2021-2022学年北师大版数学九年级下册第3章 圆选择填空精选 （word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版数学九年级下册第3章 圆选择填空精选 （word版含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 794.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-11 19:23:29 | ||
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文档简介
2021北师大版九下圆选择填空精选
一、单选题
1.（2021九上·南开期中）如图，A,B 是⊙O上的两个点，BC是弦，若∠B=32° ，则∠OAC= （ ）
A. 64° B. 58° C. 68° D. 55°
2.（2021九上·鸡西期中）如图， AB 是 ⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点M， AM=2 ，BM=8 ，则 的长为（ ）
A. 4 B. 5 C. 8 D. 16
3.（2021九上·古冶期中）如图，BD是⊙O的直径，点A、C在圆上，且CD＝OB ， 则∠BAC＝（ ）
A. 120° B. 90° C. 60° D. 30°
4.（2021九上·古冶期中）如图，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O上，点P是弧CD上不同于点C的任意一点，则∠BPC＝（ ）
A. 45° B. 60° C. 75° D. 90°
5.（2021九上·无锡期中）如图，在⊙O中，半径r＝5，弦AB＝8，P是弦AB上的动点（不含端点A，B），若线段OP长为正整数，则点P的个数有（ ）
A. 2个 B. 5个 C. 4个 D. 3个
6.（2021九上·天心期中）如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BOC＝（ ）
A. 130° B. 100° C. 50° D. 65°
7.（2021九上·天心期中）在⊙O中，弦AB＝8cm，直径为16cm，则弦AB所对的圆周角为（ ）
A. 60° B. 120° C. 60°或120° D. 30°或150°
8.（2021九上·北京月考）已知 ⊙O 的半径为2，点 P 为 ⊙O 内一定点，且 PO=1 ，过点 P 作 ⊙O 的弦，其中最短的弦的长度是（ ）
A. 4 B. C. D. 2
9.（2021·贵州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝ ，AC＝6，BC＝8，若以AC为直径的☉O交AB于点D，则CD的长为（ ）
A. B. C. D. 5
10.（2021·沈丘模拟）如图， ⊙A ， ⊙B ， ⊙C ， ⊙D ， ⊙E 相互外离，它们的半径都是2，顺次连接五个圆心得到五边形 ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（ ）
A. B. C. D.
11.（2021九上·宁波期中）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于 A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA、PB，则△PAB面积的最大值是（ ）
A. 8 B. 12 C. D.
12.（2021九上·灌云期中）如图，在 中， ， cm， cm. 是 边上的一个动点，连接 ，过点 作 于 ，连接 ，在点 变化的过程中，线段 的最小值是（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
13.（2020·南宁模拟）如图，点 在半圆 上，半径 ， ，点 在弧 上移动，连接 ， 是 上一点， ，连接 ，点 在移动的过程中， 的最小值是（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
14.（2020九上·龙马潭期末）如图， ⊙O 的直径 AB 的长为 10 ，弦 AC 长为 6 ，∠ACB 的平分线交 ⊙O 于D，则 CD 长为（ ）
A. 7 B. 7 C. 8 D. 9
15.如图，MN是⊙O的直径，MN=2，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（ ）
A. 2 B. C. 1 D. 2
二、填空题
16.（2021九上·贵州期中）如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D。若AC=6，BD=5 ，则BC的长为 。
17.（2021九上·哈尔滨月考）如图，⊙O直径CD=20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，若OM：OC=3：5，则弦AB的长为 ．
18.（2021·成都）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 与 ⊙O 相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦 AB 的长为 .
19.（2021九上·温州期中）如图，已知⊙O的内接四边形ABCD，AB是直径，点C是 的中点，连结AC，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，过点D作DG⊥AB于点G，若△ABC的面积为5，△DEC的面积为1．
（1）△ACD的面积为 ；
（2）DG∶AB= ．
20.（2021·阜宁模拟）如图，在直角坐称系中，半径为1的⊙A圆心A的坐标为（﹣1，0），点P为直线上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是 .
21.（2021九上·江都期末）如图，半径为4cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P，从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H.设ΔOPH 的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为________.
22.（2020九上·武汉月考）如图， AB 为 ⊙O 的直径，C为 ⊙O 上一动点，将 AC 绕点A逆时针旋转120°得 AD ，若 AB=4 ，则 BD的最大值为 .
23.（2020九上·扬州期中）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝2，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为________.
24.（2020九上·龙马潭期末）如图， 内接于⊙O， ，D是⊙O上与点B关于圆心O成中心对称的点，P是 边上一点，连结 ．已知 ， ，Q是线段 上一动点，连结 并延长交四边形 的一边于点R，且满足 ，则 的值为________．
25.（2020·潮南模拟）如图，AB是半圆O的直径，且AB＝12，点C为半圆上的一点．将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O ， 则图中阴影部分的面积是________ ． （结果保留π）
26.（2018九上·邗江期中）如图，将弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，若AD=2，DB=3，则BC的长是 ．
27.如图，已知扇形AOB中，OA=3，∠AOB=120°，C是在 上的动点．以BC为边作正方形BCDE，当点C从点A移动至点B时，点D经过的路径长是 ．
28.如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为 .
29.如图，边长为1的菱形ABCD的两个顶点B、C恰好落在扇形AEF的弧EF上．若∠BAD=120°，则弧BC的长度等于 .
30.如图，a个半圆弧依次相外切，他们的圆心都在x轴的正半轴上，并都与直线相切，设半圆C1、半圆C2、半圆C3…、半圆Cn的半径分别为r1、r2、r3…、rn ， 当r1=1时，rn= （n＞1的自然数）
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【解析】【解答】解： ， ，
，
，
．
故答案为：B．
【分析】先求出∠AOC=64°，再根据OA=OC计算求解即可。
2.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB ，
∴CM=DM ，
∵AM=2，BM=8，
∴AB=10，
∴OA=OC=5，
在Rt△OCM中，OM2+CM2=OC2 ，
∴CM= =4，
∴CD=8．
故答案为：C．
【分析】先求出直径AB的长，再求出半径CO=AO=5，结合AM=2，即可得到OM=3，最后利用勾股定理求出CM的长，最后利用垂径定理可得CD=2CM。
3.【答案】 C
【解析】【解答】解：连接 ，
，
为等边三角形，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】先求出 为等边三角形，再求出∠BOC=120°，最后计算求解即可。
4.【答案】 A
【解析】【解答】解：连接OB ， OC ，
∵正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O上，
∴∠BOC=90°，
∴∠BPC= ∠BOC=45°．
故答案为：A．
【分析】先求出∠BOC=90°，再求出∠BPC= ∠BOC=45°即可作答。
5.【答案】 D
【解析】【解答】解：当P为AB的中点时，利用垂径定理得到OP⊥AB，此时OP最短，
∵AB＝8，∴AP＝BP＝4，
在直角三角形AOP中，OA＝5，AP＝4，
根据勾股定理得：OP＝ ＝ ，即OP的最小值为3；
当P与A或B重合时，OP最长，此时OP＝5，
∴3≤OP＜5，
则使线段OP的长度为整数，
∴OP＝3，4
根据对称性可知，满足条件的点P的个数有3个.
