2021-2022学年度初中数学相似考卷
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．如图，AB∥CD∥EF，则下列结论正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【答案】B
【分析】
根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可．
【详解】
解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，＝，
∴选项A、C、D不正确，选项B正确；
故选：B．
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案．
2．如图，正方形的两边，分别在平面直角坐标系的、轴的正半轴上，正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，已知，若点的坐标为，则正方形与正方形的相似比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
延长A′B′交BC于点E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比．
【详解】
解：延长A′B′交BC于点E，如图．
∵在正方形ABCD中，AC＝3，
∴BC＝AB＝3，
∵点A′的坐标为（1，2），
∴OE＝1，EC＝A′E＝3﹣1＝2，
∴CE：BC＝2：3，
∵A′E∥AB，
∴△A′CE∽△ACB，
∴CA′：AC＝2：3，
∵正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，
∴AA′＝CC′，
∴AA′＝CC′＝A′C′，
∴A′C′：AC＝1：3，
∴正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是．
故选：B．
【点睛】
本题考查了位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键是根据已知条件求得两个正方形的边长．
3．如图，AB＝4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，2BE＝DB，作EF⊥DE并截取EF＝DE，连接AF并延长交射线BM于点C．设BE＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式是（ ）
A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝﹣
【答案】A
【分析】
作点F作FG⊥BC于G，依据已知条件求得△DBE≌△EGF，得出FG＝BE＝x，EG＝DB＝2x，然后证得△FGC∽△ABC，再根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】
作点F作FG⊥BC于G，
∵∠DEB+∠FEG＝90°，∠DEB+∠BDE＝90°；
∴∠BDE＝∠FEG，
在△DBE与△EGF中，
，
∴△DBE≌△EGF（AAS），
∴EG＝DB，FG＝BE＝x，
∴EG＝DB＝2BE＝2x，
∴GC＝y﹣3x，
∵FG⊥BC，AB⊥BC，
∴FG∥AB，
∴△FGC∽△ABC，
∴CG：BC＝FG：AB，
即＝，
∴y＝﹣．
故选A．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定和性质及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．
4．如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE=∠EFC，AD:BD=5:3，CF=6，则DE的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】
由DEBC可得出，∠AED＝∠C，结合∠ADE＝∠EFC可得出△ADE∽△EFC，根据相似三角形的性质可得出，再根据CF＝6,即可求出DE的长度．
【详解】
解：∵DEBC，
∴，∠AED＝∠C．
又∵∠ADE＝∠EFC，
∴△ADE∽△EFC，
∴，
∵CF＝6，
∴，
∴DE＝10．
故选C
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质列出比例式是解题的关键．
5．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下面四个结论：①CF=2AF；②tan∠CAD= ；③DF=DC；④△AEF∽△CAB；⑤S四边形CDEF=S△ABF ,其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】
依据△AEF∽△CBF，即可得出CF=2AF；依据△BAE∽△ADC，即可得到tan∠CAD= ；过D作DM∥BE交AC于N，依据DM垂直平分CF，即可得出DF=DC；依据∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，即可得到△AEF∽△CAB；设△AEF的面积为s，则△ABF的面积为2s，△CEF的面积为2s，△CDE的面积为3s，四边形CDEF的面积为5s，进而得出S四边形CDEF=S△ABF
【详解】
解：∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∵AE= AD= BC，
∴CF=2AF，故①正确；
设AE=a，AB=b，则AD=2a，
∵BE⊥AC，∠BAD=90°，
∴∠ABE=∠ADC，而∠BAE=∠ADC=90°，
∴△BAE∽△ADC，
，即
，故②正确；
如图，过D作DM∥BE交AC于N，
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM=DE= BC，
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DM垂直平分CF，
∴DF=DC，故③正确；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故④正确；
如图，连接CE，
由△AEF∽△CBF，可得
设△AEF的面积为s，则△ABF的面积为2s，△CEF的面积为2s，
∴△ACE的面积为3s，
∵E是AD的中点，
∴△CDE的面积为3s，
∴四边形CDEF的面积为5s，
∴S四边形CDEF=S△ABF，故⑤正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：相似三角形的对应边成比例．
6．如图，在的正方形网格中，连结两格点，，点C、D是线段与网格线的交点，则为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
作AG⊥BG,CE⊥BG,DF⊥BG得到CE∥DF∥AG，列比求值.
