDF面积不变．
理由：∵由（1）可知，△AFD≌△BED
∴S△BDE＝S△ADF，
而S四边形AEDF＝S△AED+S△ADF＝S△AED+S△BDE＝S△ABD
∴S四边形AEDF不会发生变化．
（3）解：仍为等腰直角三角形．
理由：∵△AFD≌△BED
∴DF＝DE，∠ADF＝∠BDE
∵∠ADF+∠FDB＝90°
∴∠BDE+∠FDB＝90°
即：∠EDF＝90°
∴△EDF为等腰直角三角形．
3．证明：∵AF是角平分线，
∴∠CAF＝∠BAF，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CAF+∠2＝90°，∠BAF+∠AED＝90°，
∴∠2＝∠AED，
∵∠1＝∠AED，
∴∠1＝∠2．
4．解：（1）如图1，设动点D运动t秒时，△ABD≌△ACE，
由题意得：CD＝2t，CE＝t，则BD＝6﹣2t，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵CM⊥BC，
∴∠BCM＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠ACE＝∠B，
∴当BD＝CE时，△ABD≌△ACE，
即6﹣2t＝t，
t＝2，
答：动点D运动2秒时，△ABD≌△ACE；
（2）如图2，过A作AF⊥BC于F，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴AF是斜边的中线，
∴AF＝BC＝×6＝3，
由题意得：CD＝2x，则BD＝6﹣2x，
∴S＝S△ABD＝BD AF＝（6﹣2x）×3＝﹣3x+9；
（3）设动点D运动x秒时，△ABD与△ACE的面积比为3：1，
如图2，再过A作AG⊥CM于G，
∵∠AFC＝∠BCM＝∠AGC＝90°，
∴四边形AFCG是矩形，
∴AG＝CF＝BC＝3，
∵△ABD与△ACE的面积比为3：1，
∴＝＝，
∴＝3，
∴BD＝3CE，
即6﹣2x＝3x，
5x＝6，
x＝，
∴动点D运动秒时，△ABD与△ACE的面积比为3：1．
5．解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵CD是△ABC的一条高线，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B＝28°．
6．解：∵DE⊥AB，
∴∠C＝∠AED＝90°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠EAD，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AC＝AE，CD＝DE，
∴BD+DE＝BD+CD＝BC＝AC＝AE，
在Rt△ACB中，AB＝AC＝10，
∴BD+DE+BE＝AE+BE＝AB＝10，
所以，△DEB的周长为10cm．
7．解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，
∴BC＝＝2，
故答案为：2；
（2）①若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45°，
∵∠C＝45°，
∴∠AME＝∠C，
又∵∠AME＞∠C，
∴这种情况不成立；
②若AE＝EM，
∵∠B＝∠AEM＝45°，
∴∠BAE+∠AEB＝135°，∠MEC+∠AEB＝135°，
∴∠BAE＝∠MEC，
在△ABE和△ECM中，
，
∴△ABE≌△ECM（AAS），
∴CE＝AB＝，
∵BC＝2，
∴BE＝2﹣；
③若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAE＝45°，
∴AE平分∠BAC，
∵AB＝AC，
∴BE＝＝1．
8．证明：∵AE平分∠BAC，AF是△BAC的外角的平分线，
∴∠EAF＝∠EAC+∠CAF＝（∠BAC+∠CAD）＝90°，
∴△EAF是直角三角形，
∵∠ACB﹣∠B＝90°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠B＝180°﹣（90°+∠B）﹣∠B＝90°﹣2∠B，
∴∠BAE＝∠BAC＝45°﹣∠B，
∴∠AEC＝∠BAE+∠B＝45°，
∴∠AFE＝45°，
∴∠AEC＝∠AFE，
∴AE＝AF．
9．解：分别延长AD，BC交于点E．如图所示，
∵∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，
∴∠DCE＝∠DEB＝∠A＝45°，
∴AB＝BE，CD＝DE，
∵AB＝20，CD＝10，
∴BE＝20，DE＝10，
∵S△ABE＝AB BE＝200，S△CDE＝CD DE＝50，
∴四边形ABCD的面积＝S△ABE﹣S△CDE＝200﹣50＝150m2．
即这块草地的面积为：150m2．
10．解：（1）PD＝PE依然成立．
证明：如图②，连接PC，∵△ABC是等腰直角三角形，P是AB中点，
∴CP＝PB，CP⊥AB，∠ACP＝∠ACB＝45°，
即∠ACP＝∠B＝45°，
∵∠DPC+∠CPE＝∠BPE+∠CPE＝90°，
