四川省成都市新都一中高2014级高二立体几何测试题（含解析）

四川省成都市新都一中高2014级数学测试题
时间：120分钟 总分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．已知a、b、c为三条不重合的直线，下面有三个结论：
①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c则b⊥c；
③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.
其中正确的个数为(　　)
A．0个　 B．1个 C．2个 D．3个
[答案]　B
[解析]　b、c 平面α，a⊥α满足①②的条件，当b与c相交但不垂直时，①、②错；③正确．
2．下列命题中不正确的是(　　)
A．若a α，b α，l∩α＝A，l∩b＝B，则l α
B．若a∥c，b∥c，则a∥b
C．若a α，b α，a∥b，则a∥α
D．若一直线上有两点在已知平面外，则直线上所有点在平面外
[答案]　D
[解析]　当直线与平面相交时，直线与平面有且仅有一个公共点，除公共点外的其它点都在平面外．
3．一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中(　　)
A．AB∥CD B．AB与CD相交
C．AB⊥CD D．AB与CD所成的角为60°
[答案]　D
[解析]　正方体的直观图如图，显然AB与CD异面，排除A、B，CD∥BE，△ABE为正三角形，∴AB与CD所成的角为60°.
4．下列命题中错误的是(　　)
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么直线l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
[答案]　D
[解析]　当平面α与β垂直时，设交线为l，则在α内与l平行的直线与β平行，∴A真；假设在α内存在直线与β垂直，则由二平面垂直的判定定理知，α⊥β，故B真；在l上任取一点P且P γ，过P作γ的垂线，垂足为Q，∵α⊥γ，则Q必在α与γ的交线l1上，同理，Q必在β与γ的交线l2上，∴Q是l1与l2的交点，∵l1 α，l2 β，∴Q是α与β的一个公共点，∴Q∈l，∴l⊥γ，∴C真，易知D假．
5．下图是一几何体的三视图(单位：cm)，则这个几何体的体积为(　　)
A．1cm3 B．3cm3 C．2cm3 D．6cm3
[答案]　B
[解析]　由三视图知，该几何体是一个横放的棱柱，棱柱的高为3，棱柱的底面是一个等腰三角形，其底为2，高为1，∴体积V＝(×2×1)×3＝3(cm3)．
6．如图，一个空间几何体的主视图、左视图都是周长为4，一个内角为60°的菱形，俯视图是圆及一点，那么这个几何体的表面积为(　　)
A. B．π C. D．2π
[答案]　B
[解析]　由三视图知，该几何体是两个同底的圆锥构成的组合体．圆锥的母线长为1，底半径为，∴表面积S＝2×(π××1)＝π.
7．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·的值为(　　)
A．0 B. C．1 D．无法确定
[答案]　A
[解析]　如图，·＋·＋·
＝·(－)＋·(－)＋·(－)
＝·－·＋·－·＋·－·＝0.
8．斜二测画法中，边长为a的正方形的直观图的面积为(　　)
A．a2 B.a2 C.a2 D.a2
[答案]　D
[解析]　S＝a·(·sin45°)＝a2，故选D.
9已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．若|a|＝，且a分别与，垂直，则向量a为(　　)
A．(1,1,1) B．(－1，－1，－1) C．(1,1,1)或(－1，－1，－1)
D．(1，－1,1)或(－1,1，－1)
[答案]　C
[解析]　设a＝(x，y，z)，由条件知＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，∵a⊥，a⊥，|a|＝，
∴，将选项代入检验知选C.
10．已知直线m、n和平面α、β，若α⊥β，α∩β＝m，n α，要使n⊥β，则应增加的条件是(　　)
A．m∥n B．n⊥m C．n∥α D．n⊥α
[答案]　B
[解析]　根据面面垂直的性质定理知，需增加条件n⊥m.
11.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是(　　)
A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC
[答案]　D
[解析]　在平面图形中CD⊥BD，折起后仍有CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB.又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC.所以平面ABC⊥平面ADC.
12．球O的球面上有四点S、A、B、C，其中O、A、B、C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S－ABC的体积的最大值为(　　)
A．1 B. C. D.