故答案为：D.
【分析】当P为AB的中点时，利用垂径定理得到OP⊥AB，AP=BP=4，此时OP最短，在Rt△AOP中，应用勾股定理求出OP；当P与A或B重合时，OP最长，此时OP＝5，据此可得OP的范围，结合OP长为整数可得OP的长，进而可得点P的个数.
6.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB＝ （∠ABC+∠ACB）＝ （180°﹣80°）＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°.
故答案为：A.
【分析】根据内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点得出OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，得出∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）=50°，再根据三角形内角和定理即可得出∠BOC＝180°-50°＝130°.
7.【答案】 D
【解析】【解答】解：如图，直径为16cm，
∴AO＝OB＝AB＝8cm；
∴△AOB是等边三角形；
则∠AOB＝60°；
∴∠F＝ ∠AOB＝30°；
∵四边形AEBF内接于⊙O，
∴∠E＝180°﹣∠F＝150°.
因此弦AB所对的圆周角为30°或150°；
故答案为：D.
【分析】先证出△AOB是等边三角形，得出∠AOB＝60°，根据圆周角定理得出∠F＝∠AOB＝30°，然后再根据圆内接四边形的性质得出∠E＝180°-∠F，即可得出答案.
8.【答案】 C
【解析】【解答】解：过点P作AB⊥OP，交 于A、B两点，连结OA，OB，
∵ 的半径为2，
∴OA=OB=2，
∵OP⊥AB，
∴AP=PB，
在Rt△AOP中，AP= ，
∴AB=2AP= ．
故答案为：择C．
【分析】过点P作AB⊥OP，交 于A、B两点，连结OA，OB，利用垂径定理得出P为AB的中点，在Rt△AOP中，利用勾股定理求出AP的值，由AB=2AP即可求出AB的长。
9.【答案】 C
【解析】【解答】解：在Rt△ACB中， ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理求出AB=10，由 为 的直径，可得 ， 根据 ， 即可求出CD.
10.【答案】 A
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】由题意根据扇形面积S=可求解.
11.【答案】 C
【解析】【解答】解：过C作CH⊥AB，延长HC交圆于P'，连接AC、P'B、P'A，
当x=0时，y=-3，当y=0时，x=4，
∴A（0，-3），B（4，0），
∴AB==5，
∵BC=OB+OC=3+1=4，
∴S△ACB=BC×OA=AB×CH，
∴CH== ，
∴HP'=CH+HP'=+1= ，
∴ △PAB面积的最大值=S△P'AB=×AB×HP'=×5×= .
故答案为：C.
【分析】过C作CH⊥AB，延长HC交圆于P'，连接AC、P'B、P'A， 则△PAB面积的最大值为S△P'AB ，
先求出直线AB与坐标轴交点的坐标，再利用勾股定理求出AB长，利用两点间坐标求出BC长，然后利用等积法求出CH长，则可求出HP'，最后计算△P'AB的面积即可.
12.【答案】 A
【解析】【解答】解：如图，
由题意知， ，
在以 为直径的 的 上（不含点 、可含点 ，
最短时，即为连接 与 的交点（图中点 点），
在 中， ， ，则 .
，
长度的最小值 .
故答案为：A.
【分析】以AC为直径作圆，圆心为M，作MF⊥AB于点F，由题意知∠AEC=90°，连接BM与圆相交于点E，此时BE取得最小值，在Rt△BCM中，应用勾股定理求出BM，据此求解.
13.【答案】 D
【解析】【解答】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM.
∵DH⊥AC，
∴∠AHD＝90°，
∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，
∴当M、H、B共线时，BH的值最小，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵ ， ，
∴AB= ，
∴BD＝ ，
∵MD= ，
∴BM＝ ，
∴BH的最小值为BM MH＝13 5＝8.
故答案为：D.
【分析】如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM.由题意点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，推出当M、H、B共线时，BH的值最小.
14.【答案】 B
【解析】【解答】解：作DF⊥CA，垂足F在CA的延长线上，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD
∴DF=DG， ，
∴DA=DB，
∵∠AFD=∠BGD=90°，
∴△AFD≌△BGD，
∴AF=BG．
易证△CDF≌△CDG，
∴CF=CG，
∵AC=6，BC=8，
∴AF=1，
∴CF=7，
∵△CDF是等腰直角三角形，
∴CD=7 ，
故答案为：B．
【分析】作DF⊥CA，交CA的延长线于点F，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．由CD平分∠ACB，根据角平分线的性质得出DF=DG，由HL证明△AFD≌△BGD，△CDF≌△CDG，得出CF=7，又△CDF是等腰直角三角形，从而求出CD=7 .
15.【答案】 B
【解析】【解答】解：如图，作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点，
此时PA+PB最小，且等于AC的长，
连接OA，OB，OC，
∵∠AMN=30°，
∴∠AON=60°，
∵ B为弧AN的中点，
∴∠BON=∠AON=30°，
∵点B和点C关于MN的对称，
∴∠CON=∠BON=30°，
∴∠AOC=∠AON+∠CON=90°，
∵直径MN=2，
∴OA=OC=1，
∴AC= ，
∴ PA+PB的最小值为.
故答案为：B.
【分析】 作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点，此时PA+PB最小，且等于AC的长，先证出∠AOC=90°，再根据勾股定理求出AC的长，即可求解.
二、填空题
16.【答案】 8
【解析】【解答】解：如图，连接AD，
∵AB为直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵CD为∠ACB的角平分线，
∴∠BCD=45°，
∴∠BAD=∠BCD=45°，
∴AB=BD= 5 ，
∴BC==8.
故答案为：8.
【分析】连接AD，由圆周角定理得出∠ACB=∠ADB=90°，然后由根据角平分线的定义求出∠BCD=45°，再由同弧所对的圆周角定理求出∠BAD=45°，则由等腰直角三角形的性质求出AB长，最后由勾股定理求BC长即可.
17.【答案】 16
【解析】【解答】解：连接OA，
⊙O的直径CD=20，
则⊙O的半径为10，
即OA=OC=10，
又∵OM：OC=3：5，
∴OM=6，
∵AB⊥CD，垂足为M，
∴AM=BM，
在Rt△AOM中，AM= =8，
∴AB=2AM=2×8=16，
故答案为：16．
【分析】连接OA，根据⊙O的直径CD=20，即OA=OC=10，根据OM：OC=3：5，求出OM=6，根据垂径定理可知，得出AM=BM，根据勾股定理，即可求出AM的值，由此得出AB的长度。
18.【答案】
【解析】【解答】解：过O作OE⊥AB于C，
∵AB为弦，
∴AC=BC= ，
∵直线 与 相交于A，B两点，
∴当y=0时， ，解得x=-2，
∴OA=2，
∴当x=0时， ，
∴OD= ，
在Rt△AOD中，由勾股定理 ，
∵∠ACO=∠AOD=90°，∠CAO=∠OAD，
∴△OAC∽△DAO，
即 ，
∴AB=2AC=2 ，
故答案为2 .
