2021-2022学年鲁教版（五四制）八年级数学上册第5章平行四边形 知识点分类训练(word版含答案)
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年鲁教版（五四制）八年级数学上册第5章平行四边形 知识点分类训练(word版含答案) |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 560.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-11 18:33:16 | ||
图片预览
文档简介
2021-2022学年鲁教版八年级数学上册《第5章平行四边形》知识点分类训练（附答案）
一．三角形中位线定理
1．如图，AD为△ABC的角平分线，BE⊥AD于E，F为BC中点，连接EF，若∠BAC＝80°，∠EBD＝20°，则∠EFD＝（ ）
A．26° B．28° C．30° D．32°
2．为了测量水池的宽AB，在水池外找一点P，点C，D分别为PA，PB的中点，测得CD＝8m，则水池的宽AB为（ ）
A．16m B．14m C．12m D．10m
3．如图，在四边形ABCD中，G是对角线BD的中点，点E、F分别是BC、AD的中点，AB＝DC，∠ABD＝100°，∠BDC＝44°．则∠GEF的度数是（ ）
A．10° B．20° C．28° D．30°
4．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连接AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG．DE，FG，的中点分别是M，N，P，Q．若MP+NQ＝14，AC+BC＝18，则AB的长为（ ）
A． B． C．13 D．16
5．如图∠A＝∠ABC＝∠C＝45°，E、F分别是AB、BC的中点，则下列结论，①EF⊥BD，②EF＝BD，③∠ADC＝∠BEF+∠BFE，④AD＝DC，其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
6．如图，△ABC纸片中，AB＝BC＞AC，点D是AB边的中点，点E在边AC上，将纸片沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处．则下列结论成立的个数有（ ）
①△BDF是等腰直角三角形；②∠DFE＝∠CFE；③DE是△ABC的中位线；④BF+CE＝DF+DE．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，CF平分∠ACB，交DE于点F，若BC＝10，AC＝4，则DF的长为 ．
8．在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD且AC＝6、BD＝8，E、F分别是边AB、CD的中点，则EF＝ ．
9．如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D．若BC＝4，则CD的长是多少？
10．求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．（要求：先画出图形并写出已知、求证，再写出证明过程）
11．如图，在△ABC中，AB＝12cm，AC＝8cm，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF．
（1）说明：AC＝AG；
（2）求线段EF的长．
12．几何证明
（1）已知：如图1，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交．求证：FG＝（AB+BC+AC）．
（2）若BD、CE分别是△ABC的内角平分线，其余条件不变（如图2），线段FG与△ABC的三边又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．
13．已知△ABC中，BC＝6cm，E、F分别是AB、AC的中点，那么EF长是 cm．
14．观察探究，完成证明和填空．
如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H，得到的四边形EFGH叫中点四边形．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图，当四边形ABCD变成等腰梯形时，它的中点四边形是菱形，请你探究并填空：
当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是 ；
当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是 ；
当四边形ABCD变成菱形时，它的中点四边形是 ；
当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是 ；
（3）根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？
二．多边形的对角线
15．下列说法正确的是（ ）
A．射线AB和射线BA是同一条射线
B．连接两点的线段叫两点间的距离
C．两点之间，直线最短
D．七边形的对角线一共有14条
16．已知过一个多边形的一个顶点可以引2条对角线，则它是（ ）
A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形
三．多边形内角与外角
17．正八边形的每个内角为（ ）
A．120° B．135° C．140° D．144°
四．平行四边形的性质
18．如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝90°，AC＝10，BD＝6，则AD的长是（ ）
A．4 B． C．8 D．2
19．下列图形中，∠A与∠C不一定相等的是（ ）
A．等边三角形ABC B．等腰三角形ABC
C．平行四边形ABCD D．正六边形ABCDEF
20．已知点A（0，0），B（0，4），C（3，t+4），D（3，t）．记N（t）为 ABCD内部（不含边界）整点的个数，其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点，则N（t）所有可能的值为（ ）
A．6、7 B．7、8 C．6、7、8 D．6、8、9
21．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝1，则AE的边长为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．8
22．如图，在 ABCD中，AD＝12cm，AB＝8cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则CE的长为 ．
23．如图， ABCD的一个外角∠CDE是140°，则∠B的大小是 °．
24．在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB＝5，BC＝6，则CE+CF的值为 ．
25．已知点D与点A（8，0），B（0，6），C（a，﹣a）是一平行四边形的四个顶点，则CD长的最小值为 ．
26．如图，点E在 ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE．
（1）求证：△BCE≌△ADF；
（2）设 ABCD的面积为6，求四边形AEDF面积．
27．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE＝DF，连接AE并延长，交BC于点G，连接CF并延长，交AD于点H．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若AC平分∠HAG，判断四边形AGCH的形状，并证明你的结论．
28．在平行四边形ABCD中，AC＝BC，BE⊥AC分别交直线AC、AD于点E、F．点G是BC上一点，连接EG，过点G作GQ⊥AB分别交BF、AB于点P、Q．
（1）如图1，若AB＝AC，BE＝3，求AF的长度．
（2）如图2，若PG＝2BQ，请探究EG、BG、CG的数量关系，并说明理由．
29．已知：如图，点E、F分别为 ABCD的BC、AD边上的点，且∠1＝∠2．
求证：AE＝FC．
五．平行四边形的判定
30．在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB＝BC，CD＝DA B．AB∥CD，∠A＝∠C