∴∠DPC＝∠BPE，
∴△PCD≌△PBE，
∴PD＝PE．
（2）由（1）得CP⊥AB，∠ACP＝∠ACB＝45°，
∴△ACP是等腰直角三角形，
∴AP＝CP，△PCD≌△PBE，
∴CD＝BE＝x，
∴AD＝AC﹣CD＝2﹣x，
过点P作PF⊥AC于点F，则PF＝AC＝1，
∴△APD的面积y＝AD PF＝（2﹣x）×1，
即y＝1﹣x．
（3）分三种情况讨论如下：
①当PE＝PB时，点C与点E重合，即CE＝0．
②当PE＝BE时，CE＝1．
③当BE＝PB时，
若点E在线段CB上时，CE＝2﹣；
若点E在CB延长线上时CE＝2+．
11．证明：∵∠BED＝90°，
∴∠1+∠2＝180°﹣90°＝90°，
∵∠A＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠3；
同理可得∠2＝∠4．
12．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵BD＝BA，
∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣∠B）＝67.5°，
∵CE＝CA，
∴∠CAE＝∠E＝∠ACB＝22.5°，
在△ABE中，∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝112.5°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝112.5°﹣67.5°＝45度；
（2）不改变．
设∠CAE＝x，
∵CA＝CE，
∴∠E＝∠CAE＝x，
∴∠ACB＝∠CAE+∠E＝2x，
在△ABC中，∠BAC＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠ACB＝90°﹣2x，
∵BD＝BA，
∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣∠B）＝x+45°，
在△ABE中，∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E，
＝180°﹣（90°﹣2x）﹣x＝90°+x，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD，
＝（90°+x）﹣（x+45°）＝45°；
（3）∠DAE＝∠BAC．
理由：设∠CAE＝x，∠BAD＝y，
则∠B＝180°﹣2y，∠E＝∠CAE＝x，
∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝2y﹣x，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝2y﹣x﹣y＝y﹣x，
∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE＝2y﹣x﹣x＝2y﹣2x，
∴∠DAE＝∠BAC．
13．答：∠C＜∠DEB．
证明：∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠CAE＝90°，
∵AD⊥BC，∴∠C+∠CAE＝90°，
∴∠C＝∠BAE，
∵∠BAE＜∠DEB，
∴∠C＜∠DEB．
14．解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣48°＝42°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝30°，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
由三角形的外角性质得，∠DHE＝∠BAD+∠AEH＝42°+90°＝132°．
15．解：∠CAE与∠DBE相等．
理由如下：∵在△CAE，△DBE中，∠C＝∠D＝90°，∠CEA＝∠DEB，
∴∠CAE＝90°﹣∠CEA，∠DBE＝90°﹣∠DEB，
即∠CAE＝∠DBE．
16．（1）证明：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠A＝45°，
∴AC＝BC，
∵BD＝BC，
∴BD＝AC；
（2）证明：∵DE⊥AB，CF⊥AB，
∴∠E＝∠CFB＝90°，
在△DBE与△CBF中，
∵，
∴△DBE≌△CBF（AAS），
∴DE＝CF；
（3）解：DG＝AC，DG⊥AC．
证明：过点C作CE∥DG交AB于点E，
∴∠2＝∠3，
∵∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°，
∴∠1＝∠4，
∵∠1＝∠A，
∴∠4＝∠A，
∴AC＝CE，
在△DBG与△CBE中，
∵，
∴△DBG≌△CBE（AAS），
∴CE＝DG，
∴DG＝AC．
∵∠A＝45°，
∴∠4+∠A＝90°，
∴∠ACE＝90°，
∴AC⊥CE，
∴AC⊥DG．
∴DG＝AC，DG⊥AC．
17．（1）证明：∵CD是Rt△ABC斜边上的高，
