2021-2022学年冀教版八年级数学上册17.3勾股定理 同步训练(word版含答案)

2021-2022学年冀教版八年级数学上册《17.3勾股定理》同步达标训练（附答案）
1．已知点A的坐标为（2，﹣1），则点A到原点的距离为（　　）
A．3 B． C． D．1
2．一个直角三角形的两边长分别为4cm、3cm，则第三条边长为（　　）
A．5cm B．4cm C．cm D．5cm 或cm
3．历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形：其中两个全等的直角三角形边AE、EB在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是（　　）
A．S△EDA＝S△CEB B．S△EDA+S△CEB＝S△CDE
C．S四边形CDAE＝S四边形CDEB D．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD
4．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（　　）
A．9 B．6 C．4 D．3
5．若a、b、c为三角形三边，则下列各项中不能构成直角三角形的是（　　）
A．a＝7，b＝24，c＝25 B．a＝5，b＝13，c＝12
C．a＝1，b＝2，c＝3 D．a＝30，b＝40，c＝50
6．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　）
A．1.5，2，2.5 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1，，3
7．如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为0、2，BC⊥AB于点B，且BC＝1，连接AC，在AC上截取CD＝BC，以A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是　 　．
8．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为　 　．
9．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为　 　．
10．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC＝5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若△BCD的周长是30，则这个风车的外围周长是　 　．
11．若一个三角形的三边长分别为5、12、13，则此三角形的面积为　 　．
12．有一个三角形的两边长是4和5，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边长为　 　．
13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．
（1）用直尺和圆规在边BC上找一点D，使D到AB的距离等于CD．
（2）计算（1）中线段CD的长．
14．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求CD的长．
15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；
（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．
16．如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）．
（1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形（B，E，C三点在一条直线上），利用这个图形，求证：a2+b2＝c2
（2）当a＝1，b＝2时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中（如图（3）），使直角顶点与原点重合，两直角边a，b分别与x轴、y轴重合．
①请在坐标轴上找一点C，使△ABC为等腰三角形．
写出一个满足条件的在x轴上的点的坐标：　 　；
写出一个满足条件的在y轴上的点的坐标：　 　，这样的点有　 　个．
17．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2
证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a
∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab．
又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a）
∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）
∴a2+b2＝c2
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°．求证：a2+b2＝c2．
18．一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法．如图2．火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AEFG的位置，连接CF，AB＝a，BC＝b，AC＝c．
（1）请你结合图1用文字和符号语言分别叙述勾股定理．
（2）请利用直角梯形BCFG的面积证明勾股定理：a2+b2＝c2．
19．如图是一块地的平面图，AD＝4m，CD＝3m，AB＝13m，BC＝12m，∠ADC＝90°，求这块地的面积．
20．张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n 2 3 4 5 …
a 22﹣1 32﹣1 42﹣1 52﹣1 …
b 4 6 8 10 …
c 22+1 32+1 42+1 52+1 …
（1）请你分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a＝　 　；b＝　 　；c＝　 　；
（2）猜想：以a、b、c为边长的三角形是否是直角三角形？为什么？
21．如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．
（1）判断∠D是否是直角，并说明理由． （2）求四边形ABCD的面积．
22．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所知道的四边形中是勾股四边形的两种图形的名称　 　，　 　；
（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°后得到△DBE，连接AD、DC，若∠DCB＝30°，试证明；DC2+BC2＝AC2．（即四边形ABCD是勾股四边形）
23．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：　 　；
（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为　 　和　 　，请用所学知识说明它们是一组勾股数．
参考答案
1．解：点A的坐标为（2，﹣1）到原点O的距离：OA＝＝．
故选：C．
2．解：（1）当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5cm；
（2）当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为 cm；
故直角三角形的第三边应该为5cm或 cm．
故选：D．
3．解：∵由S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD．
可知ab+c2+ab＝（a+b）2，
∴c2+2ab＝a2+2ab+b2，整理得a2+b2＝c2，
∴证明中用到的面积相等关系是：S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD．
故选：D．
4．解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，
∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，