C．AB∥CD，AD＝BC D．∠A＝∠B，∠C＝∠D
31．八年级（1）班的一个互助学习小组组长收集并整理了组员们讨论如下问题时所需的条件．如图所示，在四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上．
求证：四边形AECF是平行四边形．
条件分别是①BE＝DF；②∠B＝∠D；③∠BAE＝∠DCF；④四边形ABCD是平行四边形．其中所填的条件符合题目要求的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①④ D．④
32．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：
①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；
③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC．
其中一定能判断这个四边形是平行四边形的条件共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
33．已知四边形ABCD，有以下四个条件：①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD．从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法种数共有（ ）
A．6种 B．5种 C．4种 D．3种
34．在如图的网格中，以格点A、B、C、D、E、F中的4个点为顶点，你能画出平行四边形的个数为 个．
35．如图，点A是直线l外一点，在1上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB、AD、CD，则四边形ABCD是平行四边形，理由是 ．
36．如图，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，AD⊥BC，∠BAC≠90度．将此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平行四边形，则能拼出平行四边形 个．
37．用两个全等的三角形（三边不等）共能拼成 个不同的平行四边形．
38．如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．求证：四边形ADCE是平行四边形．
39．如图点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，使得AB＝10cm，AD＝6cm，分别以点B，D为圆心，作BC＝6cm，CD＝10cm交于点C，连接CD，BC，四边形ABCD的是平行四边形吗？请说明理由．
40．已知，如图E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．
41．我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形．请解答下列问题：
（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；
（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论．
六．平行四边形的判定与性质
42．下列各组条件中，不能判断一个四边形是平行四边形的是（ ）
A．一组对边相等且平行的四边形
B．两条对角线互相平分的四边形
C．一组对边平行另一组对边相等的四边形
D．两组对角分别相等的四边形
43．如图平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形的个数共有（ ）
A．12个 B．9个 C．7个 D．5个
44．已知：如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在AO，CO上，且AE＝CF，求证：∠EBO＝∠FDO．
45．如图，在平行四边形ABCD中，BE＝DF，求证：四边形AECF为平行四边形．
参考答案
一．三角形中位线定理
1．解：延长BE交AC于G，如图所示：
∵AD平分∠BAC，∠BAC＝80°，
∴∠BAE＝∠GAE＝∠BAC＝40°，
∵BE⊥AD，
∴∠BEA＝∠GEA＝90°，
∵AE＝AE，
∴△ABE≌△AGE（ASA），
∴BE＝GE，
∵F为BC的中点，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF∥GC，
∴∠EFD＝∠C，
∵∠BEA＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣∠BAE＝90°﹣40°＝50°，
∴∠ABC＝∠ABE+∠EBD＝50°+20°＝70°，
∴∠EFD＝∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣80°﹣70°＝30°，
故选：C．
2．解：∵点C，D分别为PA，PB的中点，CD＝8m，
∴AB＝2CD＝2×8＝16（m），
故选：A．
3．解：∵点E、G分别是BC、BD的中点，
∴EG∥DC，EG＝DC，
∴∠BGE＝∠BDC＝44°，
∵点F、G分别是AD、BD的中点，
∴FG∥AB，FG＝AB，
∴∠BGF＝180°﹣∠ABD＝80°，
∴∠EGF＝80°+44°＝124°，
∵AB＝DC，
∴GE＝GF，
∴∠GEF＝∠GFE＝×（180°﹣124°）＝28°，
故选：C．
4．解：连接OP，OQ，
∵DE，FG，的中点分别是M，N，P，Q，
∴OP⊥AC，OQ⊥BC，
∴H、I是AC、BD的中点，
∴OH+OI＝（AC+BC）＝9，
∵MH+NI＝AC+BC＝18，MP+NQ＝14，
∴PH+QI＝18﹣14＝4，
∴AB＝OP+OQ＝OH+OI+PH+QI＝9+4＝13，
故选：C．
5．解：如下图所示：连接AC，延长BD交AC于点M，延长AD交BC于Q，延长CD交AB于P．
∵∠ABC＝∠C＝45°∴CP⊥AB
∵∠ABC＝∠A＝45°∴AQ⊥BC
点D为两条高的交点，所以BM为AC边上的高，即：BM⊥AC．
由中位线定理可得EF∥AC，EF＝AC∴BD⊥EF，故①正确．
∵∠DBQ+∠DCA＝45°，∠DCA+∠CAQ＝45°，
∴∠DBQ＝∠CAQ，
∵∠A＝∠ABC，∴AQ＝BQ，
∵∠BQD＝∠AQC＝90°，
∴根据以上条件得△AQC≌△BQD，∴BD＝AC∴EF＝AC，故②正确．
∵∠A＝∠ABC＝∠C＝45°
∴∠DAC+∠DCA＝180°﹣（∠A+∠ABC+∠C）＝45°
∴∠ADC＝180°﹣（∠DAC+∠DCA）＝135°＝∠BEF+∠BFE＝180°﹣∠ABC
故③∠ADC＝∠BEF+∠BFE成立；
无法证明AD＝CD，故④错误．
故选：B．
6．解：①根据折叠知AD＝DF，所以BD＝DF，即一定是等腰三角形．因为∠B不一定等于45°，所以①错误；
②连接AF，交DE于G，根据折叠知DE垂直平分AF，又点D是AB边的中点，在△ABF中，根据三角形的中位线定理，得DG∥BF．进一步得E是AC的中点．由折叠知AE＝EF，则EF＝EC，得∠C＝∠CFE．又∠DFE＝∠A＝∠C，所以∠DFE＝∠CFE，正确；
③在②中已证明正确；
④根据折叠以及中位线定理得右边＝AB，要和左边相等，则需CE＝CF，则△CEF应是等边三角形，显然不一定，错误．
故选：B．
7．解：∵D、E分别为AB、AC的中点，BC＝10，AC＝4，
∴DE＝BC＝5，DE∥BC，EC＝AC＝2，
∴∠EFC＝∠BCF，
∵CF平分∠ACB，
∴∠ECF＝∠BCF，
∴∠EFC＝∠ECF，
∴EF＝EC＝2，
∴DF＝DE﹣EF＝5﹣2＝3，
故答案为：3．
8．解：如图，取BC的中点G，连接EG、FG，
∵E、F分别是边AB、CD的中点，
∴EG∥AC且EG＝AC＝×6＝3，
FG∥BD且FG＝BD＝×8＝4，
∵AC⊥BD，
∴EG⊥FG，
∴EF＝＝＝5．
故答案为：5．
9．解：∵M，N分别是AB和AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN＝BC＝2，MN∥BC，
∴∠NME＝∠D，∠MNE＝∠DCE，
∵点E是CN的中点，
∴NE＝CE，
在△MNE和△DCE中，
，
∴△MNE≌△DCE（AAS），
∴CD＝MN＝2．
10．已知，如图，DE是△ABC的中位线，AF是△ABC的中线，AF、DE交于点O．
