2021-2022学年冀教版八年级数学上册17.1 等腰三角形 同步训练(word版含答案)

2021-2022学年冀教版八年级数学上册《17.1等腰三角形》同步达标训练（附答案）
1．如图，在△ABC中AB＝AC，D是BC的中点，∠B＝35°，则∠BAD＝（　　）
A．110° B．70° C．55° D．35°
2．如图，△ABC中，AB＝AC，腰AB的垂直平分线DE交AB于点E，交AC于点D，且∠DBC＝15°，则∠A的度数是（　　）
A．50° B．36° C．40° D．45°
3．等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（　　）
A．55°，55° B．70°，40°或70°，55°
C．70°，40° D．55°，55°或70°，40°
4．如果等腰三角形的一个内角为50°，那么其它两个内角为（　　）
A．50°，80° B．65°，65°
C．50°，65° D．50°，80°或65°，65°
5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是45°，则这个三角形的底角为（　　）
A．67°31′ B．22°30′
C．67°30′ D．22°30′或67°30′
6．等腰三角形的一个外角是102°，则它的顶角的度数为（　　）
A．78° B．78°或24° C．24° D．78°或51°
7．若等腰三角形的一个外角度数为100°，则该等腰三角形顶角的度数为（　　）
A．80° B．100° C．20°或100° D．20°或80°
8．等腰三角形有一个角的度数是80°，则另两个角的度数可能是（　　）
A．40°，40° B．20°，20° C．80°，20° D．30°，50°
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠B＝∠DAE＝36°，则图中等腰三角形共有（　　）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图：已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线AC上找点P，使△ABP是等腰三角形，则∠APB的度数为　 　．
11．已知，一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少10度，则这个等腰三角形的顶角是　 　．
12．我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫作等腰三角形的“特征值”，记作k．若k＝2，则该等腰三角形的顶角为　 　度．
13．定义：等腰三角形的顶角与一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”，记作f，等腰△ABC中，若∠A＝30°，则它的特征值f＝　 　．
14．定义：等腰三角形的顶角与一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”，记作k，若等腰△ABC中，∠A＝40°，则它的特征值k＝　 　．
15．如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线分别交边AB，BC于D，E点，且AC＝EC，则∠BAC＝　 　．
16．在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝20°，点D在直线BC上，且CD＝AC，连接AD，则∠ADC的度数为　 　．
17．一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30°，求这个三角形的三个内角的度数．
18．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．
19．如图所示，△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F．
（1）若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数；
（2）若点F是AC的中点，求证：∠CFD＝∠B．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：
（1）EF⊥AB；
（2）△ACF为等腰三角形．
21．如图，在△ABC中，AC＝BC，点F为AB的中点，边AC的垂直平分线交AC，CF，CB于点D，O，E，连接OB．
（1）求证：△OBC为等腰三角形；
（2）若∠ACF＝23°，求∠BOE的度数．
22．已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点E，EF∥AB交AC于点F．求证：△FEC是等腰三角形．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为AC上一点，且满足AD＝BD＝BC．点E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．
