(共23张PPT)
三角形的角平分线
叫做三角形的角平分线。
A
B
C
D
∵AD是 △ ABC的角平分线
∴∠ BAD = ∠ CAD =
１
２
∠BAC
任意画一个三角形,然后利用量角器画出
这个三角形三个角的角平分线.
●
●
在三角形中，一个
内角的角平分线与它的对边相交，
这个角的顶点与交点之间的线段,
︶
︶
1
2
在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗
B
A
C
注意
!
用圆规画最简便
你能通过折纸的方法得到它吗
在一张纸上画出一个一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合
折痕AD即为三角形的∠A的角平分线。
A
B
C
D
做一做
三角形的角平分线
三角形的角平分线的定义
以前所学的“角平分线”是一条射线，“三角形的角平分线”还是射线 吗
B
A
C
在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的
线段叫三角形的角平分线
“三角形的角平分线”是一条线段。
注意
!
D
∠1=∠2
1
2
图5 10
三角形的角平分线
每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个。
(1) 分别画出这三个三角形的三条角平分线吗
(2) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系
三角形的三条角平分线交于同一点.
A
C
B
F
E
D
O
∵BE是△ABC的角平分线
∴____=_____= _____
∴∠ACB=2______=2______
∠ABE
∠CBE
∠ABC
∠ACF
∵CF是△ABC的角平分线
∠BCF
三角形的角平分线与角的 平分线有什么区别？
思考
三角形的角平分线是一条线段 , 角的平分线是一条射线.
练习：
A
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线
三角形的中线
BE=EC
B
C
E
如图右图AE是BC边上的中线
(1) 在纸上画出一个锐角三角形试画出它的三条中线.
议一议
“三角形的中线”也是一条线段。
三角形的三条中线
三角形的三条中线交于一点.
(2) 试画钝角三角形和直角三角形的三条中线
你发现了什么？
三角形的中线
在三角形中,连接一个
顶点与它对边中点的线段,
叫做这个三角形这边的中线.
A
B
C
D
∵AD是△ ABC的中线
∴BD=CD=
1
2
BC
任意画一个三角形,然后利用刻度尺画出
这个三角形三条边的中线.
●
●
三角形的三条中线相交于一点,交点在三角形的内部.
三角形中线的理解
E
F
O
如图，AD、BE 为△ABC的中线且交于点O。
1、若AB=5cm，BC=6cm,AC=4cm,则BD=（）AE=（）
2、若S△ABC=12c㎡ ，则S△ABE=（ ）
A
B
C
D
E
F
O
练习：
三角形的一条中线将这个三角形分成面积相等的两个三角形
由（2）你发现了什么？
一块三角形的煎饼，要把它分成大小相同的6块应怎样分 你有多少种分法 如果限定只能切三刀呢
三角形的高
A
从三角形的一个顶点
B
C
向它的对边
所在直线作垂线，
顶点
和垂足
D
之间的线段
叫做三角形的高线，
简称三角形的高。
如右图, 线段AD是BC边上的高.
和垂足的字母
注意
!
标明垂直的记号
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
你还能画出一条高来吗？
当然可以，一个三角形有三个顶点，应该有三条高
锐角三角形的三条高
每人准备一个锐角三角形纸片，画出这个三角形的高
做一做
锐角三角形的三条高交于同一点
你能用其他办法得到它们吗
O
使折痕过顶点，顶点的对边边缘重合
锐角三角形的三条高
都在三角形的内部
对这三条高的位置，你有什么发现？将你的发现与同伴进行交流.
对这三条高的位置，你有什么发现？将你的发现与同伴进行交流.
直角三角形的三条高
在纸上画出一个直角三角形，画出直角三角形的高
做一做
A
B
C
直角边BC边上的高是 ;
AB边
直角边AB边上的高是 ;
BC边
直角三角形的三条高交于直角顶点.
D
对这三条高，你又有什么发现？将你的发现与同伴进行交流.