求证：OA＝OF，OD＝OE，
证明：连接DF、EF，
∵D、F分别是AB、BC的中点，
∴DF∥AC，
同理可得，EF∥AB，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴OA＝OF，OD＝OE，即三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．
11．（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵CG⊥AD，
∴∠AFG＝∠AFC＝90°，
在△GAF和△CAF中，
，
∴△GAF≌△CAF（ASA），
∴AC＝AG；
（2）解：∵AC＝8cm，
∴AG＝AC＝8cm，
∴BG＝AB﹣AG＝12﹣8＝4（cm），
∵△GAF≌△CAF，
∴CF＝FG，
∵CE＝EB，
∴EF＝BG＝×4＝2（cm）．
12．解：（1）如图1，∵AF⊥BD，∠ABF＝∠MBF，
∴∠BAF＝∠BMF，
在△ABF和△MBF中，
∵，
∴△ABF≌△MBF（ASA）
∴MB＝AB
∴AF＝MF，
同理：CN＝AC，AG＝NG，
∴FG是△AMN的中位线
∴FG＝MN，
＝（MB+BC+CN），
＝（AB+BC+AC）．
（2）图2中，FG＝（AB+AC﹣BC）
理由如下：如图2，
延长AG、AF，与直线BC相交于M、N，
∵由（1）中证明过程类似证△ABF≌△NBF，
∴NB＝AB，AF＝NF，
同理CM＝AC，AG＝MG
∴FG＝MN，
∴MN＝2FG，
∴BC＝BN+CM﹣MN＝AB+AC﹣2FG，
∴FG＝（AB+AC﹣BC），
答：线段FG与△ABC三边的数量关系是FG＝（AB+AC﹣BC）．
13．解：∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝BC＝＝3cm．
故答案为：3．
14．（1）证明：连接BD．
∵E、H分别是AB、AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线．
∴EH＝BD，EH∥BD．
同理得FG＝BD，FG∥BD．
∴EH＝FG，EH∥FG．
∴四边形EFGH是平行四边形．
（2）填空依次为平行四边形，菱形，矩形，正方形；
（3）中点四边形的形状是由原四边形的对角线的关系决定的．
故答案为平行四边形、菱形、矩形、正方形．
二．多边形的对角线
15．解：A、射线AB和射线BA是不同的射线，故选项A不合题意；
B、连接两点的线段的长度叫两点间的距离，故选项B不合题意；
C、两点之间线段最短，故选项C不合题意；
D、七边形的对角线一共有（条），故选项D符合题意．
故选：D．
16．解：设多边形的边数为n．
根据题意得；n﹣3＝2．
解得：n＝5．
故选：B．
三．多边形内角与外角
17．解：根据正八边形的内角公式得出：[（n﹣2）×180]÷n＝[（8﹣2）×180]÷8＝135°．
故选：B．
四．平行四边形的性质
18．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD＝BD＝3，OA＝OC＝AC＝5，
∵∠ADB＝90°，
∴AD＝＝＝4．
故选：A．
19．解：A、∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠C＝60°，故选项A不符合题意；
B、∵△ABC是等腰三角形，
∴∠A＝∠B或∠A＝∠C或∠B＝∠C，故选项B符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，故选项C不符合题意；
D、∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠A＝∠C＝120°，故选项D不符合题意；
故选：B．
20．解：当t＝0时，A（0，0），B（0，4），C（3，4），D（3，0），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），共6个点；
当t＝1时，A（0，0），B（0，4），C（3，5），D（3，1），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），共8个点；
当t＝1.5时，A（0，0），B（0，4），C（3，5.5），D（3，1.5），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），共7个点；
当t＝2时，A（0，0），B（0，4），C（3，6），D（3，2），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），共8个点；
故选项A错误，选项B错误；选项D错误，选项C正确；
故选：C．
21．解：∵AE为∠DAB的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵DC∥AB，
∴∠BAE＝∠DFA，
∴∠DAE＝∠DFA，
∴AD＝FD，
又F为DC的中点，
∴DF＝CF，
∴AD＝DF＝DC＝AB＝2，
在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG＝，
则AF＝2AG＝2，
∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DAF＝∠E，∠ADF＝∠ECF，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴AF＝EF，
则AE＝2AF＝4．
故选：B．
22．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝12cm，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴BE＝AB＝8cm，
∴CE＝BC﹣BE＝4cm．
故答案为：4cm．
23．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠ADC，
∵∠CDE＝140°，
∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝40°，
∴∠B＝40°，
故答案为：40．
24．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝5，BC＝AD＝6，
①如图：
由平行四边形面积公式得：BC×AE＝CD×AF＝15，
求出AE＝，AF＝3，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，由勾股定理得：AB2＝AE2+BE2，
把AB＝5，AE＝代入求出BE＝，
同理DF＝3＞5，即F在DC的延长线上（如上图），
∴CE＝6+，CF＝3+5，
即CE+CF＝11+，
②如图：
∵AB＝5，AE＝，在△ABE中，由勾股定理得：BE＝，
同理DF＝3，由①知：CE＝6﹣，CF＝3﹣5，
∴CE+CF＝1+，
故答案为：11+或1+．
25．解：有两种情况：
①CD是平行四边形的一条边，那么有AB＝CD＝＝10
②CD是平行四边形的一条对角线，
过C作CM⊥AO于M，过D作DF⊥AO于F，交AC于Q，过B作BN⊥DF于N，
则∠BND＝∠DFA＝∠CMA＝∠QFA＝90°，
∠CAM+∠FQA＝90°，∠BDN+∠DBN＝90°，
∵四边形ACBD是平行四边形，
∴BD＝AC，∠C＝∠D，BD∥AC，
∴∠BDF＝∠FQA，
∴∠DBN＝∠CAM，
∵在△DBN和△CAM中
∴△DBN≌△CAM（AAS），
∴DN＝CM＝a，BN＝AM＝8﹣a，
D（8﹣a，6+a），
由勾股定理得：CD2＝（8﹣a﹣a）2+（6+a+a）2＝8a2﹣8a+100＝8（a﹣）2+98，
当a＝时，CD有最小值，是
∵＜10，
∴CD的最小值是＝7，
故答案为：7．
26．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵AF∥BE，
∴∠EBA+∠BAF＝180°，
∴∠CBE＝∠DAF，
同理得∠BCE＝∠ADF，
在△BCE和△ADF中，
，
∴△BCE≌△ADF（ASA）；
（2）解：∵点E在 ABCD内部，
∴S△BEC+S△AED＝S ABCD，
由（1）知：△BCE≌△ADF，
∴S△BCE＝S△ADF，
∴S四边形AEDF＝S△ADF+S△AED＝S△BEC+S△AED＝S ABCD，
∵ ABCD的面积为6，