（1）求∠BAC和∠ACB的度数；
（2）求证：△ACF是等腰三角形．
参考答案
1．解：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵∠B＝35°，
∴∠BAD＝90°﹣35°＝55°．
故选：C．
2．解：∵AB的垂直平分线DE交AC于D，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠DBC＝15°，
∴∠ABC＝∠C＝∠A+15°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠A+∠A+15°+∠A+15°＝180°，
解得∠A＝50°．
故选：A．
3．解：分情况讨论：
（1）若等腰三角形的顶角为70°时，底角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；
（2）若等腰三角形的底角为70°时，它的另外一个底角为70°，顶角为180°﹣70°﹣70°＝40°．
故选：D．
4．解：当该角是底角时，另外两个角分别为：50°，80°；
当该角是顶角时，另外两个角分别是：65°，65°．
故选：D．
5．解：有两种情况；
（1）如图，当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D，
则∠ADB＝90°，
已知∠ABD＝45°，
∴∠A＝90°﹣45°＝45°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝×（180°﹣45°）＝67.5°；
（2）如图，当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H，
则∠FHE＝90°，
已知∠HFE＝45°，
∴∠HEF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FEG＝180°﹣45°＝135°，
∵EF＝EG，
∴∠EFG＝∠G＝×（180°﹣135°）＝22.5°，
故选：D．
6．解：∵等腰三角形的一个外角是102°，
∴和这个外角相邻的内角是78°，
∴78°角可能是顶角，也可能是底角，
当底角是78°时，顶角是180°﹣78°﹣78°＝24°，
∴这个等腰三角形的顶角是78°或24°，
故选：B．
7．解：当100°的角是顶角的外角时，顶角的度数为180°﹣100°＝80°；
当100°的角是底角的外角时，底角的度数为180°﹣100°＝80°，所以顶角的度数为180°﹣2×80°＝20°；
故顶角的度数为80°或20°．
故选：D．
8．解：分情况讨论：
（1）若等腰三角形的顶角为80°时，另外两个内角＝＝50°；
（2）若等腰三角形的底角为80°时，它的另外一个底角为80°，顶角为180°﹣80°﹣80°＝20°．
故选：C．
9．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝36°，
∵AD＝AE，∠DAE＝36°，
∴∠ADE＝∠AED＝72°，
∵∠ADE＝∠B+∠BAD，∠AED＝∠C+∠EAC，
∴∠BAD＝∠EAC＝36°，
∴∠BAE＝∠DAC＝72°，
∴∠BAE＝∠BEA＝∠CDA＝∠CAD，∠B＝∠BAD＝∠C＝∠EAC，
∴△ABD，△AEC，△BAE，△ADC，△ABC，△ADE都是等腰三角形，
故选：D．
10．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴当AB＝BP1时，∠BAP1＝∠BP1A＝30°，
当AB＝AP3时，∠ABP3＝∠AP3B＝∠BAC＝×30°＝15°，
当AB＝AP2时，∠ABP2＝∠AP2B＝×（180°﹣30°）＝75°，
当AP4＝BP4时，∠BAP4＝∠ABP4，
∴∠AP4B＝180°﹣30°×2＝120°，
∴∠APB的度数为：15°、30°、75°、120°．
故答案为：15°、30°、75°、120°．
11．解：在△ABC中，设∠A＝x，∠B＝2x﹣10°，分情况讨论：
当∠A＝∠C为底角时，2x+（2x﹣10°）＝180°，解得x＝47.5°，顶角∠B＝85°；
当∠B＝∠C为底角时，2（2x﹣10°）+x＝180°，解得x＝40°，顶角∠A＝40°．
当∠A＝∠B时，x＝2x﹣10°，解得x＝10°，顶角∠C＝160°，
故这个等腰三角形的顶角的度数为85°或40°或160°．
故答案为：85°或40°或160°．
12．解：∵k＝2，
∴设顶角＝2α，则底角＝α，
∴α+α+2α＝180°，
∴α＝45°，
∴该等腰三角形的顶角为90°，
故答案为：90．
13．解：当∠A为顶角时，则底角∠B＝75°；
此时，特征值f＝＝；
当∠A为底角时，则顶角为120°；
此时，特征值f＝＝4；
故答案为：4或．
14．解：当∠A为顶角时，则底角∠B＝70°；
此时，特征值k＝＝；
当∠A为底角时，则顶角为100°；
此时，特征值k＝＝；
故答案为：或．
15．解：连接AE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AB的垂直平分线分别交边AB，BC于D，E点，
