2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册5.1.2弧度制课件（23张ppt）

(共23张PPT)
第一章 统计案例
5.1.2
弧 度 制
高一数学必修第一册 第五章 三角函数
1.了解弧度制;
2.能进行角度与弧度的互化;
3.掌握弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.
4.核心素养:直观想象、数学抽象、数学运算.
学习目标
1. 角度制
1周角等于360o
1平角等于180o
1直角等于90o
我们已学习过角的度量，规定周角
的 为1度的角，这种用度作为单位
来度量角的单位制叫做角度制.
一、回顾旧知
在初中几何里，我们学习过角的度量，1度的角的定义是：
周角的 为1度的角.
这种用1 角作单位来度量角的制度叫做角度制 ;今天我们来学习另一种在数学和其他学科中常用的度量角的制度——弧度制.
二、探究新知
如右图，射线O绕O点旋转到OB形成角 .在旋转过程中，OA上的一点P(不同于点O)的轨迹是一条圆弧，这条弧对应于圆心角
探究： 如右图，射线OA上任取一点Q,在旋转过程中,点Q所形成的圆弧 的长度为l1与r1的比值是多少 你能得出什么结论
可以发现，圆心角 所对的弧长与半径的比值，只与 的大小有关，即这个比值随 的确定而唯一确定.因此可以利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角.
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制.
注意：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字或rad可以略去不写.
1.弧度的定义：
2. 弧度制与角度制相比：
弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单位制,
角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；
1弧度≠1 ；
(1)1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角的
大小,而1度是圆周 的所对的圆心角的大小；
(3)弧度制是十进制，它的表示是用一个实数表示,而 角度制是六十进制；
(4)以弧度和度为单位的角，都是一个与半径无关的定值.
3. 弧度制与角度制的换算
① 用角度制和弧度制度量角，零角既是0 角,又是0 rad角，同一个非零角的度数和弧度数是不同的.
② 平角、周角的弧度数：
平角= rad; 周角=2 rad.
③ 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.
④角 的弧度数的绝对值: （l为弧长,r为半径）
注意：（1）关键抓住
（2）弧度制与角度数是不可以混合写
×
360°=2 rad
180°= rad
1°
=
0.01745 rad
1 rad=
=57°18′
3. 弧度制与角度制的换算
1.例4. （1) 把67 30′化成弧度（精确值）.
（2）把67 30′化成弧度(精确到0.001)
(2) 67 30′=67.5 ，
所以67 30′≈67.5×0.0175≈ 1.178 rad.
三、巩固新知
(1) 67 30′=67.5× = .
解：
2.变式：把 化成度.
解：1rad=
3.特殊角的弧度
度 0o 30o 45o 60o 90o 120o
弧度 0
度 135o 150o 180o 270o 360o
弧度
4.用弧度来度量角，实现角的集合
与实数集R之间建立一一对应的关系：
实数集R
角的集合
正角
零角
负角
正实数
零
负实数
对应角的弧度数
锐角：{θ|0°＜θ＜90°}
直角： {θ|θ=90°}
钝角： {θ|90°＜θ＜180°}
平角： {θ|θ=180°}
0°到90°的角：{θ|0°≤θ<90°}
小于90°角：{θ|θ＜90°}
5.例3:请用弧度制表示下列角度所在区间.
5.象限角的表示:
6.用弧度制表示弧长及扇形面积公式：
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数） 的绝对值与半径的积.
① 弧长公式：
由公式：
比公式 简单.（n0转换成弧度）
② 扇形面积公式
其中l是扇形弧长，R是圆的半径.
证明：设扇形所对的圆心角为n (αrad)，则
又 αR=l，所以
证明2：因为圆心角为1 rad的扇形面积是
而弧长为l的扇形的圆心角的大小是 rad.
所以它的面积是：
7.例5. 在半径为R的圆中，240 的中心角所对的弧长为 ，面积为2R2的扇形的中心角等于 弧度.
解： (1)240 = ，根据l=αR，得
(2)根据S= lR= αR2，且S=2R2.
所以 α=4.
8.例6.与角－1825 的终边相同，且绝对值最 小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度.
解：－1825 =－5×360 －25 ，
所以与角－1825 的终边相同，且绝对值最小的角是－25 .
合
9.变式:已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？
解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R.
所以扇形的中心角是2(π－1) rad.
合( )
扇形面积是
“弧化角”：即把角从弧度化为度，如果是　 弧度的角化成度，就可将
(3)“角化弧” : 即把角从度化为弧度，如果是　　的角化
成弧度，就可将
(2) 　　　　　 rad；
（4）弧长公式：
扇形面积公式：
(其中　 为圆心角
所对的弧长， 为圆心角的弧度数， 为圆半径．）
(1)弧度制的概念
四、课堂小结
作业: 课本P176 习题5.1 3、5、6①②题