第五章 三角函数
5.6 函数
5.6.1 匀速圆周运动的数学模型
5.6.2 函数的图象
一、教学目标
1.了解参数对函数图象的影响；
2.理解并掌握由的图象到的图象变换方法；
3.理解振幅变换和周期变换和平移变换；
4.渗透分类讨论的数学思想，提高分析和解决问题的能力.
二、教学重点、难点
重点：由的图象到的图象变换方法；
难点：由的图象到的图象变换方法.
三、学法与教学用具
1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.
2、教学用具：多媒体设备等
四、教学过程
（一）复习回顾，创设情景，揭示课题
【课本研读】阅读课本，用时约1分钟.
【阅读精要】筒车-中国古代的一种水利灌溉工具.
【问题】筒车上盛水筒的运动具有周期性，能不能用三角函数模型刻画盛水筒的运动规律？
（二）阅读精要，研讨新知，典型示例
【筒车的数学模型】
如图5.6-3，将筒车抽象为一个几何图形，设经过s后，盛水筒从点运动到，由筒车的工作原理可知，这个盛水筒距离水面的高度，由以下量所决定：简车转轮的中心到水面的距离，简车的半径，筒车转动的角速度，盛水筒的初始位置以及所经过的时间.
通过这些量的相互关系，进而建立盛水筒运动的数学模型.
如图5.6-3，以为原点，以与水平面平行的直线为轴建立直角坐标系，设时，盛水筒位于点，以为 始边，为终边的角为， 经过s后运动到点. 于是，以为始边，为终边的角为，并且有 ①
所以，盛水筒距离水面的高度与时间的关系是 ②
函数②就是要建立的数学模型，由于是常量，于是可以只研究函数①的性质.
【课本研读】阅读课本，用时约5-6分钟.
【阅读精要】研究对象
1. 探索对图象的影响
【变换模型】与的关系
【发现】把正弦曲线上所有点向左平移个单位长度，可以得到的图象.
即
【结论】一般地，函数的图象，可以看作是把的图象上所有的点向左(当时)或向右(当时)平移个单位长度而得到.
2. 探索对图象的影响
【变换模型1】与的关系
【发现】把函数上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），就得到的图象，即.
【变换模型2】与的关系
【发现】把函数上所有点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），就得到的图象，即.
【结论】一般地，函数的周期是，其图象可以看作是把的图象上所有点的横坐标缩短(当时)或伸长(当时)到原来的倍 (纵坐标不变)而得到的.
3. 探索对图象的影响
【变换模型1】与的关系
【发现】把函数上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），就得到的图象，即.
【变换模型2】与的关系
【发现】把函数上所有点的纵坐标缩短到到原来的（横坐标不变），就得到的图象，即.
【结论】一般地，函数的图象，可以看作是把的图象上所有点的纵坐标伸长(当时)或缩短(当时)到原来的倍 (横坐标不变)而得到的.
函数的值域是
【图象变换方法】
一般地，函数的图象，可以用下面的方法得到：先画出函数的图象；再把正弦曲线向左(或右) 平移个单位长度， 得到函数的图象；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的倍(横坐标不变)， 这时的曲线就是函数的图象.
【完形填空】完成课本步骤2、步骤3.
步骤2：函数
步骤3：
【例题研讨】阅读领悟课本例1、例2（用时约为5-6分钟，教师作出简要精准的评析.）
例1 画出函数的简图．
解：【利用函数图象变换方法】，如图5.6-7
变换方法一：由的图象通过变换得到的图象
的图象
的图象
的图象
变换方法二：由的图象通过变换得到的图象
【利用“五点法”作图】画出函数在一个周期（）内的图象.
例2 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施， 游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色如图5.6-9，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110 m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30 min..
（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动 min后距离地面的高度为m，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；
（2）求游客甲在开始转动5 min后距离地面的高度；
（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地 面的高度差 (单位: m)关于的函数解析式，并求高度差的最大值(精确到0.1).
解：如图5.6-10. 设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系.
（1）设 min时，游客甲位于点，以为终边的角为，根据摩天轮转一周大约需要30 min.可知座舱转动的角速度约为 rad/min，
由题意可得
（2）当时，
所以，游客甲在开始转动5 min后距离地面的高度约为 m
（3）如图5.6-10，甲、乙两人的位置分别用点表示，则
经过 min后甲距离地面的高度为
点相对于点始终落后rad，此时乙距离地面的高度为
则甲、乙距离地面的高度差
利用可得
当（或），即（或），的最大值为
所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2 m
【小组互动】完成课本练习1、2、3、4，同桌交换检查，老师答疑并公布答案.
（三）探索与发现、思考与感悟
1.要得到函数的图象，只需将函数的图象 ( )
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
解：因为，故选D
2.将函数的图象上的所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，则所得的图象的函数解析式为________.
解：由已知向右平移个单位得，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)得.
答案：
3. 将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值为 ( )
A. B. C. D.
解：因为函数的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为，且为偶函数，所以，即，
又，所以的最小值为，故选B
4. 已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只需将的图象上所有的点 ( )
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
解：由得，所以，
由，
所以的图象向左平移个单位，可以得到的图象，故选A.
（四）归纳小结，回顾重点
【图象变换方法】
一般地，函数的图象，可以用下面的方法得到：先画出函数的图象；再把正弦曲线向左(或右) 平移个单位长度， 得到函数的图象；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的倍(横坐标不变)， 这时的曲线就是函数的图象.
（五）作业布置，精炼双基
1.完成课本习题5.6 1、2、3
2. 思考完成课本习题5.6 4、5、6、7
五、教学反思：（课后补充，教学相长）
第五章 三角函数 5.6 函数y=Asin(ωx+φ) 第 1 页 共 3 页(共33张PPT)
5.6 函数y=Asin(ωx+φ)
第五章 三角函数
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（一）复习回顾，创设情景，揭示课题
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（二）阅读精要，研讨新知，典型示例
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（三）探索与发现、思考与感悟
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（四）归纳小结，回顾重点
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（五）作业布置，精炼双基
A good beginning is half done
良好的开端是成功的一半
