第五章 三角函数
5.7 三角函数的应用
一、教学目标
1.了解参数对函数图象的影响；
2. 逐步认知实际问题与三角函数间的关联；
3. 学会建立三角函数模型解决相应的实际问题.
二、教学重点、难点
重点：利用三角函数解决对应的实际问题.
难点：实际问题的三角函数模型的建立.
三、学法与教学用具
1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.
2、教学用具：多媒体设备等
四、教学过程
（一）复习回顾，创设情景，揭示课题
【情景】物理学中的弹簧振子
【问题】如何有效建立物理与数学的相互关系？
（二）阅读精要，研讨新知，典型示例
【课本研读】阅读课本，用时约4分钟.
【问题1】某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间（单位：s）与位移（单位：mm）之间的函数关系.
【阅读精要】振子的位移与时间的函数是.
由此看来，物理学中的简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率与函数，中的常数有关.
【物理与数学的关联结论】
~简谐运动的振幅~做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离.
~简谐运动的周期~做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间.
~简谐运动的频率~做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数.
~相位. 时的相位~初相.
【问题2】图5.7-2（1）是某次实验测得的交变电流（单位：）随时间（单位：s）变化的图象.将测得的图象放大，得到图5.7-2（2）.
（1）求电流随时间变化的函数解析式；
（2）当时，求电流.
【解析】由交变电流得产生原理可知，随时间的变化规律为，
其中表示频率，表示振幅，表示初相.
由图可知，，，所以，
，所以，
所以
将代入，可得对应的值分别为
【小组互动】完成课本练习1、2、3，同桌交换检查，老师答疑并公布答案.
【物理学情境】匀速圆周运动、简谐运动和交变电流都是理想化的运动变化现象，可以用三角函数模型准确地描述它们的运动变化规律，在现实生活中也有大量运动变化现象，仅在一定范围内呈现出近似于周期变化的特点，这些现象也可以借助三角函数近似地描述.
【例题研讨】阅读领悟课本例1、例2（用时约为5-6分钟，教师作出简要精准的评析.）
例1如图5.7-3， 某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数
（1）求这一天6~14时的最大温差；
（2）写出这段曲线的函数解析式.
解：（1）由图5.7-3可知，这段时间的最大温差是20 C.
（2）由图5.7-3可以看出，，
，所以，于是
将点代入，得，解得
所以
【温馨提示】一般地， 所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围.
例2 海水受日月的引力， 在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头:卸货后，在落潮时返回海洋，表5.7-2是某港口某天的时刻与水深关系的预报.
时刻 水深/m 时刻 水深/m 时刻 水深/m
0:00 5.0 9:18 2.5 18:36 5.0
3:06 7.5 12:24 5.0 21:42 2.5
6:12 5.0 15:30 7.5 24:00 4.0
（1）选用一个函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的关系，给出整点时水深的近似数值(精确到0.001m).
（2）一条货船的吃水深度 (船底与水面的距离)为4m，安全条例规定至少要有1.5m的安全间隙(船底与洋底的距离)，该船这一天何时能进人港口？在港口能呆多久？
（3）某船的吃水深度为4 m，安全间隙为1.5m，该船这一天在2： 00开始卸货，吃水深度以0.3m/h的速度减少，如果这条船停止卸货后需0.4h才能驶到深水域，那么该船最好在什么时间停止卸货，将船驶向较深的水域？
解：（1）以时间 (单位：h)为横坐标，水深 (单位：m)为纵坐标，建立直角坐标系，画出散点图.
根据图象，考虑利用函数来刻画关系.
从数据和图象可以得出，，所以
所以该港口的水深与时间的关系可以用函数近似描述.
由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值(表5. 7-3)
（2）货船需要的安全水深为m，所以当就可以进港.
令，则，利用计算工具得
，
因此，货船可以在零时30分左右进港，早晨5时45分左右出港；或在下午13时左右进港，下午18时左右出港. 每次可以在港口停留5小时左右.
（3）设在 h时货船的安全水深为 m，那么，在同一坐标系中画出两个函数的图象，交点为，通过二分法和计算工具可得，因此为了安全，货船最好在时之前停止卸货，将船驶向较深的水域.
【小组互动】完成课本练习1、2，同桌交换检查，老师答疑并公布答案.
（三）探索与发现、思考与感悟
1. 某时钟的秒针端点到中心点的距离为5 cm，秒针均匀地绕点旋转，当时间时，点与钟面上标12的点重合，若将两点的距离cm表示成时间t s的函数，则________，其中．
解：因为秒针1 s转弧度，所以t s后秒针转了弧度，
如图所示，，所以.
答案：
2．国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：(美元) ，现采集到下列信息：最高油价80美元，当 (天)时达到最低油价，则的最小值为________．
解：由已知，所以，又时达到最低油价，所以
此时，因为，所以令，
得，解得，故的最小值为.
答案：
3. 如图所示，一个大风车的半径为8 m，每12 min旋转一周，最低点离地面2 m．若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点离地面的距离 m与时间 min之间的函数关系是( )
A． B．
C． D．
解：依题意可设，易知，所以，
则，当时，，得，可取，
所以，故选D
4. 健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mmHg和60～90 mmHg. 心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．记某人的血压满足函数式，其中为血压(mmHg)，为时间(min)，试回答下列问题：
（1）求函数的周期；
（2）求此人每分钟心跳的次数；
（3）求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较．
解：（1） (min)．
（2）.
（3） (mmHg)，
即收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg. 此人的血压在血压计上的读数为140/90 mmHg，在正常值范围内．
5. 如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路，另一侧修建一条休闲大道．休闲大道的前一段是函数的图象的一部分，后一段是函数的图象，图象的最高点为，且，垂足为点.
（1）求函数的解析式；
（2）若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园，点在曲线上，其横坐标为，点在上，求儿童乐园的面积．
解：（1）由图象，可知，所以
将代入得，，所以，即
因为，所以，所以．
（2）在中，令，得，从而得曲线的方程为，则，
所以矩形的面积为，
即儿童乐园的面积为.
（四）归纳小结，回顾重点
【物理与数学的关联结论】物理学中的简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率
与函数，中的常数有关.
~简谐运动的振幅~做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离.
~简谐运动的周期~做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间.
~简谐运动的频率~做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数.
~相位. 时的相位~初相.
（五）作业布置，精炼双基
1.完成课本 习题5.7 1、2
2. 思考完成课本 习题5.7 3、4
3. 完成课本 复习参考题5
五、教学反思：（课后补充，教学相长）
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