∴四边形AEDF的面积为3．
27．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，
即OE＝OF，
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE＝CF．
（2）四边形AGCH是菱形．理由如下：
∵△AOE≌△COF，
∴∠EAO＝∠FCO，
∴AG∥CH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴四边形AGCH是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴∠HAC＝∠ACB，
∵AC平分∠HAG，
∴∠HAC＝∠GAC，
∵∠GAC＝∠ACB，
∴GA＝GC，
∴平行四边形AGCH是菱形．
28．解：（1）如图1，∵AB＝AC，
∴设AB＝6x，AC＝5x，
∴AC＝BC＝5x，
∵BE⊥AC，BE＝3，
∴，
解得：x＝，AE＝x＝，CE＝x＝，
∴BC＝5×＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴AF＝．
（2）BG2+CG2＝2EG2.理由如下：
如图2，过点G作GH∥AC交AB于点H，交BE于点K，作GM⊥AC于点M，
∵AC＝BC，
∴∠CBA＝∠CAB，
∵GH∥AC，
∴∠GHB＝∠CAB，
∴∠CBA＝∠GHB，
∴GH＝GB，
∵GQ⊥AB，
∴BQ＝HQ，即BH＝2BQ，
∵PG＝2BQ，
∴BH＝PG，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∵GH∥AC，
∴∠BKG＝∠BEC＝90°，
∴∠GKE＝180°﹣∠BKG＝90°，∠BKH＝∠BEC＝90°，
∴∠BKH＝∠GKP，
∵∠HBK+∠BHK＝90°，∠PGK+∠BHK＝90°，
∴∠HBK＝∠PGK，
∴△BHK≌△GPK（AAS），
∴BK＝GK，
∴∠KBG＝∠KGB＝45°，
∴KG＝BG sin∠KBG＝BG sin45°＝BG，
∵GH∥AC，
∴∠BCE＝∠BGK＝45°，
∵∠CMG＝90°，
∴GM＝CG sin∠GCM＝CG sin45°＝CG，
∵∠GME＝∠MEK＝∠EKG＝90°，
∴四边形EKGM是矩形，
∴EK＝GM＝CG，
在Rt△EGK中，∵EK2+KG2＝EG2，
∴（BG）2+（CG）2＝EG2，
∴BG2+CG2＝EG2，
∴BG2+CG2＝2EG2．
29．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D．
在△ABE与△CDF中，
∴△ABE≌△CDF．
∴AE＝CF．
五．平行四边形的判定
30．解：如图示，
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠B+∠A＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
根据平行四边形的判定定理可知：只有B符合条件．
故选：B．
31．解：当添加①④时，可得四边形AECF是平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BE＝DF，
∴AD﹣DF＝BC﹣BE，
∴AF＝EC，且AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
故选：C．
32．解：①根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知①能判断这个四边形是平行四边形；
②根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知②能判断这个四边形是平行四边形；
③根据平行四边形的判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知③能判断这个四边形是平行四边形；
④根据平行四边形的判定定理：一组对边平行，一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，可知④错误；
故给出下列四组条件中，①②③能判断这个四边形是平行四边形，
故选：C．
33．解：依题意得有四种组合方式：
（1）①③，利用两组对边平行的四边形是平行四边形判定；
（2）②④，利用两组对边相等的四边形是平行四边形判定；
（3）①②或③④，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定．
故选：C．
34．解：如图所示：
图中平行四边形有 ABEC， BDEC， BEFC共3个．
故答案为：3．
35．解：∵分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，
∴AD＝BC AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
36．解：若要拼成平行四边形，即是分别让它们的一组对应边重合，另外两组对应边分别平行．
故能拼出3个．
故答案为：3．
37．解：（如图）利用全等三角形的对应边相等，分别让三条边重合（作为平行四边形的对角线），就可以得到三个不同的平行四边形
38．证明：∵CE∥AB，
∴∠FAD＝∠FCE，∠ADF＝∠CEF，
∵F是AC中点，
∴AF＝CF，
在△AFD与△CFE中，
，
∴△AFD≌△CFE（AAS），
∴DF＝EF，
∴四边形ADCE是平行四边形．
39．解：四边形ABCD的是平行四边形，理由如下：
∵AB＝10cm，AD＝6cm，BC＝6cm，CD＝10cm，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
40．解：结论：四边形ABCD是平行四边形，
证明：∵DF∥BE，
∴∠AFD＝∠CEB，
又∵AF＝CE DF＝BE，
∴△AFD≌△CEB（SAS），
∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，
∴AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
41．解：（1）等腰梯形、矩形、正方形．
（2）结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长．
已知：四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC＝BD，
且∠AOD＝60度．
求证：BC+AD≥AC．
证明：过点D作DF∥AC，在DF上截取DE，使DE＝AC．
连接CE，BE．
故∠EDO＝60°，四边形ACED是平行四边形．
∵AC＝DE，AC＝BD，
∴DE＝BD，
∵∠EDO＝60°，
∴△BDE是等边三角形．
所以DE＝BE＝AC．
①当BC与CE不在同一条直线上时（如图1），
在△BCE中，有BC+CE＞BE．
所以BC+AD＞AC．
②当BC与CE在同一条直线上时（如图2），
则BC+CE＝BE．
因此BC+AD＝AC
综合①、②，得BC+AD≥AC．
即等对角线四边形中两条对角线所夹角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长．
六．平行四边形的判定与性质
42．解：A、∵一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，
∴选项A不符合题意；
B、∵两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴选项B不符合题意；
C、∵一组对边平行另一组对边相等的四边形可能是平行四边形或等腰梯形，
∴选项C符合题意；
D、∵两组对角分别相等的四边形是平行四边形，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
43．解：根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，则图中的四边AEOH，HOFD，EBNO，ONCF，AEFD，EBCF，ABNH，HNCD，ABCD都是平行四边形，共9个．
故选：B．
44．证明：连接DE、BF，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∵AE＝CF，
∴OE＝OF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE∥DF，