【分析】过O作OE⊥AB于C，由垂径定理可得AC=BC=AB，由题意分别令y=0和x=0可求得直线与x轴的交点A的坐标，与y轴点D的坐标，易得△OAC∽△DAO，可得比例式求得AD的值，则AB=2AC可求解.
19.【答案】 （1）3
（2）12:25
【解析】【解答】解：过点C作CF⊥AB于点F，
∵点C是弧DB的中点
∴弧CD=弧BC，
∴∠DAC=∠BAC，CD=BC
∴AC平分∠DAB，
∵CE⊥CD，
∴FC=CE，
在Rt△DEC和R△BFC中
∴Rt△DEC≌R△BFC（HL）
同理可证△AEC≌△ACF
∴S△DEC=S△BFC=1，S△AEC=S△ACF ，
∵S△ABC=S△ACF+S△BFC=5
∴S△AEC=S△ACF=5-1=4，
∴S△ADC=S△AEC-S△DEC=4-1=3.
故答案为：3.
（2）连接OC，BD交于点H，
∵
∴DA=3DE，
设DE=a，则DA=3a，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB=∠EDH=90°=∠E，
∵点C是弧BD的中点，
∴OC⊥BD
∴∠DHC=90°，
∴四边形DEHC是矩形，
∴CH=DE=a，
OH是△ADB的中位线
∴
∴OC=CH+OH=a+=
∴AB=2OC=5a，
∴ ，
∵
∴5a·DG=3a·4a
解之：DG=2.4a
∴DG∶AB=2.4a：5a=12:25.
故答案为：12:25.
【分析】 （1）过点C作CF⊥AB于点F，利用弧的中点及等弧所对圆周角相等，可知AC平分∠DAB，CD=BC，利用角平分线的性质可得到FC=CE；利用HL可证得Rt△DEC≌R△BFC，△AEC≌△ACF，利用全等三角形的面积相等可推出S△DEC=S△BFC=1，S△AEC=S△ACF ， 从而可求出△AEC的面积及△ACD的面积.
（2）连接OC，BD交于点H，利用△CDE和△ADC的面积可证得DA=3DE，设DE=a，则DA=3a；利用直径所对圆周角是直角，可证得∠ADB=∠EDH=90°=∠E，利用垂径定理可证得∠DHC=90°，由此可推出四边形DEHC是矩形，可得到CH=a，利用三角形的中位线定理可求出OH的长，即可表示出圆的半径，再表示出圆的直径AB的长；再利用勾股定理求出BD的长，利用直角三角形的两个面积公式可表示出DG的长；然后求出DG∶AB的值.
20.【答案】 2
【解析】【解答】解：过点P作⊙A的切线，切点为Q，连接AP、AQ，设直线 与x、y轴的交点分别为B、C，如图所示：
∴∠AQP=90°，
令y=0时，则 ，解得 ，令x=0时，则y=2，
∴OC=2，OB=4，
∵半径为1的⊙A圆心A的坐标为（﹣1，0），
∴ ，
∴AB=5，
∴在Rt△PQA中， ，
∴当切线长PQ为最小时，则AP为最小，由此可得当AP与直线 垂直时AP取最小，连接AC，则由勾股定理可得 ，
∴ ，
∴AC⊥BC，
∴当点P与点C重合时，PQ取最小值，如图所示，
∵OA=AQ，AC=AC，∠AQP=∠AOP=90°，
∴△AQP≌△AOP（HL），
∴OP=PQ=2，
∴PQ的最小值为2；
故答案为2.
【分析】过点P作⊙A的切线，切点为Q，连接AP、AQ，设直线 与x、y轴的交点分别为B、C，可得∠AQP=90°，利用勾股定理可得 ， 可知当AP最小时，PQ最小，根垂线段最短，可知当AP⊥BC时，AP最小，此时当点P与点C重合时，证明Rt△AQP≌Rt△AOP,可得OP=PQ=2，据此即得结论.
21.【答案】
【解析】【解答】解：如图，连OI，PI，AI，
∵△OPH的内心为I，
∴∠IOP=∠IOA，∠IPO=∠IPH，
∴∠PIO= -∠IPO-∠IOP= - （∠HOP+∠OPH），
而PH⊥OA，即∠PHO= ，
∴∠PIO= - （∠HOP+∠OPH）= - （ - ）= ，
又∵OP=OA，OI公共，
而∠IOP=∠IOA，
∴△OPI≌△OAI，
∴∠AIO=∠PIO= ，
所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为 的一段劣弧上；
过A、I、O三点作⊙O′，如图，连O′A，O′O，
在优弧AO上取点P，连PA，PO，
∵∠AIO= ，
∴∠APO= - = ，
∴∠A O= ，而OA=4cm，
∴∠AO = ，
∴O′O= OA= ×4=2 ，
∴弧OA的长= （cm），
所以内心I所经过的路径长为 cm.
故答案为： cm..
【分析】如图，连OI，PI，AI，由△OPH的内心为I，可得到∠PIO= -∠IPO-∠IOP= - （∠HOP+∠OPH）= ，并且易证△OPI≌△OAI，得到∠AIO=∠PIO= ，所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为 的一段劣弧上；过A、I、O三点作⊙O′，如图，连O′A，O′O，在优弧AO上取点P，连PA，PO，可得∠APO= - = ，得∠A O= ， OA= ×4=2 ，然后利用弧长公式计算弧OA的长.
22.【答案】
【解析】【解答】解：将△ABD绕点A顺时针旋转120°，则D与点C重合，B′是定点，
BD的最大值即B′C的最大值，当B′，O，C三点共线时，BD最大
过点B′作B′E⊥AB，交BA的延长线于点E
由题意可得A′B=AB=4，∠EAB′=60°
∴AE=2，B′E= ，OC=OB=2
在Rt△OEB′中，B′O=
∴B′D= B′O+OC= .
故答案为： .
【分析】将△ABD绕点A顺时针旋转120°，则D与点C重合，B′是定点，BD的最大值即B′C的最大值，过点B′作B′E⊥AB，交BA的延长线于点E，由题意可得A′B=AB=4，∠EAB′=60°，求出AE、B′E、OC的值，在Rt△OEB′中，应用勾股定理求出B′O，据此求解.
23.【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H.
∵AQ=QP
∴OQ⊥PA
∴∠AQO=90°
∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK
当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，
在 中，∵∠COH=60°，OC=1
∴OH= ，
在 中，
∴CQ的最大值为 .
故答案为： .
【分析】连接OQ，作CH⊥AB于H，首先证明点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题.