【详解】
如图，作AG⊥BG,CE⊥BG,DF⊥BG,
∴CE∥DF∥AG，
∴=BE:EF:FG=1：3：2，
故选：B.
【点睛】
此题考查平行线分线段成比例，根据题意添加辅助线构建平行线是解题的关键，由此列出比例线段.
7．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ）
A．或 B． C． D．或
【答案】D
【分析】
利用以原点为位似中心，相似比为k，位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，把B点的横纵坐标分别乘以或-即可得到点B′的坐标．
【详解】
解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，
∴点B（-9，-3）的对应点B′的坐标是（-3，-1）或（3，1）．
故选D．
【点睛】
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
8．如图，BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在BC、AB上，且DE∥AB，∠DEF＝∠A，EF与BD相交于点M，以下结论：①△BDE是等腰三角形；②四边形AFED是菱形；③BE＝AF；④若AF∶BF＝3∶4，则△DEM的面积：△BAD的面积＝9∶49，以上结论正确的是( )
A．①②③④
B．①③④
C．①③
D．③④
【答案】B
【分析】
根据BD是△ABC的角平分线与DE∥AB易证∠DBE＝∠BDE，故△BDE是等腰三角形；可证EF∥AD，四边形ADEF为平行四边形而不是菱形，即可得BE＝AF，再连接DF，得△DEM∽△BFM，再求出相似比，利用面积比等于相似比的平方即求得△DEM的面积与△BAD的面积之比.
【详解】
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠DBE＝∠ABD，
∵DE∥AB，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴∠DBE＝∠BDE，
∴BE＝DE，
∴△BDE是等腰三角形，故①正确；
∵DE∥AB，
∴∠BAC＋∠ADE＝180°，
∵∠DEF＝∠BAC，
∴∠DEF＋∠ADE＝180°，
∴EF∥AD，
∴四边形ADEF为平行四边形，故②错误；
∴AF＝DE，
∴BE＝AF；故③正确；
如图，连接DF，
∵DE∥AB，
∴△DEM∽△BFM，
∴＝，
∵DE＝AF，AF∶BF＝3∶4，
∴＝＝，＝＝，
∴＝，
∴S四边形AFMD＝S△DEM，S△BFM＝S△DEM，
∴△DEM的面积∶△BAD的面积＝9∶49，故④正确，
故选B.
【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键熟知三角形内的证明关系.
第II卷（非选择题）
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二、填空题
9．如图，平面直角坐标系中，已知点A（8，0）和点B（0，6），点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是_____．
【答案】（0，3）、（4，0）、（，0）
【分析】
分类讨论：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，易得P点坐标为（0，3）；当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，易得P点坐标为（4，0）；当PC⊥AB时，如图，由于∠CAP=∠OAB，则Rt△APC∽Rt△ABC，计算出AB、AC，则可利用比例式计算出AP，于是可得到OP的长，从而得到P点坐标．
【详解】
解：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，
由点C是AB的中点，可得P为OB的中点，
此时P点坐标为（0，3）；
当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，
由点C是AB的中点，可得P为OA的中点，
此时P点坐标为（4，0）；
当PC⊥AB时，如图，
∵∠CAP＝∠OAB，
∴Rt△APC∽Rt△ABO，
∴，
∵点A（8，0）和点B（0，6），
∴AB＝＝10，
∵点C是AB的中点，
∴AC＝5，
∴，
∴AP＝ ，
∴OP＝OA﹣AP＝8﹣＝，
此时P点坐标为（，0），
综上所述，满足条件的P点坐标为（0，3）、（4，0）、（，0）．
故答案为（0，3）、（4，0）、（，0）
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，掌握相似三角形的性质是解题的关键.
10．如图，在△ABC中，AB＝4，D是AB上的一点(不与点A、B重合)，DE∥BC，交AC于点E，则的最大值为________．
【答案】
【分析】
设AD＝x，＝y，由△ADE∽△ABC知＝x2①，又CE=AC-AE，故＝
由△ADE的边AE上的高和△CED的边CE上的高相等，得＝＝②，由①②得y＝＝－x2＋x，再根据0＜x＜4即可求出最大值.
