(共30张PPT)
椭圆及其标准方程
高中数学 高二年级 选择性必修一 人教A版
生活中椭圆形物品
探究新知
——仙女座星系
星系中的椭圆
探究新知
天问一号（Tianwen 1 ）是由中国航天科技集团公司下属中国空间技术研究院总研制的探测器，负责执行中国第一次自主火星探测任务 。2020年7月23日在文昌航天发射场由长征五号遥四运载火箭发射升空 ，成功进入预定轨道 。2021年2月到达火星附近，实施火星捕获。2021年5月择机实施降轨，软着陆火星表面，火星车驶离着陆平台，开展巡视探测等工作。
活动探究
画
思
问题2:
在活动探究的基础上，你能用精确的数学语言（符号语言）刻画椭圆吗？椭圆的定义是什么？
|PF1|+|PF2|=常数（大于|F1F2|）
取一条长度一定的细绳，把它的两端固定在画板上的F1和F2两点,当绳长大于F1和F2间的距离时，用铅笔尖把细绳拉紧，使笔尖在图板慢慢移动画出轨迹图形。
问题1
（1）在画图过程中，细绳的两端是固定的还是运动的？
（2）在画图过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？
（3）在画图过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？
问题3
（1）绳子长度不变，把两个定点的距离拉远一些，轨迹是什么？
（2）当绳长等于两定点距离时，轨迹是什么？
（3）当绳长小于两定点距离时，轨迹是什么？
椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距。
①|PF1|+|PF2|=常数（大于|F1F2|）：轨迹为椭圆；
②|PF1|+|PF2|=常数（等于|F1F2|）：轨迹为线段；
③|PF1|+|PF2|=常数（小于|F1F2|）：轨迹不存在；
三种情况
椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距。
01
建系
02
设点
03
列式
04
化简
05
验证
求曲线方程的基本步骤
坐标法：
以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图所示。
解：
设M（x,y）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c（c>0），那么焦点F1，F2的坐标分别为（-c,0)、(c,0)。根据椭圆的定义，设点M与焦点F1，F2的距离的和为2a.
由椭圆的定义可知，椭圆可看做点集
问题3
类比圆的标准方程的推导，请尝试推导椭圆方程。
移项得：
两边平方得：
整理得：
两边平方得：
整理得：
由椭圆的定义可知，
两边同时除得：
两次平方法
当时,
分子有理化得：
整理得： ②
①
①+②整理得： ③
③式平方得：
因为
两边同时除得：
由椭圆的定义可知，
当
分子有理化法
因为所以成等差数列
设，则
①-②得：，所以
代入①式化简得：
因为
由椭圆的定义可知，
两边同时除得：
等差中项法
思考：
观察图3.1-3，你能从中找出表示 的线段吗？
问题4
如果焦点F1,F2在y轴上，且F1,F2的坐标分别为（0，-c）
、（0,c）, a、b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？
以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图所示。
解：
设M（x,y）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c（c>0），那么焦点F1，F2的坐标分别为（-c,0)、(c,0)。根据椭圆的定义，设点M与焦点F1，F2的距离的和为2a.
由椭圆的定义可知，椭圆可看做点集
y
(0,c),(0,-c)
因为
所以
即时练习3
求出下列椭圆方程的 以及焦点坐标。
练习:
已知椭圆的方程为： ，
则a =_____，b =_______，c =_______，
焦点坐标为：_________焦距等于_____；若CD为过左焦点F1的弦，
则△F2CD的周长为_____。
F1
F2
C
D
5
4
3
(3,0)，(-3,0)
6
20
焦点在X轴上 焦点在Y轴上
标准方程
图形
焦点坐标
焦距
a、b、c的关系
2.椭圆的标准方程
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹
标准方程
不 同 点
相 同 点
图 形
焦点坐标
定 义
a、b、c 关系
焦点位置的判断
小结：
x
y
F1
F2
P
O
x
y
F1
F2
P
O
焦点坐标分别为(-2，0)，(2，0)，经过点 ；
变式 求满足下列条件的椭圆的标准方程：
已知椭圆的两个焦点的坐标分别为（0，-3），（0，3）， 椭圆经过点（4，0）.
知识总结 数学方法 数学思想
1.椭圆的几何特征、椭圆的定义及椭圆的标准方程； 2.椭圆的标准方程的推导。 坐标法 定义法 待定系数法 两次平方法 分子有理化法 等差中项法
数形结合
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹
标准方程
不 同 点
相 同 点
图 形
焦点坐标
定 义
a、b、c 关系
焦点位置的判断
小结：
x
y
F1
F2
P
O
x
y
F1
F2
P
O
数学是知识的工具，
亦是其它知识工具的泉源。
所有研究顺序和度量的科学均和数学有关。
――笛卡尔