∴∠EBO＝∠FDO．
45．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵BE＝DF，
∴AB﹣BE＝CD﹣DF，
即AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形．
一．三角形中位线定理
1．如图，AD为△ABC的角平分线，BE⊥AD于E，F为BC中点，连接EF，若∠BAC＝80°，∠EBD＝20°，则∠EFD＝（ ）
A．26° B．28° C．30° D．32°
2．为了测量水池的宽AB，在水池外找一点P，点C，D分别为PA，PB的中点，测得CD＝8m，则水池的宽AB为（ ）
A．16m B．14m C．12m D．10m
3．如图，在四边形ABCD中，G是对角线BD的中点，点E、F分别是BC、AD的中点，AB＝DC，∠ABD＝100°，∠BDC＝44°．则∠GEF的度数是（ ）
A．10° B．20° C．28° D．30°
4．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连接AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG．DE，FG，的中点分别是M，N，P，Q．若MP+NQ＝14，AC+BC＝18，则AB的长为（ ）
A． B． C．13 D．16
5．如图∠A＝∠ABC＝∠C＝45°，E、F分别是AB、BC的中点，则下列结论，①EF⊥BD，②EF＝BD，③∠ADC＝∠BEF+∠BFE，④AD＝DC，其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
6．如图，△ABC纸片中，AB＝BC＞AC，点D是AB边的中点，点E在边AC上，将纸片沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处．则下列结论成立的个数有（ ）
①△BDF是等腰直角三角形；②∠DFE＝∠CFE；③DE是△ABC的中位线；④BF+CE＝DF+DE．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，CF平分∠ACB，交DE于点F，若BC＝10，AC＝4，则DF的长为 ．
8．在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD且AC＝6、BD＝8，E、F分别是边AB、CD的中点，则EF＝ ．
9．如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D．若BC＝4，则CD的长是多少？
10．求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．（要求：先画出图形并写出已知、求证，再写出证明过程）
11．如图，在△ABC中，AB＝12cm，AC＝8cm，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF．
（1）说明：AC＝AG；
（2）求线段EF的长．
12．几何证明
（1）已知：如图1，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交．求证：FG＝（AB+BC+AC）．
（2）若BD、CE分别是△ABC的内角平分线，其余条件不变（如图2），线段FG与△ABC的三边又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．
13．已知△ABC中，BC＝6cm，E、F分别是AB、AC的中点，那么EF长是 cm．
14．观察探究，完成证明和填空．
如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H，得到的四边形EFGH叫中点四边形．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图，当四边形ABCD变成等腰梯形时，它的中点四边形是菱形，请你探究并填空：
当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是 ；
当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是 ；
当四边形ABCD变成菱形时，它的中点四边形是 ；
当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是 ；
（3）根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？
二．多边形的对角线
15．下列说法正确的是（ ）
A．射线AB和射线BA是同一条射线
B．连接两点的线段叫两点间的距离
C．两点之间，直线最短
D．七边形的对角线一共有14条
16．已知过一个多边形的一个顶点可以引2条对角线，则它是（ ）
A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形
三．多边形内角与外角
17．正八边形的每个内角为（ ）
A．120° B．135° C．140° D．144°
四．平行四边形的性质
18．如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝90°，AC＝10，BD＝6，则AD的长是（ ）
A．4 B． C．8 D．2
19．下列图形中，∠A与∠C不一定相等的是（ ）
A．等边三角形ABC B．等腰三角形ABC
C．平行四边形ABCD D．正六边形ABCDEF
20．已知点A（0，0），B（0，4），C（3，t+4），D（3，t）．记N（t）为 ABCD内部（不含边界）整点的个数，其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点，则N（t）所有可能的值为（ ）
A．6、7 B．7、8 C．6、7、8 D．6、8、9
21．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝1，则AE的边长为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．8
22．如图，在 ABCD中，AD＝12cm，AB＝8cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则CE的长为 ．
23．如图， ABCD的一个外角∠CDE是140°，则∠B的大小是 °．
24．在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB＝5，BC＝6，则CE+CF的值为 ．
25．已知点D与点A（8，0），B（0，6），C（a，﹣a）是一平行四边形的四个顶点，则CD长的最小值为 ．
26．如图，点E在 ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE．
（1）求证：△BCE≌△ADF；
（2）设 ABCD的面积为6，求四边形AEDF面积．
27．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE＝DF，连接AE并延长，交BC于点G，连接CF并延长，交AD于点H．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若AC平分∠HAG，判断四边形AGCH的形状，并证明你的结论．
28．在平行四边形ABCD中，AC＝BC，BE⊥AC分别交直线AC、AD于点E、F．点G是BC上一点，连接EG，过点G作GQ⊥AB分别交BF、AB于点P、Q．
（1）如图1，若AB＝AC，BE＝3，求AF的长度．
（2）如图2，若PG＝2BQ，请探究EG、BG、CG的数量关系，并说明理由．
29．已知：如图，点E、F分别为 ABCD的BC、AD边上的点，且∠1＝∠2．
求证：AE＝FC．
五．平行四边形的判定
30．在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB＝BC，CD＝DA B．AB∥CD，∠A＝∠C
C．AB∥CD，AD＝BC D．∠A＝∠B，∠C＝∠D
31．八年级（1）班的一个互助学习小组组长收集并整理了组员们讨论如下问题时所需的条件．如图所示，在四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上．
