北师大版（2019）数学-必修第二册-第一章 三角函数-§8三角函数的简单应用PPT（共21张ppt）

(共21张PPT)
§8三角函数的简单应用
南宋著名诗人王十朋在江心寺题了一副知名对联．上联是：云朝朝朝朝朝朝朝朝散；下联是：潮长长长长长长长长消．
在这里，诗人王十朋巧妙地运用叠字对联展现了瓯江潮水涨落的壮观画面，当然他对瓯江潮水的描述是感性的，学习三角函数的应用后，我们可以从数学的视角理性地研究有关瓯江潮水涨落的一些实际问题.
周期现象是自然界中最常见的现象之一，三角函数是研究周期现象最重要的数学模型．
面对实际问题建立数学模型y＝Asin(ωx＋φ)＋B 是一项重要的基本技能．
1.了解三角函数是研究周期现象最重要的模型.
2.初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题.
通过三角函数的简单应用，培养数学运算与数学建模素养.
课标要求
素养要求
探究点1 解答三角函数应用题的基本步骤
解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步:审题、建模、解模、回归实际问题.
1.审题:审题是解题的基础,它包括阅读理解、翻译、挖掘等,通过阅读,真正理解用文字语言表述的实际问题的类型、思想内涵、问题的实质,初步预测所属数学模型.有些问题中采用即时定义解释某些概念或专业术语,要仔细阅读,准确把握,同时,注意挖掘一些隐含条件.
2.建模:在细心阅读与深入理解题意的基础上,引进数学符号,将试题中的非数学语言转化为数学语言,然后根据题意,列出数量关系,建立三角函数模型.这时要注意三角函数的定义域应符合实际问题要求,这样便将实际问题转化成了数学问题.
3.解模:运用三角函数的有关公式进行推理、运算,使问题得到解决.
4.回归实际问题:应用问题不是单纯的数学问题,既要符合数学科学,又要符合实际背景,因此,对于解出的结果要代入原问题中进行检验.
探究点2 水车问题
例1 水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，工作示意图如图，设水车(即圆周)的直径为3m,其中心(即圆心)O到水面的距离b=1.2m,逆时针匀速旋转一周的时间是min,水车边缘上一点P距水面的高度为h（单位：m）.
⑴求h与旋转时间t(单位:s)的函数解析式,并画出这个函数的图像;
⑵当雨季河水上涨或旱季河流水量减少时，说所求得的函数解析式中的参数将会发生哪些变化？若水车转速加快或减慢，函数解析式中的参数又会受到怎样的影响？
解 设点P在水面上时高度h为0，当点P旋转到水面下时，点P距水面的高度为负值.
⑴过点P向水面作垂线,交水面于点M,PM的长度为点P的高度h.过水车中心O作PM的垂线，交PM于点N,设Q为水车与水面交点,∠QON=φ.由已知，水车的半径R=1.5m;水车中心到水面的距离b=1.2m;水车旋转一圈所需的时间为T=min=80s,转速为ω==rad/s.
不妨从水车与水面交点Q时开始计时(t=0).旋转ts水车转动的角的大小为α，即∠QOP=α=ωt=rad.
从图中不难看出:h=PM=PN+NM=Rsin(α-φ)+b.
因为sinφ=,所以φ≈53.1°=0.295π rad.因此h≈1.5sin(t-0.295π)+1.2,这就是点P距水面的高度h关于时间t的函数解析式.找出使t-0.295π取0，,π,,2π得五个关键点,列表、描点，画出函数在区间[0,91.8]上的图像:
⑵雨季河水上涨或旱季河河流水量减少，将造成水车中心O与水面距离的改变，导致函数解析式中的参数b发生变化，水面上涨时参数b减小；水面回落时参数b增大.如果水车转速加快，将迟周期T减小，转速减慢这时周期T增大.
总结提升
面对实际问题建立数学模型，是一项重要的基本能技能，这个过程并不神秘，就像这个例题.把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”是很自然的.
B
C
C
不患位之不尊，而患德之不崇；不耻禄之不伙，而耻智之不博.
——张衡