∴AE＝BE，
∴∠B＝∠BAE，
∵AC＝EC，
∴∠EAC＝∠AEC，
设∠B＝x°，则∠EAC＝∠AEC＝2x°，则∠BAC＝3x°，
在△AEC中，
x+2x+2x＝180，
解得：x＝36，
∴∠BAC＝3x°＝108°，
故答案为：108°．
16．解：①当点D在CB的延长线上时，
∵AB＝AC，∠BAC＝20°，
∴∠ABC＝∠ACB＝80°．
∵CA＝CD，∠ACB＝80°，
∴∠ADC＝∠CAD＝50°，
②当点D在BC的延长线上时，
∵AB＝AC，∠BAC＝20°，
∴∠ABC＝∠ACB＝80°．
∵CA＝CD，∠ACB＝80°，∠ACB＝∠D+∠CAD，
∴∠ADC＝∠ACB＝40，
∴∠BDA的度数为50°或40°．
故答案为：50°或40°．
17．解：①当都是底角时，设其为x，则x＝2x﹣30°，x＝30°，所以三个角为30°，30°，120°
②当底角比顶角2倍少30°时，设顶角为x，则x+2（2x﹣30°）＝180°，
解得x＝48°，三个角为48°，66°，66°；
③当顶角比底角2倍少30°时，设底角为x，则2x+2x﹣30°＝180°，
解得x＝52.5°，三个角为52.5°，52.5°，75°．
18．（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BED与△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF；
（2）解：∵∠BDE＝40°，
∴∠B＝50°，
∴∠C＝50°，
∴∠BAC＝80°．
19．解：（1）∵∠AFD＝155°，
∴∠DFC＝25°，
∵DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠FDC＝∠AED＝90°，
在Rt△FDC中，
∴∠C＝90°﹣25°＝65°，
∵AB＝BC，
∴∠C＝∠A＝65°，
∴∠EDF＝360°﹣65°﹣155°﹣90°＝50°．
（2）连接BF
∵AB＝BC，且点F是AC的中点，
∴BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF＝∠ABC，
∴∠CFD+∠BFD＝90°，
∠CBF+∠BFD＝90°，
∴∠CFD＝∠CBF，
∴∠CFD＝∠ABC．
20．证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝72°，
又∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝36°，
∴∠BAD＝∠ABD，
∴AD＝BD，
又∵E是AB的中点，
∴DE⊥AB，即FE⊥AB；
（2）∵FE⊥AB，AE＝BE，
∴FE垂直平分AB，
∴AF＝BF，
∴∠BAF＝∠ABF，
又∵∠ABD＝∠BAD，
∴∠FAD＝∠FBD＝36°，
又∵∠ACB＝72°，
∴∠AFC＝∠ACB﹣∠CAF＝36°，
∴∠CAF＝∠AFC＝36°，
∴AC＝CF，即△ACF为等腰三角形．
21．（1）证明：连接OA，如图，
∵AC＝BC，点F为AB的中点，
∴CF⊥AB，
∴CF垂直平分AB，
∴OA＝OB，
∵DE垂直平分AC，
∴OA＝OC，
∴OB＝OC，
∴△OBC为等腰三角形；
（2）解：∵CA＝CB，CF⊥AB，
∴CF平分∠ACB，
∴∠BCF＝∠ACF＝23°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝23°，
∵∠EDC＝90°
∴∠DEC＝90°﹣∠DCE＝90°﹣23°﹣23°＝44°，
∵∠OEC＝∠OBE+∠BOE，
∴∠BOE＝44°﹣23°＝21°．
22．证明：如图，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∵EF∥AB，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∵CE⊥AD 于点 E，
∴∠AEC＝90°，
∴∠3+∠4＝90°，
∴∠2+∠5＝90°，
∴∠4＝∠5，
∴FE＝FC，
∴△FEC是等腰三角形．
23．解：（1）设∠BAC＝x°，
∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝x°，
∴∠BDC＝2x°，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝2x°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝2x°，
由∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°可得x+2x+2x＝180，
解得：x＝36，
则∠BAC＝36°，∠ACB＝72°；
（2）∵E是AB的中点，AD＝BD，
∴DE⊥AB，即FE⊥AB；
∴AF＝BF，
∴∠BAF＝∠ABF，
又∵∠ABD＝∠BAD，
∴∠FAD＝∠FBD＝36°，
又∵∠ACB＝72°，
∴∠AFC＝∠ACB﹣∠CAF＝36°，
∴∠CAF＝∠AFC＝36°，
∴AC＝CF，即△ACF为等腰三角形．