【详解】
设AD＝x，＝y，
∵AB＝4，AD＝x，
∴＝＝，
∴＝x2①，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∵AB＝4，AD＝x，
∴＝，
∴＝，
∵△ADE的边AE上的高和△CED的边CE上的高相等，
∴＝＝②，
①÷②，得
∴y＝＝－x2＋x，
∵AB＝4，
∴x的取值范围是0＜x＜4；
∴y＝＝－(x－2)2＋≤，
∴的最大值为.
故答案为.
【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意列出二次函数求出最值.
11．如图，已知矩形，长，宽，、分别是、上运动的两点．若自点出发，以的速度沿方向运动，同时，自点出发以的速度沿方向运动，则经过____________秒，以、、为顶点的三角形与相似．
【答案】或
【详解】
要使以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似，则要分两两种情况进行分析．分别是△PBQ∽△BDC或△QBP∽△BDC，利用相似的性质得出比例线段并建立方程即可．
解：设经x秒后,△PBQ∽△BCD,
由于∠PBQ=∠BCD=90°，
(1)当∠1=∠2时,有PB：DC=BQ：BC，
即(8 x)：8=2x：12,
解得x=；
(2)当∠1=∠3时,有PB：BC=BQ：DC，
即(8 x)：12=2x：8，
解得x=2，
∴经过2秒或秒时△PBQ∽△BCD.
12．如图，过点O的直线AB与反比例函数y=的图象交于A，B两点，A（2，1），直线BC∥y轴，与反比例函数y=（x＜0）的图象交于点C，连接AC，则△ABC的面积为_____．
【答案】8
【详解】
解：∵A（2，1）在反比例函数的图象上，∴k=2×1=2，∴两个反比例函数分别为，，设AB的解析式为y=kx，把A（2，1）代入得，k=，∴y=x，解方程组：，得：或，∴B（﹣2，﹣1），∵BC∥y轴，∴C点的横坐标为﹣2，∴C点的纵坐标为=3，∴BC=3﹣（﹣1）=4，∴△ABC的面积为×4×4=8，故答案为8．
点睛：本题主要考查了反比例函数于一次函数的交点问题，三角形的面积，正确的理解题意是解题的关键．
13．如图，矩形ABCD的顶点A、C在平面直角坐标系的坐标轴上，AB＝4，CB＝3，点D与点A关于y轴对称，点E、F分别是线段DA、AC上的动点（点E不与A、D重合），且∠CEF＝∠ACB，若△EFC为等腰三角形，则点E的坐标为______．
【答案】（-2，0）或（，0）
【解析】
【分析】
分情况讨论，根据三角形相似求解.
【详解】
当△EFC为等腰三角形时，有以下三种情况：
①当CE=EF时，
∵△AEF∽△DCE，
∴△AEF≌△DCE
∴AE=CD=5，
∴OE=AE-OA=5-3=2，
∴E（-2，0）；
②当EF=FC时，如图②所示，过点F作FM⊥CE于M，则点M为CE中点，
∴
∵△AEF∽△DCE，
∴
∴
解得:.
∴,
∴
③当CE=CF时，则有∠CFE=∠CEF，
∵∠CEF=∠ACB=∠CAO，
∴∠CFE=∠CAO，即此时F点与A点重合，这与已知条件矛盾．
综上所述，当△EFC为等腰三角形时，点E的坐标为
故答案为：
【点睛】
本题考查利用三角形相似对应边成比例解题，关键是分情况讨论.
三、解答题
14．如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC．
(1)求证：BC平分∠PBD；
(2)求证：PC2＝PA·PB；
(3)若PA＝2，PC＝2，求阴影部分的面积(结果保留π).
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）S阴影＝2－π.
