(共46张PPT)
5.5.2 简单的三角恒等变换
第五章 三角函数
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（一）复习回顾，创设情景，揭示课题
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（二）阅读精要，研讨新知，典型示例
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（三）探索与发现、思考与感悟
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（四）归纳小结，回顾重点
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（五）作业布置，精炼双基
A good beginning is half done
良好的开端是成功的一半第五章 三角函数
5.5 三角恒等变换
5.5.2 简单的三角恒等变换
一、教学目标
1、会利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换；
2、能根据问题的条件进行公式变形，体会在变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法.
3、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力
二、教学重点、难点
重点：利用相关公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式
难点：二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三角恒等变换在数学中的应用.
三、学法与教学用具
1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.
2、教学用具：多媒体设备等
四、教学过程
（一）复习回顾，创设情景，揭示课题
【回顾】
1、和差角的正弦、余弦与正切公式：
和角公式： 差角公式：
2、二倍角的正弦、余弦与正切公式以及公式的外延：
二倍角公式： 降幂公式
，
【问题】这么多的三角公式，如何进行有效的应用，解决各类问题？
（二）阅读精要，研讨新知，典型示例
【例题研讨】阅读领悟课本例7、例8（用时约为3-4分钟，教师作出简要精准的评析.）
注意例题的精要简述，可以有与课本不一样的描述.
例7 试以表示．
解：因为，所以；
因为，所以．
两式相除得．
【发现】，，，
称之为半角公式（不要求记忆），符号由角的象限决定.
【三角恒等变换特点】三角恒等变换面对各种问题的差异，先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择适当的公式和变形路径.
例8 求证：
（1）；
（2）．
证明：（1）由已知
．
两式相加得；
所以；
（2）由（1）得 ①
设，则，把的值代入①式中得．
【例题研讨】阅读领悟课本例9、例10（用时约为4-5分钟，教师作出简要精准的评析.）
注意例题的精要简述，可以有与课本不一样的描述.
例9 求下列函数的周期，最大值和最小值：
（1） （2）
【辅助角公式】经常遇见关于的最值、周期性、单调性、对称轴、对称中心等问题.
统一有 其中
解：（1）利用辅助角公式化简得
因此，所求为
（2）利用辅助角公式化简得，其中
因此，所求为
例10 （更换为与课本相似的实际问题）
某工厂鼓励增产节约，焊工小明师傅遇到了一个问题：如图所示，有一块扇形钢板，半径为m，圆心角，现在要求小明师傅按图中所画的那样，在钢板上裁下一块平行四边形钢板，若想裁下钢板面积最大．试问小明师傅如何确定点位置，才能使裁下的钢板符合要求？最大面积为多少？
解：如图，连接，设，过点作于，则，，
在中，，
所以，记平行四边形的面积为，
则
因为，所以，当，即，即时
所以当是的中点时，能使裁下的钢板面积最大，最大面积为．
【小组互动】完成课本练习1、2、3，同桌交换检查，老师答疑并公布答案.
（三）探索与发现、思考与感悟
【类型一 利用倍（半）角公式求值】
1．已知是第二象限角，且，则=（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．﹣
解：∵是第二象限角，∴，∴，
∴是一、三象限角，
又，∴，可得
=，化简得
解得或，又，∴=2．故选A．
2. 已知，，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
解：
，，
∵在上单调递增，∴．故选D．
3. 已知，则（ ）
A． B． C． D．
解．由，可得，
所以，化简得，解得或，
于是．故选C
4. 已知，则（ ）
A． B． C． D．
解：由已知
，故选A
【类型二 三角函数式的求值】
5. 化简（ ）
A． B． C． D．
解：
，故选C．
6. 求值：________．
解：原式
答案：
【类型三 三角函数式的化简】
7. 化简 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：原式，故选A．
8．化简：
解：原式
由，得，所以
于是原式
【类型四 三角恒等式的证明】
9．求证：
证明：左边
=右边
所以原等式成立
【类型五 角的变换问题】
10. 设为锐角，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
解：∵，，又，∴，
∴，2．
因此
==，故选A．
11．已知，且，求的值．
解：由已知，得，即，
又，所以
展开化简得，所以，即
因为，所以，
于是
【类型六 与三角函数性质有关的问题】
12．已知函数，则函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
解：因为，所以，故选B
13．已知函数．
（1）求函数的最大值及其相应的取值集合；
（2）若且，求的值．
解：（1）因为函数
当时，
此时，即，
所以的取值集合为
（2）由，得，
由，所以，
所以
【类型七 三角恒等变换在实际问题中的应用】
14. 沪昆高铁开通以来，带动了沿线的旅游发展，某市在高铁站附近有一块边长为100 m的正方形地块，如图所示，其中是一半径为90 m的扇形小山，其余部分都是平地，某开发商想在平地上建一个矩形的停车场，使矩形的一个顶点在圆弧上，相邻两边落在正方形的边上，求矩形停车场面积的最大值与最小值．
解：设，延长交于点，则
所以
所以
令，，则，
所以
当时，，
当时，.
【发现】如果以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，，其余同上.
（四）归纳小结，回顾重点
（1）三角函数式的化简常用方法：
①直接应用公式进行降次、消项；
②化切为弦，异名化同名；
③ 三角公式的逆用等.
（2）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”.
（五）作业布置，精炼双基
1.完成课本习题5.5 10、11、12、13、14、15、16、17
2. 思考完成课本习题5.5 18、19、20
3.预习课本5.6 函数
五、教学反思：（课后补充，教学相长）
第五章 三角函数 5.5.2 简单的三角恒等变换 第 1 页 共 3 页