24.【答案】 1或
【解析】【解答】解：因为 内接于圆， ，D是⊙O上与点B关于圆心O成中心对称的点，
∴AB=BC=CD=AD,
是正方形
①点R在线段AD上，
∵AD∥BC，
∴∠ARB=∠PBR，∠RAQ=∠APB，
∵AP=BR，
∴△BAP≌ABR，
∴AR=BP，
在△AQR与△PQB中，
，
②点R在线段CD上，此时△ABP≌△BCR，
∴∠BAP=∠CBR．
∵∠CBR+∠ABR=90°，
∴∠BAP+∠ABR=90°，
∴BQ是直角△ABP斜边上的高，
∴QR=BR-BQ=5-2.4=2.6，
.
故答案为：1或 .
【分析】首先证明四边形ABCD为正方形，即可得到AD∥BC，根据题意，由R点的位置，判断得到答案即可。
25.【答案】 6π
【解析】【解答】
做出辅助线，如图所示，在Rt三角形BOD中, OB=R=6,OD=3
所以∠OBD=30°，∠AOC=60°，
∴阴影部分面积对应的圆心角为60°，代入公式可得
【分析】根据直角三角形的性质可得出角的度数的关系，利用扇形面积公式可得出阴影部分面积。
26.【答案】
【解析】【解答】∵弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，
∴弧BC等于弧BDC，
∴∠BAC=∠BCD+∠CBD，
在△BCD中，∠ADC=∠BCD+∠CBD，
∴∠BAC=∠ADC，
∴AC=CD，
过点C作CE⊥AD于E，
则AE=DE= AD= ×2=1，
∴BE=BD+DE=3+1=4，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCE=∠ACB=90°，
∵∠ACE+∠CAE=180°-90°=90°，
∴∠CAE=∠BCE，
又∵∠AEC=∠BEC=90°，
∴△ACE∽△CBE，
∴ = ，
∴CE2=AE BE，
∴CE=2
在Rt△BCE中，BC2=4+16=20
BC=
【分析】根据已知弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，可得出弧BC等于弧BDC，就可证得AC=CD，过点C作CE⊥AD于E，利用等腰三角形的性质，可求出DE的长，就可求出BE的长，再由圆周角定理，可证得∠ACB=90°，利用同角的余角相等，可得出∠CAE=∠BCE，然后利用相似三角形的判定，可证得△ACE∽△CBE，的长对应边成比例，求出CE的长，在Rt△BCE中利用勾股定理求出BC的长。
27.【答案】 2 π
【解析】【解答】解：如图，由此BO交⊙O于F，取 的中点H，连接FH、HB、BD．
易知△FHB是等腰直角三角形，HF=HB，∠FHB=90°，
∵∠FDB=45°= ∠FHB，
∴点D在⊙H上运动，轨迹是 （图中红线），
易知∠HFG=∠HGF=15°，
∴∠FHG=150°，
∴∠GHB=120°，易知HB=3 ，
∴点D的运动轨迹的长为 =2 π．
故答案为2 π．
【分析】由此BO交⊙O于F，取 弧B F 的中点H，连接FH、HB、BD．可证得△FHB是等腰直角三角形，可以得到HF=HB，∠FHB=90°，就可以求出∠FDB的度数，进而可知道点D就是在⊙H上运动，它的运动轨迹就是弧GB的长，∠AOB=120°推出∠AOF=60°，得出△AOF是等边三角形，易求得∠∠HFG=∠HGF=15°，就可得∠FHG的度数，从而求出圆心角∠GHB的度数，在Rt△BHF中可以求出半径HB的长，利用弧长公式就可以求得点D的运动轨迹的长。
28.【答案】 8， ，
【解析】【解答】解：①当BA=BP时，
易得AB=BP=BC=8，即线段BC的长为8．
②当AB=AP时，如图1，延长AO交PB于点D，过点O作OE⊥AB于点E，则AD⊥PB，AE=AB=4，
∴BD=DP，
在Rt△AEO中，AE=4，AO=5，
∴OE=3，
易得△AOE∽△ABD，
∴= ，
∴BD= ，
∴BD=PD= ， 即PB= ，
∵AB=AP=8，
∴∠ABD=∠P，
∵∠PAC=∠ADB=90°，
∴△ABD∽△CPA，
∴= ，
∴CP= ，
∴BC=CP﹣BP=-=；
③当PA=PB时
如图2，连接PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接OB，
则PF⊥AB，
∴AF=FB=4，
在Rt△OFB中，OB=5，FB=4，
∴OF=3，
∴FP=8，
易得△PFB∽△CGB，
∴== ，
设BG=t，则CG=2t，
易得∠PAF=∠ACG，
∵∠AFP=∠AGC=90°，
∴△APF∽△CAG，
∴= ，
∴= ， 解得t= ，
在Rt△BCG中，BC=t= ，
综上所述，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为8， ， ，
故答案为：8， ， ．
【分析】①当BA=BP时，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；
②当AB=AP时，如图1，延长AO交PB于点D，过点O作OE⊥AB于点E，易得△AOE∽△ABD，利用相似三角形的性质求得BD，PB，然后利用相似三角形的判定定理△ABD∽△CPA，代入数据得出结果；
③当PA=PB时，如图2，连接PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接OB，则PF⊥AB，易得AF=FB=4，利用勾股定理得OF=3，FP=8，易得△PFB∽△CGB，利用相似三角形的性质=， 设BG=t，则CG=2t，利用相似三角形的判定定理得△APF∽△CAG，利用相似三角形的性质得比例关系解得t，在Rt△BCG中，得BC．
29.【答案】
【解析】【解答】 ∵菱形ABCD中，AB=BC，
又∵AC=AB，
∴AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形．
∴∠BAC=60°，
∴弧BC的长是： =故答案是：
【分析】本题考查了弧长公式，理解B，C两点恰好落在扇形AEF的弧EF上，即B、C在同一个圆上，得到△ABC是等边三角形是关键．
30.【答案】 3n﹣1
【解析】【解答】解：过C1、C2、C3、…、Cn作直线y=x的垂线，垂足分别为A1、A2、A3、An ， 如图，
∵a个半圆弧都与直线y=x相切，
∴C1A1⊥OA1 ， C2A2⊥OA2 ， C3A3⊥OA，…，CnAn⊥OAn ，
∵x=1时，y=x= ，
∴直线y=x与x轴的正半轴的夹角为30°，
∵a个半圆弧依次相外切，
∴C1C2=r1+r2 ， C2C3=r2+r3 ， …，
在Rt△OC1A1中，OC1=2C1A1=2，
在Rt△OC2A2中，OC2=2C2A2 ， 则2+1+r2=2r2 ， 解得r2=3=31 ，
在Rt△OC3A3中，OC3=2C3A3 ， 则6+3+r3=2r3 ， 解得r3=9=32 ，
在Rt△OC4A4中，OC4=2C4A4 ， 则18+9+r4=2r4 ， 解得r4=27=33 ，
由此可得rn=3n﹣1 ．
故答案为rn=3n﹣1 ．
一、单选题
1.（2021九上·南开期中）如图，A,B 是⊙O上的两个点，BC是弦，若∠B=32° ，则∠OAC= （ ）
A. 64° B. 58° C. 68° D. 55°
2.（2021九上·鸡西期中）如图， AB 是 ⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点M， AM=2 ，BM=8 ，则 的长为（ ）
A. 4 B. 5 C. 8 D. 16
3.（2021九上·古冶期中）如图，BD是⊙O的直径，点A、C在圆上，且CD＝OB ， 则∠BAC＝（ ）
A. 120° B. 90° C. 60° D. 30°
4.（2021九上·古冶期中）如图，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O上，点P是弧CD上不同于点C的任意一点，则∠BPC＝（ ）
A. 45° B. 60° C. 75° D. 90°
5.（2021九上·无锡期中）如图，在⊙O中，半径r＝5，弦AB＝8，P是弦AB上的动点（不含端点A，B），若线段OP长为正整数，则点P的个数有（ ）
A. 2个 B. 5个 C. 4个 D. 3个
6.（2021九上·天心期中）如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BOC＝（ ）