【分析】
（1）连接OC，由PD切⊙O于点C，得到OC⊥PD，根据平行线的性质得到∠DBC=∠BCO，又因为∠OCB=∠OBC，等量代换得到∠OBC=∠CBD；
（2）连接AC，由AB是半圆O的直径，得到∠ACB=90°，推出∠ACP=∠ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（3）根据图形的面积公式即可得到结果．
【详解】
（1）连接OC，
∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥PD，
∵BD⊥PD，
∴BD∥OC，
∴∠DBC＝∠BCO，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠OBC＝∠CBD，
∴BC平分∠PBD；
（2）连接AC，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO＋∠BCO＝∠ACO＋∠ABC＝90°，
∵∠PCA＋∠ACO＝90°，
∴∠ACP＝∠ABC，
∵∠P＝∠P，
∴△ACP∽△CBP，
∴＝，
∴PC2＝PA·PB；
（3）∵PC2＝PA·PB，PA＝2，PC＝2，
∴PB＝6，
∴AB＝4，
∴OC＝2，PO＝4，
∴∠POC＝60°，
∴S阴影＝S△POC－S扇形＝×2×2－＝2－π.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，扇形面积的计算，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：
（1）当t=3秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？
（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．
（3）当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？
【答案】（1）10cm；（2）；（3）t＝3或t＝
【分析】
（1）在Rt△CPQ中，当t=3秒，可知CP、CQ的长，运用勾股定理可将PQ的长求出；
（2）由点P，点Q的运动速度和运动时间，又知AC，BC的长，可将CP、CQ用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式=CP×CQ求解；
（3）应分两种情况：当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，根据，可将时间t求出；当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，根据，可求出时间t．
【详解】
由题意得AP=4t，CQ=2t，则CP=20﹣4t，
（1）当t=3秒时，CP=20﹣4t=8cm，CQ=2t=6cm，
由勾股定理得PQ=；
（2）由题意得AP=4t，CQ=2t，则CP=20﹣4t，
因此Rt△CPQ的面积为S=；
（3）分两种情况：
①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，
，即，
解得：t=3秒；
②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，
，即，
解得：t=秒．
因此t=3秒或t=秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似
【点睛】
本题主要考查了相似三角形性质以及勾股定理的运用，在解第三问时应分两种情况进行求解防止漏解或错解，注意方程思想与分类讨论思想的应用是解此题的关键．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页1．如图，AB∥CD∥EF，则下列结论正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
第1题 第2题 第3题
2．如图，正方形的两边，分别在平面直角坐标系的、轴的正半轴上，正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，已知，若点的坐标为，则正方形与正方形的相似比是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，AB＝4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，2BE＝DB，作EF⊥DE并截取EF＝DE，连接AF并延长交射线BM于点C．设BE＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式是（ ）
A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝﹣
4．如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE=∠EFC，AD:BD=5:3，CF=6，则DE的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
第4题 第5题 第6题
5．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下面四个结论：①CF=2AF；②tan∠CAD= ；③DF=DC；④△AEF∽△CAB；⑤S四边形CDEF=S△ABF ,其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．如图，在的正方形网格中，连结两格点，，点C、D是线段与网格线的交点，则为 A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ）
A．或 B． C． D．或
第7题 第8题 第9题
8．如图，BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在BC、AB上，且DE∥AB，∠DEF＝∠A，EF与BD相交于点M，以下结论：①△BDE是等腰三角形；②四边形AFED是菱形；③BE＝AF；④若AF∶BF＝3∶4，则△DEM的面积：△BAD的面积＝9∶49，以上结论正确的是( )
A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．③④
9．如图，平面直角坐标系中，已知点A（8，0）和点B（0，6），点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是_____．
10．如图，在△ABC中，AB＝4，D是AB上的一点(不与点A、B重合)，DE∥BC，交AC于点E，则的最大值为________．
第10题 第11题 第12题
11．如图，已知矩形，长，宽，、分别是、上运动的两点．若自点出发，以的速度沿方向运动，同时，自点出发以的速度沿方向运动，则经过____________秒，以、、为顶点的三角形与相似．
12．如图，过点O的直线AB与反比例函数y=的图象交于A，B两点，A（2，1），直线BC∥y轴，与反比例函数y=（x＜0）的图象交于点C，连接AC，则△ABC的面积为_____．
13．如图，矩形ABCD的顶点A、C在平面直角坐标系的坐标轴上，AB＝4，CB＝3，点D与点A关于y轴对称，点E、F分别是线段DA、AC上的动点（点E不与A、D重合），且∠CEF＝∠ACB，若△EFC为等腰三角形，则点E的坐标为______．
14．如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC．
(1)求证：BC平分∠PBD；
(2)求证：PC2＝PA·PB；
(3)若PA＝2，PC＝2，求阴影部分的面积(结果保留π).
15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：
（1）当t=3秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？
（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．
（3）当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？