∴∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝∠A+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B；
（2）解：∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴AB CD＝AC BC，
∴CD＝＝＝2.4．
18．证明：∵BF是角平分线，
∴∠ABF＝∠CBF，
∵AD是高线，
∵∠1＝∠2＝∠BED，
∴∠CBF+∠BED＝90°，
∴∠ABF+∠2＝90°，
∴AB⊥AC．
19．解：∠C＝90°，∠EAD＝90°﹣30°＝60°，∠CBE＝180°﹣45°＝135°．
20．解：在RT△DBC中，∠D＝65°，可得：∠DCB＝25°，
在RT△ACE中，∠DCB＝25°，可得：∠ACF＝65°，
在RT△ACF中，∠ACF＝65°，可得：∠EAC＝25°．
21．（1）证明：∵∠AEC与∠BED是对顶角，
∴∠AEC＝∠BED，
在△ACE和△BDE中，
∴△ACE≌△BDE（AAS），
∴AE＝BE；
（2）解：∵∠AEC＝45°，∠C＝90°，
∴∠CAE＝45°，
∴CE＝AC＝1．
22．证明：（1）在等腰Rt△BCD中，BD＝CD，
∵∠BDC＝90°，
∴∠BDC＝∠ADC＝90°，
∵在△FBD和△ACD中，
，
∴△FBD≌△ACD（SAS）；
（2）∵△FBD≌△ACD，
∴∠DBF＝∠DCA，
∵∠ADC＝90°，
∴∠DAC+∠A＝90°，
∴∠DBF+∠A＝90°，
∴∠AEB＝180°﹣（∠DBF+∠A）＝90°，
∵BF平分∠DBC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∵在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴AB＝CB，
∴△ABC是等腰三角形；
（3）∵△FBD≌△ACD，
∴BF＝AC，
∵△ABE≌△CBE，
∴AE＝CE＝AC，
∴CE＝BF；
（4）连接CG，∵在等腰Rt△BCD中，H是BC边的中点，
∴DH垂直平分BC，
∴BG＝CG，
∴∠GBC＝∠GCB，
∴∠EGC＝∠GBC+∠GCB＝2∠GBC＝45°，
∴△EGC是等腰直角三角形，
∴CG＝GE，
即BG＝CE，
∴BG：GE＝．
23．证明：（1）∵AB∥CE，
∴∠BAF＝∠AEC，∠BAC+∠ACE＝180°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ACE＝90°，
，∵AF⊥BD，
∴∠ABD+∠BAF＝90°，∠EAC+∠BAF＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE
在△ABD和△CAE中，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD＝AE．
（2）BD与AE仍然相等，
证明：过点C作AB∥CE，过点A作AE⊥BD于点F，
∵AB∥CE，
∴∠BAE＝∠AEC，∠BAC+∠ACE＝180°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ACE＝90°，
，∵AF⊥BD，
∴∠ABD+∠BAF＝90°，∠EAC+∠BAF＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE
在△ABD和△CAE中，
∴△ABD≌△CAE（ASA）
∴BD＝AE．
24．解：∵AD是△ABC的高，
∴∠BHD+∠HBD＝90°，
∵BE是△ABC的高，
∴∠HBD+∠C＝90°，
∴∠BHD＝∠C，
∵∠C＝50°，
∴∠BHD＝50°．
25．解：∵∠CDF＝∠OEF＝90°，
∴∠C+∠AFD＝90°，
∠O+∠OFE＝90°，
∵∠OFE＝∠CFD（对顶角相等），
∴∠O＝∠C＝20°．
26．证明：（1）作EM⊥AP于M，
∵∠ACB＝90°，
∴∠M＝∠ACD，
∵AD⊥AE，
∴∠DAE＝90°，
∴∠EAM+∠AEM＝90°，∠EAM+∠DAC＝90°，
∴∠DAC＝∠AEM，
在△ADC和△EAM中
∴△ADC≌△EAM（AAS），
∴AC＝EM，
∵AC＝BC，
∴BC＝EM，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCP＝∠M，
在△BCP和△EMP中
∴△BCP≌△EMP（AAS），
∴BP＝PE．
（2）∵△BCP≌△EMP，△ADC≌△EAM，
∴CP＝PM，AM＝DC，
设PC＝PM＝x，AC＝BC＝3x，AM＝DC＝5x，
∴BD＝2x，
∴．
27．解：（1）∠ACB＝90°，∠ADC＝90°，
∴图中有3个直角三角形，分别是△ACD，△BCD，△ABC．
（2）∵∠ADC＝90°，
∴∠1+∠A＝90°，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠A，∠1＝∠B．
28．证明：∵CE⊥AD，
∴∠CED＝90°，
∴∠C+∠D＝90°，
∵∠A＝∠C，
∴∠A+∠D＝90°，
∴∠ABD＝90°，
∴AB⊥CD．