A. 130° B. 100° C. 50° D. 65°
7.（2021九上·天心期中）在⊙O中，弦AB＝8cm，直径为16cm，则弦AB所对的圆周角为（ ）
A. 60° B. 120° C. 60°或120° D. 30°或150°
8.（2021九上·北京月考）已知 ⊙O 的半径为2，点 P 为 ⊙O 内一定点，且 PO=1 ，过点 P 作 ⊙O 的弦，其中最短的弦的长度是（ ）
A. 4 B. C. D. 2
9.（2021·贵州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝ ，AC＝6，BC＝8，若以AC为直径的☉O交AB于点D，则CD的长为（ ）
A. B. C. D. 5
10.（2021·沈丘模拟）如图， ⊙A ， ⊙B ， ⊙C ， ⊙D ， ⊙E 相互外离，它们的半径都是2，顺次连接五个圆心得到五边形 ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（ ）
A. B. C. D.
11.（2021九上·宁波期中）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于 A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA、PB，则△PAB面积的最大值是（ ）
A. 8 B. 12 C. D.
12.（2021九上·灌云期中）如图，在 中， ， cm， cm. 是 边上的一个动点，连接 ，过点 作 于 ，连接 ，在点 变化的过程中，线段 的最小值是（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
13.（2020·南宁模拟）如图，点 在半圆 上，半径 ， ，点 在弧 上移动，连接 ， 是 上一点， ，连接 ，点 在移动的过程中， 的最小值是（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
14.（2020九上·龙马潭期末）如图， ⊙O 的直径 AB 的长为 10 ，弦 AC 长为 6 ，∠ACB 的平分线交 ⊙O 于D，则 CD 长为（ ）
A. 7 B. 7 C. 8 D. 9
15.如图，MN是⊙O的直径，MN=2，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（ ）
A. 2 B. C. 1 D. 2
二、填空题
16.（2021九上·贵州期中）如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D。若AC=6，BD=5 ，则BC的长为 。
17.（2021九上·哈尔滨月考）如图，⊙O直径CD=20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，若OM：OC=3：5，则弦AB的长为 ．
18.（2021·成都）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 与 ⊙O 相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦 AB 的长为 .
19.（2021九上·温州期中）如图，已知⊙O的内接四边形ABCD，AB是直径，点C是 的中点，连结AC，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，过点D作DG⊥AB于点G，若△ABC的面积为5，△DEC的面积为1．
（1）△ACD的面积为 ；
（2）DG∶AB= ．
20.（2021·阜宁模拟）如图，在直角坐称系中，半径为1的⊙A圆心A的坐标为（﹣1，0），点P为直线上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是 .
21.（2021九上·江都期末）如图，半径为4cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P，从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H.设ΔOPH 的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为________.
22.（2020九上·武汉月考）如图， AB 为 ⊙O 的直径，C为 ⊙O 上一动点，将 AC 绕点A逆时针旋转120°得 AD ，若 AB=4 ，则 BD的最大值为 .
23.（2020九上·扬州期中）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝2，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为________.
24.（2020九上·龙马潭期末）如图， 内接于⊙O， ，D是⊙O上与点B关于圆心O成中心对称的点，P是 边上一点，连结 ．已知 ， ，Q是线段 上一动点，连结 并延长交四边形 的一边于点R，且满足 ，则 的值为________．
25.（2020·潮南模拟）如图，AB是半圆O的直径，且AB＝12，点C为半圆上的一点．将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O ， 则图中阴影部分的面积是________ ． （结果保留π）
26.（2018九上·邗江期中）如图，将弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，若AD=2，DB=3，则BC的长是 ．
27.如图，已知扇形AOB中，OA=3，∠AOB=120°，C是在 上的动点．以BC为边作正方形BCDE，当点C从点A移动至点B时，点D经过的路径长是 ．
28.如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为 .
29.如图，边长为1的菱形ABCD的两个顶点B、C恰好落在扇形AEF的弧EF上．若∠BAD=120°，则弧BC的长度等于 .
30.如图，a个半圆弧依次相外切，他们的圆心都在x轴的正半轴上，并都与直线相切，设半圆C1、半圆C2、半圆C3…、半圆Cn的半径分别为r1、r2、r3…、rn ， 当r1=1时，rn= （n＞1的自然数）
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【解析】【解答】解： ， ，
，
，
．
故答案为：B．
【分析】先求出∠AOC=64°，再根据OA=OC计算求解即可。
2.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB ，
∴CM=DM ，
∵AM=2，BM=8，
∴AB=10，
∴OA=OC=5，
在Rt△OCM中，OM2+CM2=OC2 ，
∴CM= =4，
∴CD=8．
故答案为：C．
【分析】先求出直径AB的长，再求出半径CO=AO=5，结合AM=2，即可得到OM=3，最后利用勾股定理求出CM的长，最后利用垂径定理可得CD=2CM。
3.【答案】 C
【解析】【解答】解：连接 ，
，
为等边三角形，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】先求出 为等边三角形，再求出∠BOC=120°，最后计算求解即可。
4.【答案】 A
【解析】【解答】解：连接OB ， OC ，
∵正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O上，
∴∠BOC=90°，
∴∠BPC= ∠BOC=45°．
故答案为：A．
【分析】先求出∠BOC=90°，再求出∠BPC= ∠BOC=45°即可作答。
5.【答案】 D
【解析】【解答】解：当P为AB的中点时，利用垂径定理得到OP⊥AB，此时OP最短，
∵AB＝8，∴AP＝BP＝4，
在直角三角形AOP中，OA＝5，AP＝4，
根据勾股定理得：OP＝ ＝ ，即OP的最小值为3；
当P与A或B重合时，OP最长，此时OP＝5，
∴3≤OP＜5，
则使线段OP的长度为整数，
∴OP＝3，4
根据对称性可知，满足条件的点P的个数有3个.