做BC边上的高， BC边不够长怎么办？
钝角三角形的三条高
在纸上画出一个钝角三角形，画出钝角三角形的高
做一做
为了便于画出AB边上的高，需要把AB延长
A
B
C
D
F
E
把CB延长
BC边上的高是在三角形的内部还是外部
AB边上的高呢？
外部
钝角三角形的三条高
议一议
A
B
C
D
F
钝角三角形的三条高交于一点吗？
钝 角三角形的三条高不相交于一点
钝角三角形的三条高：“谁说我们不交于一点，我们以自己的方式相交”
E
钝角三角形的三条高所在直线交于一点，交点在三角形外
O
从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，
顶点和垂足之间的线段
叫做三角形的高。
三角形的三条高的特性：
高所在的直线是否相交
高之间是否相交
高在三角形内部的数量
钝角三角形
直角三角形
锐角三角形
3
1
1
相交
相交
不相交
相交
相交
相交
三条高所在直线的
交点的位置
三角形内部
直角顶点
三角形外部
三角形的三条高所在直线交于一点
A
B
C
（3）
E
D
F
（4）
1、如图，AD为△ABC的高，则∠ADB= ∠ 。
2、若一个三角形有高在它的外部，则这个三角形为（ ）
3、下图作三角形中的高正确的是（ ）
A
B
C
D
A
B
C
（1）
B
A
C
（2）
练习：
4.分别指出图中△ABC 的三条高。
直角边BC边上的
高是 ;
AB边
直角边AB边上的
高是 ;
CB边
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
斜边AC边上的
高是 ;
BD
AB边上的高是 ;
CE
BC边上的高是 ;
AD
CA边上的高是 ;
BF
拓展练习
拓展练习
2、 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.锐角三角形
B
3、三角形的三条高相交于一点，此一点定在（ ）
A. 三角形的内部 B.三角形的外部
C.三角形的一条边上 D. 不能确定
D
1、下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的高( )
A
D
C
B
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
(A)
(B)
(C)
(D)
D
4.如图,在⊿ABC中, ∠1=∠2,G为AD中点,延长BG交AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断下列说法那些是正确的,哪些是错误的.
⌒
⌒
A
B
C
D
E
1
2
F
G
H
①AD是⊿ABE的角平分线( )
②BE是⊿ABD边AD上的中线( )
③BE是⊿ABC边AC上的中线( )
④CH是⊿ACD边AD上的高( )
三角形的高、中线与角平分线都是线段
×
×
×
√
如图，在△ABC中，BP、CP分别是∠B、 ∠C的平分线，求证： ∠BPC= 90 + ∠A。
B
A
C
P
证明：
∵BP、CP分别是∠B、 ∠C
的平分线(已知)
∴∠1=
1
∠ABC
∴∠2=
2
∠ACB
( )
角平分线定义
∵ ∠BPC +∠1 + ∠2 =180
( 三角形内角和定理 )
∠A +∠ABC +∠ACB=180
( 三角形内角和定理 )
∴∠BPC=180 (∠1 +∠2 )
=180 ( + )
∠ABC
∠ACB
=180 (∠ABC +∠ACB )
=180 (180 ∠A )
=90 + ∠A.
思考题(选做)：
王大爷有一块三角形的菜地,现在要将它们平均分给四个儿子,在菜地的一角A处有一口池塘,为了使分开后的四块菜地都就近取水,王大爷为此很伤脑筋。你能想出什么办法帮帮王大爷吗？
如果不考虑水源,你认为还可以怎样分
A
与三角形有关的线段
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线
在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线
三角形的三条高所在直线交于一点，三条角平分线交于一点，三条中线交于一点(共21张PPT)
思 考
三角形若按角来分类，分为哪几类？
三角形按边长关系，可分为：
等腰三角形（等边三角形是它的特例)
不等边三角形
三角形
同学们手中有直角三角板，请再画一个内角不是90°的三角形
三角形中，三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形 、有一个角是直角的三角形叫做直角三角形、有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形如下图:
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
直角三角形中夹直角的两边叫做直角边，直角相对的边叫做斜边，直角三角形ABC可以写成Rt △ABC
思考
在一个三角形中，三个内角之间有什么关系？
三角形按角的大小关系，可分为：
三角形
直角三角形
斜三角形
锐角三角形
钝角三角形
三角形的三个内角和是多少
想一想
你有什么办法可以验证呢
把三个角拼在一起试试看？
从刚才拼角的过程你能想出证明的办法吗
三角形的内角和等于1800.
