北师大版（2019）数学-必修第二册-第一章 三角函数-§7.3 正切函数的图象与性质PPT（共23张ppt）

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§7.3 正切函数的图象与性质
正切函数在实际测量中的应用是十分广泛的,例如,测量山的高度、测量池塘的宽度都需要利用正切函数进行解决.同学们,你能够类比研究正弦函数和余弦函数的方法,研究正切函数的图象和性质吗
三角函数包括正、余弦函数和正切函数，我们已经研究了正、余弦函数的图象和性质， 因此, 进一步研究正切函数的性质与图象就成为学习的必然.
1.能画出y＝tan x，x≠＋kπ，k∈Z的图象.
2.理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性，及其在区间内的单调性.
1.通过正切曲线的学习，培养数学抽象素养．
2.通过正切函数的图象与性质的应用，培养数学运算与逻辑推理素养.
课标要求
素养要求
类比画正弦函数图像的方法，首先画出函数y=tanx,x∈(-,)的图像，再利用周期性将其延拓到整个定义域上，为此只需在区间(-,)上取一系列的x值，列表.
探究点1 正切函数的图象
利用表中的数据先在平面直角坐标系内描点，然后用光滑曲线顺次连接，就可以得到函数y=tanx在区间(-,)上的图像.
因为正切函数y=tanx是以π为周期的函数，所以它在区间(kπ-,kπ+),k∈Z,k≠0上与在区间(-,)上的函数图像形状完全相同.函数y=tanx,x∈(-,)上的图象向左、右平移就可以得到正切函数y=tanx在{x∈R|x≠}上的图像,正切函数的图像称为正切曲线.
从图可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线x=,k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的.这些直线称作正切曲线各支的渐近线.观察图不能得出正切函数y=tanx的如下主要性质.
探究点2 正切函数的性质
1.定义域
正切函数的定义域是{x∈R|x≠}.
2.值域
当x从左侧趋近时，tanx趋近正无穷大;
当x从右侧趋近-时，tanx趋近负无穷大.即y=tanx的值域是实数集R.
3.周期性
正切函数是周期函数，周期是,k≠0,最小正周期是π.
4.奇偶性
由tan(-x)=-tanx可知,正切函数是奇函数,正切曲线关于原点对称,(,0)都是它的对称中心.
5.单调性
正切函数在每一个区间(-),上单调递增.
例4 画出下列函数的图象，并求出定义域、周期和单调区间：
⑴ y=tan2x; ⑵ y=tan(x-).
解 ⑴画出y=tan2x的图像，如图,由y=tanx的定义域可知,函数y=tan2x的自变量x应满足2x≠,,即x≠,.
所以函数的定义域是{x∈R|x≠,}.
由于y=tanx的周期是π,因此函数y=tan2x的最小正周期是.
因为y=tanx的单调递增区间是(-),.
所以由-,.
解得-,.
因此函数y=tan2x的单调递增区间是(-),.
⑵画出y=tan(x-)的图像，如图,由y=tanx的定义可知函数y=tan(x-)的自变量应满足x-≠,,即x≠,.因此,函数y=tan(x-)的定义域是{x∈R|x≠,}.
由于tan(x-)=tan(x-+π)=tan[(x+π)-],因此函数y=tan(x-)的最小正周期是π.
由-,，解得-,.
如此函数的单调递增区间是（-）,.
例5 比较下列各组中三角函数的值的大小：
⑴ tan(-)与tan; ⑵ tan(-)与tan(-).
解 ⑴ tan(-)=-tan=-tan(-+π)=-(-tan)=tan,
tan=tan(+π)=tan.
由于y=tanx在区间(0,)上单调递增，因0<<<,因此tan即 tan(-)⑵tan(-)=-tan=-tan(3π+)=-tan,
tan(-)=-tan=-tan(+3π)=-tan.
由于y=tanx在区间(0,)上单调递增，因0<<<,
因此tan即tan(-)>tan.
C
A
2.函数y=tanx(-≤x≤)的值域是（ ）
A. [-1,1] B.(-∞,-1]∪[1,+∞) C.(-∞,1] D.[-1,+∞)
解析 函数y=tanx在区间[-,]上单调递增，tan(-)=-1,tan=1.
被人揭下面具是一种失败，自己揭下面具却是一种胜利.
——雨果