故答案为：D.
【分析】当P为AB的中点时，利用垂径定理得到OP⊥AB，AP=BP=4，此时OP最短，在Rt△AOP中，应用勾股定理求出OP；当P与A或B重合时，OP最长，此时OP＝5，据此可得OP的范围，结合OP长为整数可得OP的长，进而可得点P的个数.
6.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB＝ （∠ABC+∠ACB）＝ （180°﹣80°）＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°.
故答案为：A.
【分析】根据内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点得出OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，得出∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）=50°，再根据三角形内角和定理即可得出∠BOC＝180°-50°＝130°.
7.【答案】 D
【解析】【解答】解：如图，直径为16cm，
∴AO＝OB＝AB＝8cm；
∴△AOB是等边三角形；
则∠AOB＝60°；
∴∠F＝ ∠AOB＝30°；
∵四边形AEBF内接于⊙O，
∴∠E＝180°﹣∠F＝150°.
因此弦AB所对的圆周角为30°或150°；
故答案为：D.
【分析】先证出△AOB是等边三角形，得出∠AOB＝60°，根据圆周角定理得出∠F＝∠AOB＝30°，然后再根据圆内接四边形的性质得出∠E＝180°-∠F，即可得出答案.
8.【答案】 C
【解析】【解答】解：过点P作AB⊥OP，交 于A、B两点，连结OA，OB，
∵ 的半径为2，
∴OA=OB=2，
∵OP⊥AB，
∴AP=PB，
在Rt△AOP中，AP= ，
∴AB=2AP= ．
故答案为：择C．
【分析】过点P作AB⊥OP，交 于A、B两点，连结OA，OB，利用垂径定理得出P为AB的中点，在Rt△AOP中，利用勾股定理求出AP的值，由AB=2AP即可求出AB的长。
9.【答案】 C
【解析】【解答】解：在Rt△ACB中， ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理求出AB=10，由 为 的直径，可得 ， 根据 ， 即可求出CD.
10.【答案】 A
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】由题意根据扇形面积S=可求解.
11.【答案】 C
【解析】【解答】解：过C作CH⊥AB，延长HC交圆于P'，连接AC、P'B、P'A，
当x=0时，y=-3，当y=0时，x=4，
∴A（0，-3），B（4，0），
∴AB==5，
∵BC=OB+OC=3+1=4，
∴S△ACB=BC×OA=AB×CH，
∴CH== ，
∴HP'=CH+HP'=+1= ，
∴ △PAB面积的最大值=S△P'AB=×AB×HP'=×5×= .
故答案为：C.
【分析】过C作CH⊥AB，延长HC交圆于P'，连接AC、P'B、P'A， 则△PAB面积的最大值为S△P'AB ，
先求出直线AB与坐标轴交点的坐标，再利用勾股定理求出AB长，利用两点间坐标求出BC长，然后利用等积法求出CH长，则可求出HP'，最后计算△P'AB的面积即可.
12.【答案】 A
【解析】【解答】解：如图，
由题意知， ，
在以 为直径的 的 上（不含点 、可含点 ，
最短时，即为连接 与 的交点（图中点 点），
在 中， ， ，则 .
，
长度的最小值 .
故答案为：A.
【分析】以AC为直径作圆，圆心为M，作MF⊥AB于点F，由题意知∠AEC=90°，连接BM与圆相交于点E，此时BE取得最小值，在Rt△BCM中，应用勾股定理求出BM，据此求解.
13.【答案】 D
【解析】【解答】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM.
∵DH⊥AC，
∴∠AHD＝90°，
∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，
∴当M、H、B共线时，BH的值最小，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵ ， ，
∴AB= ，
∴BD＝ ，
∵MD= ，
∴BM＝ ，
∴BH的最小值为BM MH＝13 5＝8.
故答案为：D.
【分析】如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM.由题意点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，推出当M、H、B共线时，BH的值最小.
14.【答案】 B
【解析】【解答】解：作DF⊥CA，垂足F在CA的延长线上，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD
∴DF=DG， ，
∴DA=DB，
∵∠AFD=∠BGD=90°，
∴△AFD≌△BGD，
∴AF=BG．
易证△CDF≌△CDG，
∴CF=CG，
∵AC=6，BC=8，
∴AF=1，
∴CF=7，
∵△CDF是等腰直角三角形，
∴CD=7 ，
故答案为：B．
【分析】作DF⊥CA，交CA的延长线于点F，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．由CD平分∠ACB，根据角平分线的性质得出DF=DG，由HL证明△AFD≌△BGD，△CDF≌△CDG，得出CF=7，又△CDF是等腰直角三角形，从而求出CD=7 .
15.【答案】 B
【解析】【解答】解：如图，作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点，
此时PA+PB最小，且等于AC的长，
连接OA，OB，OC，
∵∠AMN=30°，
∴∠AON=60°，
∵ B为弧AN的中点，
∴∠BON=∠AON=30°，
∵点B和点C关于MN的对称，
∴∠CON=∠BON=30°，
∴∠AOC=∠AON+∠CON=90°，
∵直径MN=2，
∴OA=OC=1，
∴AC= ，
∴ PA+PB的最小值为.
故答案为：B.
【分析】 作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点，此时PA+PB最小，且等于AC的长，先证出∠AOC=90°，再根据勾股定理求出AC的长，即可求解.
二、填空题
16.【答案】 8
【解析】【解答】解：如图，连接AD，
∵AB为直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵CD为∠ACB的角平分线，
∴∠BCD=45°，
∴∠BAD=∠BCD=45°，
∴AB=BD= 5 ，
∴BC==8.
故答案为：8.
【分析】连接AD，由圆周角定理得出∠ACB=∠ADB=90°，然后由根据角平分线的定义求出∠BCD=45°，再由同弧所对的圆周角定理求出∠BAD=45°，则由等腰直角三角形的性质求出AB长，最后由勾股定理求BC长即可.
17.【答案】 16
【解析】【解答】解：连接OA，
⊙O的直径CD=20，
则⊙O的半径为10，
即OA=OC=10，
又∵OM：OC=3：5，
∴OM=6，
∵AB⊥CD，垂足为M，
∴AM=BM，
在Rt△AOM中，AM= =8，
∴AB=2AM=2×8=16，
故答案为：16．
【分析】连接OA，根据⊙O的直径CD=20，即OA=OC=10，根据OM：OC=3：5，求出OM=6，根据垂径定理可知，得出AM=BM，根据勾股定理，即可求出AM的值，由此得出AB的长度。
18.【答案】
【解析】【解答】解：过O作OE⊥AB于C，
∵AB为弦，
∴AC=BC= ，
∵直线 与 相交于A，B两点，
∴当y=0时， ，解得x=-2，
∴OA=2，
∴当x=0时， ，
∴OD= ，
在Rt△AOD中，由勾股定理 ，
∵∠ACO=∠AOD=90°，∠CAO=∠OAD，
∴△OAC∽△DAO，
即 ，
∴AB=2AC=2 ，
故答案为2 .