已知△ＡＢＣ，求证：∠A+∠B+∠C=180°
C
B
A
三角形的内角和等于1800.
证法１：过A作EF∥BA，
∴∠B=∠2
(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠1
(两直线平行,内错角相等)
又∵∠2+∠1+∠BAC=180°
∴∠B+∠C+∠BAC=180°
E
F
A
B
C
2
1
三角形的内角和等于1800.
证法２：延长BC到D，过C作CE∥BA，
∴ ∠A=∠1
(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2
(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
2
1
E
D
C
B
A
三角形的内角和等于1800.
C
B
E
A
证法3：过A作AE∥BC，
∴∠B=∠BAE
(两直线平行,内错角相等)
∠EAB+∠BAC+∠C=180°
(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠B+∠C+∠BAC=180°
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线。在平面几何里，辅助线通常画成虚线。
思路总结
为了证明三个角的和为1800,转化为一个平角或同旁内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法.
定理应用
三角形的三内角和是180 ，所以三内角可能出现的情况：
一个钝角 两个锐角
钝角三角形
锐角三角形
一个直角 两个锐角
直角三角形
三个都为锐角
钝角三角形
直角三角形
锐角三角形
定理应用
直角三角形：
直角所对的边叫
两个锐角所对的边叫
斜边
直角边
表示方法：
Rt△ABC
直角边
直角边
斜边
A
B
C
∠A+∠B =90
性 质：
（1）一个三角形中最多有 个直角？为什吗？
（2）一个三角形中最多有 个钝角？为什吗？
（3）一个三角形中至少有 个锐角？为什吗？
（4）任意 一个三角形中，最大的一个角的度数至少为 .
1
1
2
60°
2、在△ABC中，
（1）∠C=80°，∠A=23 ° ，则∠B= ；
（2）∠A=70 ° ，∠B=∠C，则∠B= .
（3）∠A+∠B=100 ° ，∠C=2∠B，则∠B= .
1、三角形三个内角的和等于_____.
77°
55°
40°
180°
例1 : 在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=2:3:4，求∠A 、∠B
和∠C的度数.
解：设∠A=2x，则∠B=3x， ∠C=4x.
∴2x+3x+4x=180(三角形内角和定理）
解方程，得x=200
∴ ∠A=2×200=400
∠B=3×200=600
∠C=4×200=800
例2 : 已知:如图，△ABC中，BD⊥AC,垂足为D。∠ABD=54°，∠DBC=18°.求∠A和∠C的度数。
解 由于BD⊥AC，（已知）
所以∠ADB=∠CDB=90°.
在三角形△ABC中，
∠A+ ∠ABD+ ∠ADB=180°,(三角形的三个内角和等于180°)
∠ABD=54°，∠ADB=90°.（已知）
∠A=180°-54°-90°=36°
在△ABC中，
∠C=180°-36°-(54°+18°) =36°
B
C
A
D
例3:如图：∠C =∠D，∠1 =∠2
求证：∠A = ∠F
B
D
C
E
Ａ
F
1
2
G
H
证明：∵∠2 = ∠AHC
（对顶角相等）
∠1 = ∠2
∴∠1 = ∠AHC
（等量代换）
∵∠D =∠C
∠D + ∠F + ∠1 = 1800
∠C + ∠A + ∠AHC = 1800
(三角形的内角和定理)
∴ ∠A = ∠F
（等量代换）
1、如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块形状完全一 样的玻璃,那么最省事的办法是 ( )
(A)带①去 (B)带②去 (C)带③去 (D)带①和②去
C
2、在直角△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ
=９０0，ＡＤ是高，找出图中相等的角．
B
C
A
Ｄ
１
２
通过本节学习，应掌握这样几点：
（一）三角形按角分类；
（二） 三角形内角和定理的具体内容；
（二）利用代数中列方程的方法可以求角的度数.