∴4×ab+（a﹣b）2＝25，
∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，
∴a﹣b＝3，
故选：D．
5．解：A、∵7+24＞25，且72+242＝252，∴能构成直角三角形；
B、∵5+12＞13，且52+122＝132，∴能构成直角三角形；
C、∵1+2＝3，∴不能构成三角形，∴更不能构成直角三角形；
D、∵30+40＞50，且302+402＝502，∴能构成直角三角形；
故选：C．
6．解：A、1.52+22＝2.52，即三角形是直角三角形，故本选项正确；
B、42+52≠62，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；
C、22+32≠42，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；
D、12+（）2≠32，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；
故选：A．
7．解：∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝2，BC＝1，
∴AC＝＝，
∵CD＝BC，
∴AD＝AC﹣CD＝﹣1，
∵AE＝AD，
∴AE＝﹣1，
∴点E表示的实数是﹣1．
故答案为：﹣1．
8．解：由勾股定理可得：斜边长2＝52+122，
则斜边长＝13，
直角三角形面积S＝×5×12＝×13×斜边的高，
可得：斜边的高＝．
故答案为：．
9．解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，
∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，
∴4×ab+（a﹣b）2＝25，
∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，
∴a﹣b＝3或a﹣b＝﹣3（舍去），
故答案是：3．
10．解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，AC＝y，则
x2＝4y2+52，
∵△BCD的周长是30，
∴x+2y+5＝30
则x＝13，y＝6．
∴这个风车的外围周长是：4（x+y）＝4×19＝76．
故答案是：76．
11．解：∵52+122＝132，
∴三边长分别为5、12、13的三角形构成直角三角形，其中的直角边是5、12，
∴此三角形的面积为×5×12＝30．
12．解：①当第三边为斜边时，第三边＝＝；
②当边长为5的边为斜边时，第三边＝＝3．
13．解：（1）画角平分线正确，保留画图痕迹
（2）设CD＝x，作DE⊥AB于E，
则DE＝CD＝x，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．
∴AB＝10，
∴EB＝10﹣6＝4．
∵DE2+BE2＝DB2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
x＝3，
即CD长为3．
14．解：∵AB＝13，AD＝12，BD＝5，
∴AB2＝AD2+BD2，
∴△ADB是直角三角形，∠ADB＝90°，
∴△ADC是直角三角形，
在Rt△ADC中，CD＝＝9．
15．解：（1）设存在点P，使得PA＝PB，
此时PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，
在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，
即：（4﹣2t）2+32＝（2t）2，
解得：t＝，
∴当t＝时，PA＝PB；
（2）当点P在∠BAC的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，
此时BP＝7﹣2t，PE＝PC＝2t﹣4，BE＝5﹣4＝1，
在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，
即：（2t﹣4）2+12＝（7﹣2t）2，
解得：t＝，
当t＝6时，点P与A重合，也符合条件，
∴当或6时，P在△ABC的角平分线上；
（3）在Rt△ABC中，∵AB＝5cm，BC＝3cm，
∴AC＝4cm，
根据题意得：AP＝2t，
当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，
∴PC＝BC，即4﹣2t＝3，
∴t＝，
当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，
①CP＝PB，点P在BC的垂直平分线上，
如图2，过P作PE⊥BC于E，
∴BE＝BC＝，
∴PB＝AB，即2t﹣3﹣4＝，解得：t＝，
②PB＝BC，即2t﹣3﹣4＝3，
解得：t＝5，
③PC＝BC，如图3，过C作CF⊥AB于F，
∴BF＝BP，
∵∠ACB＝90°，
由射影定理得；BC2＝BF AB，
即32＝×5，
解得：t＝，
∴当时，△BCP为等腰三角形．
16．解：（1）由图可得，×（a+b）（a+b）＝ab+c2+ab，
整理得＝，
∴a2+2ab+b2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2．
（2）一个满足条件的在x轴上的点的坐标：（﹣1，0）；
一个满足条件的在y轴上的点的坐标：（0，2+），这样的点有 4个．
故答案为：（﹣1，0）；（0，2+），4．
17．证明：连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b﹣a，
∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABE+S△ADE＝ab+b2+ab，
又∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABD+S△BDE＝ab+c2+a（b﹣a），
∴ab+b2+ab＝ab+c2+a（b﹣a），
∴a2+b2＝c2．
18．解：（1）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝a，BC＝b，AC＝c，则有b2+c2＝a2．
（2）∵S梯形BCFG＝S△AFG+S△AFC+S△ACB＝ab+ab+c2＝ab+c2，
S梯形BCFG＝ （FG+BC） BG＝（a+b）（a+b）＝a2+ab+b2，
∴ab+c2＝a2+ab+b2，
整理得：a2+b2＝c2．
19．解：如图，连接AC，
∵AD＝4，CD＝3，∠ADC＝90°，
∴AC＝＝5，
∴S△ACD＝6，
在△ABC中，∵AC＝5，BC＝12，AB＝13，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴Rt△ABC的面积＝30，
∴四边形ABCD的面积＝30﹣6＝24．
20．解：a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，
理由：∵a2+b2＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4+2n2+1，c2＝（n2+1）2＝n4+2n2+1，
∴a2+b2＝c2，
∴以a、b、c为边长的三角形是直角三角形．
21．解：（1）∠D是直角．
理由：连接AC，
∵∠B＝90°，
∴AC2＝BA2+BC2＝400+225＝625，
∵DA2+CD2＝242+72＝625，
∴AC2＝DA2+DC2，
∴△ADC是直角三角形，即∠D是直角；
（2）∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC，
∴S四边形ABCD＝AB BC+AD CD
＝×20×15+×24×7
＝234．
22．（1）解：∵直角梯形和矩形的角都为直角，所以它们一定为勾股四边形．
（2）证明：连接CE，∵BC＝BE，∠CBE＝60°
∴△CBE为等边三角形，
∴∠BCE＝60°
又∵∠DCB＝30°∴∠DCE＝90°
∴△DCE为直角三角形
∴DE2＝DC2+CE2
∵AC＝DE，CE＝BC
∴DC2+BC2＝AC2
23．解：（1）11，60，61；
（2）后两个数表示为和，
∵，，
∴．
又∵n≥3，且n为奇数，
∴由n，，三个数组成的数是勾股数．
故答案为：11，60，61．