【分析】过O作OE⊥AB于C，由垂径定理可得AC=BC=AB，由题意分别令y=0和x=0可求得直线与x轴的交点A的坐标，与y轴点D的坐标，易得△OAC∽△DAO，可得比例式求得AD的值，则AB=2AC可求解.
19.【答案】 （1）3
（2）12:25
【解析】【解答】解：过点C作CF⊥AB于点F，
∵点C是弧DB的中点
∴弧CD=弧BC，
∴∠DAC=∠BAC，CD=BC
∴AC平分∠DAB，
∵CE⊥CD，
∴FC=CE，
在Rt△DEC和R△BFC中
∴Rt△DEC≌R△BFC（HL）
同理可证△AEC≌△ACF
∴S△DEC=S△BFC=1，S△AEC=S△ACF ，
∵S△ABC=S△ACF+S△BFC=5
∴S△AEC=S△ACF=5-1=4，
∴S△ADC=S△AEC-S△DEC=4-1=3.
故答案为：3.
（2）连接OC，BD交于点H，
∵
∴DA=3DE，
设DE=a，则DA=3a，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB=∠EDH=90°=∠E，
∵点C是弧BD的中点，
∴OC⊥BD
∴∠DHC=90°，
∴四边形DEHC是矩形，
∴CH=DE=a，
OH是△ADB的中位线
∴
∴OC=CH+OH=a+=
∴AB=2OC=5a，
∴ ，
∵
∴5a·DG=3a·4a
解之：DG=2.4a
∴DG∶AB=2.4a：5a=12:25.
故答案为：12:25.
【分析】 （1）过点C作CF⊥AB于点F，利用弧的中点及等弧所对圆周角相等，可知AC平分∠DAB，CD=BC，利用角平分线的性质可得到FC=CE；利用HL可证得Rt△DEC≌R△BFC，△AEC≌△ACF，利用全等三角形的面积相等可推出S△DEC=S△BFC=1，S△AEC=S△ACF ， 从而可求出△AEC的面积及△ACD的面积.
（2）连接OC，BD交于点H，利用△CDE和△ADC的面积可证得DA=3DE，设DE=a，则DA=3a；利用直径所对圆周角是直角，可证得∠ADB=∠EDH=90°=∠E，利用垂径定理可证得∠DHC=90°，由此可推出四边形DEHC是矩形，可得到CH=a，利用三角形的中位线定理可求出OH的长，即可表示出圆的半径，再表示出圆的直径AB的长；再利用勾股定理求出BD的长，利用直角三角形的两个面积公式可表示出DG的长；然后求出DG∶AB的值.
20.【答案】 2
【解析】【解答】解：过点P作⊙A的切线，切点为Q，连接AP、AQ，设直线 与x、y轴的交点分别为B、C，如图所示：
∴∠AQP=90°，
令y=0时，则 ，解得 ，令x=0时，则y=2，
∴OC=2，OB=4，
∵半径为1的⊙A圆心A的坐标为（﹣1，0），
∴ ，
∴AB=5，
∴在Rt△PQA中， ，
∴当切线长PQ为最小时，则AP为最小，由此可得当AP与直线 垂直时AP取最小，连接AC，则由勾股定理可得 ，
∴ ，
∴AC⊥BC，
∴当点P与点C重合时，PQ取最小值，如图所示，
∵OA=AQ，AC=AC，∠AQP=∠AOP=90°，
∴△AQP≌△AOP（HL），
∴OP=PQ=2，
∴PQ的最小值为2；
故答案为2.
【分析】过点P作⊙A的切线，切点为Q，连接AP、AQ，设直线 与x、y轴的交点分别为B、C，可得∠AQP=90°，利用勾股定理可得 ， 可知当AP最小时，PQ最小，根垂线段最短，可知当AP⊥BC时，AP最小，此时当点P与点C重合时，证明Rt△AQP≌Rt△AOP,可得OP=PQ=2，据此即得结论.
21.【答案】
【解析】【解答】解：如图，连OI，PI，AI，
∵△OPH的内心为I，
∴∠IOP=∠IOA，∠IPO=∠IPH，
∴∠PIO= -∠IPO-∠IOP= - （∠HOP+∠OPH），
而PH⊥OA，即∠PHO= ，
∴∠PIO= - （∠HOP+∠OPH）= - （ - ）= ，
又∵OP=OA，OI公共，
而∠IOP=∠IOA，
∴△OPI≌△OAI，
∴∠AIO=∠PIO= ，
所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为 的一段劣弧上；
过A、I、O三点作⊙O′，如图，连O′A，O′O，
在优弧AO上取点P，连PA，PO，
∵∠AIO= ，
∴∠APO= - = ，
∴∠A O= ，而OA=4cm，
∴∠AO = ，
∴O′O= OA= ×4=2 ，
∴弧OA的长= （cm），
所以内心I所经过的路径长为 cm.
故答案为： cm..
【分析】如图，连OI，PI，AI，由△OPH的内心为I，可得到∠PIO= -∠IPO-∠IOP= - （∠HOP+∠OPH）= ，并且易证△OPI≌△OAI，得到∠AIO=∠PIO= ，所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为 的一段劣弧上；过A、I、O三点作⊙O′，如图，连O′A，O′O，在优弧AO上取点P，连PA，PO，可得∠APO= - = ，得∠A O= ， OA= ×4=2 ，然后利用弧长公式计算弧OA的长.
22.【答案】
【解析】【解答】解：将△ABD绕点A顺时针旋转120°，则D与点C重合，B′是定点，
BD的最大值即B′C的最大值，当B′，O，C三点共线时，BD最大
过点B′作B′E⊥AB，交BA的延长线于点E
由题意可得A′B=AB=4，∠EAB′=60°
∴AE=2，B′E= ，OC=OB=2
在Rt△OEB′中，B′O=
∴B′D= B′O+OC= .
故答案为： .
【分析】将△ABD绕点A顺时针旋转120°，则D与点C重合，B′是定点，BD的最大值即B′C的最大值，过点B′作B′E⊥AB，交BA的延长线于点E，由题意可得A′B=AB=4，∠EAB′=60°，求出AE、B′E、OC的值，在Rt△OEB′中，应用勾股定理求出B′O，据此求解.
23.【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H.
∵AQ=QP
∴OQ⊥PA
∴∠AQO=90°
∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK
当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，
在 中，∵∠COH=60°，OC=1
∴OH= ，
在 中，
∴CQ的最大值为 .
故答案为： .
【分析】连接OQ，作CH⊥AB于H，首先证明点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题.