[答案]　D
[解析]　∵O、A、B、C四点共面，∴△ABC的外接圆为球大圆，∵△ABC边长为2，∴球半径OA＝×(×2)＝，设AB的中点为E，则OE＝×(×2)＝，棱锥S－ABC的底面积S＝×22＝为定值，欲使其体积最大，应有S到平面ABC的距离取最大值，又平面SAB⊥平面ABC，∴S在平面ABC上的射影落在直线AB上，又SO＝为定值，∴S到平面ABC的距离的最大值为＝1，∴V＝××1＝.
二、填空题（每小题4分，共16分）
13已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为 2
14．(2011～2012·南通市调研)已知直线l⊥平面α，直线m平面β，给出下列命题：①α∥βl⊥m；②α⊥βl∥m；③l∥mα⊥β；④l⊥mα∥β.其中正确命题的序号是________．
[答案]　①③
l⊥m，故①真； l∥m，故②假；
α⊥β，故③真； α∥β，故④假．
15．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2AB，若E，F分别为线段A1D1，CC1的中点，则直线EF与平面ABB1A1所成角的余弦值为________．
[答案]　
[解析]　解法一：以A为坐标原点，AB、AD、AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图，
设AB＝1，则AD＝AA1＝2，∴F(1,2,1)，E(0,1,2)，∴＝(1,1，－1)，平面ABB1A1的一个法向量n＝(0,1,0)，则cos〈n，〉＝＝，
设EF与平面ABB1A1所成角为θ，则sinθ＝，
∴cosθ＝.
解法二：取BB1的中点M，取FM的中点N，则EA1綊FN，∴四边形A1EFN为平行四边形，∴A1N∥EF，∵EA1⊥平面ABB1A1，∴MN⊥平面ABB1A1，∴∠NA1M为直线EF与平面ABB1A1所成的角，在Rt△A1MN中，A1M＝，MN＝1，∴A1N＝，∴cos∠NA1M＝＝，
∴直线EF与平面ABB1A1所成角的余弦值为.
16．如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB＝2，AE＝BE＝，且当规定主(正)视图方向垂直平面ABCD时，该几何体的左(侧)视图的面积为.若M、N分别是线段DE、CE上的动点，则AM＋MN＋NB的最小值为________．
[答案]　3
[解析]　取AB中点F，∵AE＝BE＝，∴EF⊥AB，∵平面ABCD⊥平面ABE，∴EF⊥平面ABCD，易求EF＝，左视图的面积S＝AD·EF＝AD＝，∴AD＝1，
∴∠AED＝∠BEC＝30°，∠DEC＝60°，将四棱锥E－ABCD的侧面AED、DEC、CEB展开铺平如图，则
AB2＝AE2＋BE2－2AE·BE·cos120°
＝3＋3－2×3×(－)＝9，∴AB＝3，∴AM＋MN＋BN的最小值为3.
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤
17．(本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD＝AD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．
(1)求证：BE∥平面PAD；
(2)若AP＝2AB，求证：BE⊥平面PCD.
[解析]　(1)取PD的中点F，连结AF，FE，
又∵E是PC的中点，
∴在△PDC中，EF∥DC，且EF＝，
由条件知AB∥DC，且AB＝，∴EF綊AB，
∴四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF，
又AF 平面PAD，BE 平面PAD，∴BE∥平面PAD.
(2)由(1)FE∥DC，BE∥AF，
又∵DC⊥AD，DC⊥PA，∴DC⊥平面PAD，∴DC⊥AF，DC⊥PD，∴EF⊥AF，
在Rt△PAD中，∵AD＝AP，F为PD的中点，∴AF⊥PD，
又AF⊥EF且PD∩EF＝F，∴AF⊥平面PDC，
又BE∥AF，∴BE⊥平面PDC.
18．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，BC＝AD，PA＝PD，Q为AD的中点．
(1)求证：AD⊥平面PBQ；
(2)若点M在棱PC上，设PM＝tMC，试确定t的值，使得PA∥平面BMQ.
[解析]　(1)证明：AD∥BC，BC＝AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ.
∵∠ADC＝90°，∴∠AQB＝90°，即QB⊥AD.
∵PA＝PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD.
∵PQ∩BQ＝Q，∴AD⊥平面PBQ.
(2)解：当t＝1时，PA∥平面BMQ，
连接AC，交BQ于N，连接MN.
∵BC綊AD，
∴四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点．
∵点M是线段PC的中点，∴MN∥PA.
∵MN 平面BMQ，PA 平面BMQ，∴PA∥平面BMQ.
19．如图，已知四棱锥P－ABCD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°.