求证：四边形AECF是平行四边形．
条件分别是①BE＝DF；②∠B＝∠D；③∠BAE＝∠DCF；④四边形ABCD是平行四边形．其中所填的条件符合题目要求的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①④ D．④
32．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：
①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；
③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC．
其中一定能判断这个四边形是平行四边形的条件共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
33．已知四边形ABCD，有以下四个条件：①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD．从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法种数共有（ ）
A．6种 B．5种 C．4种 D．3种
34．在如图的网格中，以格点A、B、C、D、E、F中的4个点为顶点，你能画出平行四边形的个数为 个．
35．如图，点A是直线l外一点，在1上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB、AD、CD，则四边形ABCD是平行四边形，理由是 ．
36．如图，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，AD⊥BC，∠BAC≠90度．将此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平行四边形，则能拼出平行四边形 个．
37．用两个全等的三角形（三边不等）共能拼成 个不同的平行四边形．
38．如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．求证：四边形ADCE是平行四边形．
39．如图点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，使得AB＝10cm，AD＝6cm，分别以点B，D为圆心，作BC＝6cm，CD＝10cm交于点C，连接CD，BC，四边形ABCD的是平行四边形吗？请说明理由．
40．已知，如图E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．
41．我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形．请解答下列问题：
（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；
（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论．
六．平行四边形的判定与性质
42．下列各组条件中，不能判断一个四边形是平行四边形的是（ ）
A．一组对边相等且平行的四边形
B．两条对角线互相平分的四边形
C．一组对边平行另一组对边相等的四边形
D．两组对角分别相等的四边形
43．如图平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形的个数共有（ ）
A．12个 B．9个 C．7个 D．5个
44．已知：如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在AO，CO上，且AE＝CF，求证：∠EBO＝∠FDO．
45．如图，在平行四边形ABCD中，BE＝DF，求证：四边形AECF为平行四边形．
参考答案
一．三角形中位线定理
1．解：延长BE交AC于G，如图所示：
∵AD平分∠BAC，∠BAC＝80°，
∴∠BAE＝∠GAE＝∠BAC＝40°，
∵BE⊥AD，
∴∠BEA＝∠GEA＝90°，
∵AE＝AE，
∴△ABE≌△AGE（ASA），
∴BE＝GE，
∵F为BC的中点，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF∥GC，
∴∠EFD＝∠C，
∵∠BEA＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣∠BAE＝90°﹣40°＝50°，
∴∠ABC＝∠ABE+∠EBD＝50°+20°＝70°，
∴∠EFD＝∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣80°﹣70°＝30°，
故选：C．
2．解：∵点C，D分别为PA，PB的中点，CD＝8m，
∴AB＝2CD＝2×8＝16（m），
故选：A．
3．解：∵点E、G分别是BC、BD的中点，
∴EG∥DC，EG＝DC，
∴∠BGE＝∠BDC＝44°，
∵点F、G分别是AD、BD的中点，
∴FG∥AB，FG＝AB，
∴∠BGF＝180°﹣∠ABD＝80°，
∴∠EGF＝80°+44°＝124°，
∵AB＝DC，
∴GE＝GF，
∴∠GEF＝∠GFE＝×（180°﹣124°）＝28°，
故选：C．
4．解：连接OP，OQ，
∵DE，FG，的中点分别是M，N，P，Q，
∴OP⊥AC，OQ⊥BC，
∴H、I是AC、BD的中点，
∴OH+OI＝（AC+BC）＝9，
∵MH+NI＝AC+BC＝18，MP+NQ＝14，
∴PH+QI＝18﹣14＝4，
∴AB＝OP+OQ＝OH+OI+PH+QI＝9+4＝13，
故选：C．
5．解：如下图所示：连接AC，延长BD交AC于点M，延长AD交BC于Q，延长CD交AB于P．
∵∠ABC＝∠C＝45°∴CP⊥AB
∵∠ABC＝∠A＝45°∴AQ⊥BC
点D为两条高的交点，所以BM为AC边上的高，即：BM⊥AC．
由中位线定理可得EF∥AC，EF＝AC∴BD⊥EF，故①正确．
∵∠DBQ+∠DCA＝45°，∠DCA+∠CAQ＝45°，
∴∠DBQ＝∠CAQ，
∵∠A＝∠ABC，∴AQ＝BQ，
∵∠BQD＝∠AQC＝90°，
∴根据以上条件得△AQC≌△BQD，∴BD＝AC∴EF＝AC，故②正确．
∵∠A＝∠ABC＝∠C＝45°
∴∠DAC+∠DCA＝180°﹣（∠A+∠ABC+∠C）＝45°
∴∠ADC＝180°﹣（∠DAC+∠DCA）＝135°＝∠BEF+∠BFE＝180°﹣∠ABC
故③∠ADC＝∠BEF+∠BFE成立；
无法证明AD＝CD，故④错误．
故选：B．
6．解：①根据折叠知AD＝DF，所以BD＝DF，即一定是等腰三角形．因为∠B不一定等于45°，所以①错误；
②连接AF，交DE于G，根据折叠知DE垂直平分AF，又点D是AB边的中点，在△ABF中，根据三角形的中位线定理，得DG∥BF．进一步得E是AC的中点．由折叠知AE＝EF，则EF＝EC，得∠C＝∠CFE．又∠DFE＝∠A＝∠C，所以∠DFE＝∠CFE，正确；
③在②中已证明正确；
④根据折叠以及中位线定理得右边＝AB，要和左边相等，则需CE＝CF，则△CEF应是等边三角形，显然不一定，错误．
故选：B．
7．解：∵D、E分别为AB、AC的中点，BC＝10，AC＝4，
∴DE＝BC＝5，DE∥BC，EC＝AC＝2，
∴∠EFC＝∠BCF，
∵CF平分∠ACB，
∴∠ECF＝∠BCF，
∴∠EFC＝∠ECF，
∴EF＝EC＝2，
∴DF＝DE﹣EF＝5﹣2＝3，
故答案为：3．
8．解：如图，取BC的中点G，连接EG、FG，
∵E、F分别是边AB、CD的中点，
∴EG∥AC且EG＝AC＝×6＝3，
FG∥BD且FG＝BD＝×8＝4，
∵AC⊥BD，
∴EG⊥FG，
∴EF＝＝＝5．
故答案为：5．
9．解：∵M，N分别是AB和AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN＝BC＝2，MN∥BC，
∴∠NME＝∠D，∠MNE＝∠DCE，
∵点E是CN的中点，
∴NE＝CE，
在△MNE和△DCE中，
，
∴△MNE≌△DCE（AAS），
∴CD＝MN＝2．
10．已知，如图，DE是△ABC的中位线，AF是△ABC的中线，AF、DE交于点O．
求证：OA＝OF，OD＝OE，
证明：连接DF、EF，
∵D、F分别是AB、BC的中点，
∴DF∥AC，
同理可得，EF∥AB，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴OA＝OF，OD＝OE，即三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．