24.【答案】 1或
【解析】【解答】解：因为 内接于圆， ，D是⊙O上与点B关于圆心O成中心对称的点，
∴AB=BC=CD=AD,
是正方形
①点R在线段AD上，
∵AD∥BC，
∴∠ARB=∠PBR，∠RAQ=∠APB，
∵AP=BR，
∴△BAP≌ABR，
∴AR=BP，
在△AQR与△PQB中，
，
②点R在线段CD上，此时△ABP≌△BCR，
∴∠BAP=∠CBR．
∵∠CBR+∠ABR=90°，
∴∠BAP+∠ABR=90°，
∴BQ是直角△ABP斜边上的高，
∴QR=BR-BQ=5-2.4=2.6，
.
故答案为：1或 .
【分析】首先证明四边形ABCD为正方形，即可得到AD∥BC，根据题意，由R点的位置，判断得到答案即可。
25.【答案】 6π
【解析】【解答】
做出辅助线，如图所示，在Rt三角形BOD中, OB=R=6,OD=3
所以∠OBD=30°，∠AOC=60°，
∴阴影部分面积对应的圆心角为60°，代入公式可得
【分析】根据直角三角形的性质可得出角的度数的关系，利用扇形面积公式可得出阴影部分面积。
26.【答案】
【解析】【解答】∵弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，
∴弧BC等于弧BDC，
∴∠BAC=∠BCD+∠CBD，
在△BCD中，∠ADC=∠BCD+∠CBD，
∴∠BAC=∠ADC，
∴AC=CD，
过点C作CE⊥AD于E，
则AE=DE= AD= ×2=1，
∴BE=BD+DE=3+1=4，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCE=∠ACB=90°，
∵∠ACE+∠CAE=180°-90°=90°，
∴∠CAE=∠BCE，
又∵∠AEC=∠BEC=90°，
∴△ACE∽△CBE，
∴ = ，
∴CE2=AE BE，
∴CE=2
在Rt△BCE中，BC2=4+16=20
BC=
【分析】根据已知弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，可得出弧BC等于弧BDC，就可证得AC=CD，过点C作CE⊥AD于E，利用等腰三角形的性质，可求出DE的长，就可求出BE的长，再由圆周角定理，可证得∠ACB=90°，利用同角的余角相等，可得出∠CAE=∠BCE，然后利用相似三角形的判定，可证得△ACE∽△CBE，的长对应边成比例，求出CE的长，在Rt△BCE中利用勾股定理求出BC的长。
27.【答案】 2 π
【解析】【解答】解：如图，由此BO交⊙O于F，取 的中点H，连接FH、HB、BD．
易知△FHB是等腰直角三角形，HF=HB，∠FHB=90°，
∵∠FDB=45°= ∠FHB，
∴点D在⊙H上运动，轨迹是 （图中红线），
易知∠HFG=∠HGF=15°，
∴∠FHG=150°，
∴∠GHB=120°，易知HB=3 ，
∴点D的运动轨迹的长为 =2 π．
故答案为2 π．
【分析】由此BO交⊙O于F，取 弧B F 的中点H，连接FH、HB、BD．可证得△FHB是等腰直角三角形，可以得到HF=HB，∠FHB=90°，就可以求出∠FDB的度数，进而可知道点D就是在⊙H上运动，它的运动轨迹就是弧GB的长，∠AOB=120°推出∠AOF=60°，得出△AOF是等边三角形，易求得∠∠HFG=∠HGF=15°，就可得∠FHG的度数，从而求出圆心角∠GHB的度数，在Rt△BHF中可以求出半径HB的长，利用弧长公式就可以求得点D的运动轨迹的长。
28.【答案】 8， ，
【解析】【解答】解：①当BA=BP时，
易得AB=BP=BC=8，即线段BC的长为8．
②当AB=AP时，如图1，延长AO交PB于点D，过点O作OE⊥AB于点E，则AD⊥PB，AE=AB=4，
∴BD=DP，
在Rt△AEO中，AE=4，AO=5，
∴OE=3，
易得△AOE∽△ABD，
∴= ，
∴BD= ，
∴BD=PD= ， 即PB= ，
∵AB=AP=8，
∴∠ABD=∠P，
∵∠PAC=∠ADB=90°，
∴△ABD∽△CPA，
∴= ，
∴CP= ，
∴BC=CP﹣BP=-=；
③当PA=PB时
如图2，连接PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接OB，
则PF⊥AB，
∴AF=FB=4，
在Rt△OFB中，OB=5，FB=4，
∴OF=3，
∴FP=8，
易得△PFB∽△CGB，
∴== ，
设BG=t，则CG=2t，
易得∠PAF=∠ACG，
∵∠AFP=∠AGC=90°，
∴△APF∽△CAG，
∴= ，
∴= ， 解得t= ，
在Rt△BCG中，BC=t= ，
综上所述，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为8， ， ，
故答案为：8， ， ．
【分析】①当BA=BP时，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；
②当AB=AP时，如图1，延长AO交PB于点D，过点O作OE⊥AB于点E，易得△AOE∽△ABD，利用相似三角形的性质求得BD，PB，然后利用相似三角形的判定定理△ABD∽△CPA，代入数据得出结果；
③当PA=PB时，如图2，连接PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接OB，则PF⊥AB，易得AF=FB=4，利用勾股定理得OF=3，FP=8，易得△PFB∽△CGB，利用相似三角形的性质=， 设BG=t，则CG=2t，利用相似三角形的判定定理得△APF∽△CAG，利用相似三角形的性质得比例关系解得t，在Rt△BCG中，得BC．
29.【答案】
【解析】【解答】 ∵菱形ABCD中，AB=BC，
又∵AC=AB，
∴AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形．
∴∠BAC=60°，
∴弧BC的长是： =故答案是：
【分析】本题考查了弧长公式，理解B，C两点恰好落在扇形AEF的弧EF上，即B、C在同一个圆上，得到△ABC是等边三角形是关键．
30.【答案】 3n﹣1
【解析】【解答】解：过C1、C2、C3、…、Cn作直线y=x的垂线，垂足分别为A1、A2、A3、An ， 如图，
∵a个半圆弧都与直线y=x相切，
∴C1A1⊥OA1 ， C2A2⊥OA2 ， C3A3⊥OA，…，CnAn⊥OAn ，
∵x=1时，y=x= ，
∴直线y=x与x轴的正半轴的夹角为30°，
∵a个半圆弧依次相外切，
∴C1C2=r1+r2 ， C2C3=r2+r3 ， …，
在Rt△OC1A1中，OC1=2C1A1=2，
在Rt△OC2A2中，OC2=2C2A2 ， 则2+1+r2=2r2 ， 解得r2=3=31 ，
在Rt△OC3A3中，OC3=2C3A3 ， 则6+3+r3=2r3 ， 解得r3=9=32 ，
在Rt△OC4A4中，OC4=2C4A4 ， 则18+9+r4=2r4 ， 解得r4=27=33 ，
由此可得rn=3n﹣1 ．
故答案为rn=3n﹣1 ．