(1)证明：∠PBC＝90°；
(2)若PB＝3，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
[解析]　(1)取AD中点O，连OP、OB，由已知得：OP⊥AD，OB⊥AD，又OP∩OB＝O，∴AD⊥平面POB，
∵BC∥AD，∴BC⊥平面POB，∵PB 平面POB，
∴BC⊥PB，即∠PBC＝90°.
(2)如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O－xyz，则A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，由PO＝BO＝，PB＝3，得∠POB＝120°，∴∠POz＝30°，∴P(0，－，)，则＝(－1，，0)，＝(－1,0,0)，＝(0，，－)，设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，
则，取z＝，则n＝(0,1，)，
设直线AB与平面PBC所成的角为θ，则
sinθ＝|cos〈，n〉|＝.
20．如图所示，直角梯形ACDE与等腰直角△ABC所在平面互相垂直，F为BC的中点，∠BAC＝∠ACD＝90°，AE∥CD，DC＝AC＝2AE＝2.
(1)求证：AF∥平面BDE；
(2)求二面角B－DE－C的余弦值．
[解析]　(1)取BD的中点P，连接EP、FP，则PF綊DC，又∵EA綊DC，∴EA綊PF，
∴四边形AFPE是平行四边形，∴AF∥EP，
又∵EP 平面BDE，AF 平面BDE，
∴AF∥平面BDE.
(2)以CA、CD所在直线分别作为x轴，z轴，以过C点和AB平行的直线作为y轴，建立如图所示坐标系．
由DC＝AC＝2AE＝2可得：
A(2,0,0)，B(2,2,0)，E(2,0,1)，D(0,0,2)，
则＝(0,2,0)，＝(0，－2,1)，＝(－2，－2,2)．
∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，AB⊥AC，∴AB⊥平面ACDE.
∴＝(0,2,0)是平面CDE的一个法向量，
设平面BDE的一个法向量n＝(x，y，z)，
则n⊥，n⊥，
∴，即，
整理得，，
令y＝1，得z＝2，x＝1，
所以n＝(1,1,2)是平面CDE的一个法向量，
则cos〈，n〉＝＝＝.
可知二面角B－DE－C的平面角θ∈(0，)，
所以其余弦值为.
21．一个四棱锥的三视图如图所示．
(1)求证：PA⊥BD；
(2)在线段PD上是否存在一点Q，使二面角Q－AC－D的平面角为30°？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
[解析]　(1)由三视图可知P－ABCD为四棱锥，底面ABCD为正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，连接AC、BD交于点O，连接PO.
因为BD⊥AC，BD⊥PO，所以BD⊥平面PAC，
即BD⊥PA.
(2)由三视图可知，BC＝2，PA＝2，假设存在这样的点Q，因为AC⊥OQ，AC⊥OD，
所以∠DOQ为二面角Q－AC－D的平面角，
在△POD中，PD＝2，OD＝，则∠PDO＝60°，
在△DQO中，∠PDO＝60°，且∠QOD＝30°.
所以DP⊥OQ.所以OD＝，QD＝.
所以＝.
22．(本小题满分12分)如图(1)所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD＝2，E、F、G分别为线段PC、PD、BC的中点，现将△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD(图(2))．
(1)求证：AP∥平面EFG；
(2)若点Q是线段PB的中点，求证：PC⊥平面ADQ；
(3)求三棱锥C－EFG的体积．
[解析]　(1)证明：∵E、F分别是PC，PD的中点，
∴EF∥CD∥AB.
又EF平面PAB，AB平面PAB，∴EF∥平面PAB.
同理，EG∥平面PAB，∴平面EFG∥平面PAB.
又∵AP平面PAB，∴AP∥平面EFG.
(2)解：连接DE，EQ，
∵E、Q分别是PC、PB的中点，∴EQ∥BC∥AD.
∵平面PDC⊥平面ABCD，PD⊥DC，∴PD⊥平面ABCD.
∴PD⊥AD，又AD⊥DC，∴AD⊥平面PDC，∴AD⊥PC.
在△PDC中，PD＝CD，E是PC的中点，
∴DE⊥PC，∴PC⊥平面ADEQ，即PC⊥平面ADQ.
(3)VC－EFG＝VG－CEF＝S△CEF·GC＝××1=
我以我的荣誉发誓：
决不给予或接受他人任何形式的帮助！
姓名：