11．（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵CG⊥AD，
∴∠AFG＝∠AFC＝90°，
在△GAF和△CAF中，
，
∴△GAF≌△CAF（ASA），
∴AC＝AG；
（2）解：∵AC＝8cm，
∴AG＝AC＝8cm，
∴BG＝AB﹣AG＝12﹣8＝4（cm），
∵△GAF≌△CAF，
∴CF＝FG，
∵CE＝EB，
∴EF＝BG＝×4＝2（cm）．
12．解：（1）如图1，∵AF⊥BD，∠ABF＝∠MBF，
∴∠BAF＝∠BMF，
在△ABF和△MBF中，
∵，
∴△ABF≌△MBF（ASA）
∴MB＝AB
∴AF＝MF，
同理：CN＝AC，AG＝NG，
∴FG是△AMN的中位线
∴FG＝MN，
＝（MB+BC+CN），
＝（AB+BC+AC）．
（2）图2中，FG＝（AB+AC﹣BC）
理由如下：如图2，
延长AG、AF，与直线BC相交于M、N，
∵由（1）中证明过程类似证△ABF≌△NBF，
∴NB＝AB，AF＝NF，
同理CM＝AC，AG＝MG
∴FG＝MN，
∴MN＝2FG，
∴BC＝BN+CM﹣MN＝AB+AC﹣2FG，
∴FG＝（AB+AC﹣BC），
答：线段FG与△ABC三边的数量关系是FG＝（AB+AC﹣BC）．
13．解：∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝BC＝＝3cm．
故答案为：3．
14．（1）证明：连接BD．
∵E、H分别是AB、AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线．
∴EH＝BD，EH∥BD．
同理得FG＝BD，FG∥BD．
∴EH＝FG，EH∥FG．
∴四边形EFGH是平行四边形．
（2）填空依次为平行四边形，菱形，矩形，正方形；
（3）中点四边形的形状是由原四边形的对角线的关系决定的．
故答案为平行四边形、菱形、矩形、正方形．
二．多边形的对角线
15．解：A、射线AB和射线BA是不同的射线，故选项A不合题意；
B、连接两点的线段的长度叫两点间的距离，故选项B不合题意；
C、两点之间线段最短，故选项C不合题意；
D、七边形的对角线一共有（条），故选项D符合题意．
故选：D．
16．解：设多边形的边数为n．
根据题意得；n﹣3＝2．
解得：n＝5．
故选：B．
三．多边形内角与外角
17．解：根据正八边形的内角公式得出：[（n﹣2）×180]÷n＝[（8﹣2）×180]÷8＝135°．
故选：B．
四．平行四边形的性质
18．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD＝BD＝3，OA＝OC＝AC＝5，
∵∠ADB＝90°，
∴AD＝＝＝4．
故选：A．
19．解：A、∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠C＝60°，故选项A不符合题意；
B、∵△ABC是等腰三角形，
∴∠A＝∠B或∠A＝∠C或∠B＝∠C，故选项B符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，故选项C不符合题意；
D、∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠A＝∠C＝120°，故选项D不符合题意；
故选：B．
20．解：当t＝0时，A（0，0），B（0，4），C（3，4），D（3，0），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），共6个点；
当t＝1时，A（0，0），B（0，4），C（3，5），D（3，1），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），共8个点；
当t＝1.5时，A（0，0），B（0，4），C（3，5.5），D（3，1.5），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），共7个点；
当t＝2时，A（0，0），B（0，4），C（3，6），D（3，2），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），共8个点；
故选项A错误，选项B错误；选项D错误，选项C正确；
故选：C．
21．解：∵AE为∠DAB的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵DC∥AB，
∴∠BAE＝∠DFA，
∴∠DAE＝∠DFA，
∴AD＝FD，
又F为DC的中点，
∴DF＝CF，
∴AD＝DF＝DC＝AB＝2，
在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG＝，
则AF＝2AG＝2，
∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DAF＝∠E，∠ADF＝∠ECF，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴AF＝EF，
则AE＝2AF＝4．
故选：B．
22．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝12cm，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴BE＝AB＝8cm，
∴CE＝BC﹣BE＝4cm．
故答案为：4cm．
23．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠ADC，
∵∠CDE＝140°，
∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝40°，
∴∠B＝40°，
故答案为：40．
24．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝5，BC＝AD＝6，
①如图：
由平行四边形面积公式得：BC×AE＝CD×AF＝15，
求出AE＝，AF＝3，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，由勾股定理得：AB2＝AE2+BE2，
把AB＝5，AE＝代入求出BE＝，
同理DF＝3＞5，即F在DC的延长线上（如上图），
∴CE＝6+，CF＝3+5，
即CE+CF＝11+，
②如图：
∵AB＝5，AE＝，在△ABE中，由勾股定理得：BE＝，
同理DF＝3，由①知：CE＝6﹣，CF＝3﹣5，
∴CE+CF＝1+，
故答案为：11+或1+．
25．解：有两种情况：
①CD是平行四边形的一条边，那么有AB＝CD＝＝10
②CD是平行四边形的一条对角线，
过C作CM⊥AO于M，过D作DF⊥AO于F，交AC于Q，过B作BN⊥DF于N，
则∠BND＝∠DFA＝∠CMA＝∠QFA＝90°，
∠CAM+∠FQA＝90°，∠BDN+∠DBN＝90°，
∵四边形ACBD是平行四边形，
∴BD＝AC，∠C＝∠D，BD∥AC，
∴∠BDF＝∠FQA，
∴∠DBN＝∠CAM，
∵在△DBN和△CAM中
∴△DBN≌△CAM（AAS），
∴DN＝CM＝a，BN＝AM＝8﹣a，
D（8﹣a，6+a），
由勾股定理得：CD2＝（8﹣a﹣a）2+（6+a+a）2＝8a2﹣8a+100＝8（a﹣）2+98，
当a＝时，CD有最小值，是
∵＜10，
∴CD的最小值是＝7，
故答案为：7．
26．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵AF∥BE，
∴∠EBA+∠BAF＝180°，
∴∠CBE＝∠DAF，
同理得∠BCE＝∠ADF，
在△BCE和△ADF中，
，
∴△BCE≌△ADF（ASA）；
（2）解：∵点E在 ABCD内部，
∴S△BEC+S△AED＝S ABCD，
由（1）知：△BCE≌△ADF，
∴S△BCE＝S△ADF，
∴S四边形AEDF＝S△ADF+S△AED＝S△BEC+S△AED＝S ABCD，
∵ ABCD的面积为6，
∴四边形AEDF的面积为3．
27．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，
即OE＝OF，
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE＝CF．
（2）四边形AGCH是菱形．理由如下：
∵△AOE≌△COF，
∴∠EAO＝∠FCO，
∴AG∥CH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴四边形AGCH是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴∠HAC＝∠ACB，
∵AC平分∠HAG，
∴∠HAC＝∠GAC，
∵∠GAC＝∠ACB，
∴GA＝GC，
∴平行四边形AGCH是菱形．
28．解：（1）如图1，∵AB＝AC，
∴设AB＝6x，AC＝5x，
∴AC＝BC＝5x，
∵BE⊥AC，BE＝3，
∴，
解得：x＝，AE＝x＝，CE＝x＝，
∴BC＝5×＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴AF＝．
（2）BG2+CG2＝2EG2.理由如下：
如图2，过点G作GH∥AC交AB于点H，交BE于点K，作GM⊥AC于点M，
∵AC＝BC，
∴∠CBA＝∠CAB，
∵GH∥AC，
∴∠GHB＝∠CAB，
∴∠CBA＝∠GHB，
∴GH＝GB，
∵GQ⊥AB，
∴BQ＝HQ，即BH＝2BQ，
∵PG＝2BQ，
∴BH＝PG，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∵GH∥AC，
∴∠BKG＝∠BEC＝90°，
∴∠GKE＝180°﹣∠BKG＝90°，∠BKH＝∠BEC＝90°，
∴∠BKH＝∠GKP，
∵∠HBK+∠BHK＝90°，∠PGK+∠BHK＝90°，
∴∠HBK＝∠PGK，
∴△BHK≌△GPK（AAS），
∴BK＝GK，
∴∠KBG＝∠KGB＝45°，
∴KG＝BG sin∠KBG＝BG sin45°＝BG，
∵GH∥AC，
∴∠BCE＝∠BGK＝45°，
∵∠CMG＝90°，
∴GM＝CG sin∠GCM＝CG sin45°＝CG，
∵∠GME＝∠MEK＝∠EKG＝90°，
∴四边形EKGM是矩形，
∴EK＝GM＝CG，
在Rt△EGK中，∵EK2+KG2＝EG2，
∴（BG）2+（CG）2＝EG2，
∴BG2+CG2＝EG2，
∴BG2+CG2＝2EG2．
29．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D．
在△ABE与△CDF中，
∴△ABE≌△CDF．
∴AE＝CF．
五．平行四边形的判定
30．解：如图示，
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠B+∠A＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
根据平行四边形的判定定理可知：只有B符合条件．
故选：B．
31．解：当添加①④时，可得四边形AECF是平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BE＝DF，
∴AD﹣DF＝BC﹣BE，
∴AF＝EC，且AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
故选：C．
32．解：①根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知①能判断这个四边形是平行四边形；
②根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知②能判断这个四边形是平行四边形；
③根据平行四边形的判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知③能判断这个四边形是平行四边形；
④根据平行四边形的判定定理：一组对边平行，一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，可知④错误；
故给出下列四组条件中，①②③能判断这个四边形是平行四边形，
故选：C．
33．解：依题意得有四种组合方式：
（1）①③，利用两组对边平行的四边形是平行四边形判定；
（2）②④，利用两组对边相等的四边形是平行四边形判定；
（3）①②或③④，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定．
故选：C．
34．解：如图所示：
图中平行四边形有 ABEC， BDEC， BEFC共3个．
故答案为：3．
35．解：∵分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，
∴AD＝BC AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
36．解：若要拼成平行四边形，即是分别让它们的一组对应边重合，另外两组对应边分别平行．
故能拼出3个．
故答案为：3．
37．解：（如图）利用全等三角形的对应边相等，分别让三条边重合（作为平行四边形的对角线），就可以得到三个不同的平行四边形
38．证明：∵CE∥AB，
∴∠FAD＝∠FCE，∠ADF＝∠CEF，
∵F是AC中点，
∴AF＝CF，
在△AFD与△CFE中，
，
∴△AFD≌△CFE（AAS），
∴DF＝EF，
∴四边形ADCE是平行四边形．
39．解：四边形ABCD的是平行四边形，理由如下：
∵AB＝10cm，AD＝6cm，BC＝6cm，CD＝10cm，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
40．解：结论：四边形ABCD是平行四边形，
证明：∵DF∥BE，
∴∠AFD＝∠CEB，
又∵AF＝CE DF＝BE，
∴△AFD≌△CEB（SAS），
∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，
∴AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
41．解：（1）等腰梯形、矩形、正方形．
（2）结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长．
已知：四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC＝BD，
且∠AOD＝60度．
求证：BC+AD≥AC．
证明：过点D作DF∥AC，在DF上截取DE，使DE＝AC．
连接CE，BE．
故∠EDO＝60°，四边形ACED是平行四边形．
∵AC＝DE，AC＝BD，
∴DE＝BD，
∵∠EDO＝60°，
∴△BDE是等边三角形．
所以DE＝BE＝AC．
①当BC与CE不在同一条直线上时（如图1），
在△BCE中，有BC+CE＞BE．
所以BC+AD＞AC．
②当BC与CE在同一条直线上时（如图2），
则BC+CE＝BE．
因此BC+AD＝AC
综合①、②，得BC+AD≥AC．
即等对角线四边形中两条对角线所夹角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长．
六．平行四边形的判定与性质
42．解：A、∵一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，
∴选项A不符合题意；
B、∵两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴选项B不符合题意；
C、∵一组对边平行另一组对边相等的四边形可能是平行四边形或等腰梯形，
∴选项C符合题意；
D、∵两组对角分别相等的四边形是平行四边形，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
43．解：根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，则图中的四边AEOH，HOFD，EBNO，ONCF，AEFD，EBCF，ABNH，HNCD，ABCD都是平行四边形，共9个．
故选：B．
44．证明：连接DE、BF，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∵AE＝CF，
∴OE＝OF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE∥DF，
∴∠EBO＝∠FDO．
45．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵BE＝DF，
∴AB﹣BE＝CD﹣DF，
即AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形．