北师大版（2019）高中数学-必修第二册-第一章 三角函数-§4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 课件 (共19张PPT)

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§4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义
任意角的三角函数是三角学中最基本最重要的概念之一. 起源于对三角形边角关系的研究，始于古希腊的喜帕恰斯、梅内劳斯和托勒密等人对天文的测量，在相当长的时期里隶属于天文学.直到1464年，德国数学家雷格蒙塔努斯著《论各种三角形》，才独立于天文学之外对三角知识作了较系统的阐说.
1631年，三角学传入中国，三角学在中国早期比较通行的名称是“八线”和“三角”.“八线”是指在单位圆上的八种三角函数线：正弦线、余弦线、正切线、余切线、正割线、余割线、正矢线、余矢线。
随着科学的发展，三角函数成为研究自然界和生产实践中周期变化现象的重要数学工具，它在测量、力学工程和无线电学中有着广泛的应用.
1.了解单位圆与正弦、余弦函数的关系．
2.掌握任意角的正弦、余弦函数定义.
通过正弦、余弦函数定义的学习，培养数学抽象素养.
课标要求
素养要求
初中我们学过，在直角三角形ABC中，∠C=90°，sinα，cosα，tanα分别叫做锐角α的正弦、余弦和正切，它们的值分别等于什么？
A
B
C
α
探究点1 锐角的正弦函数和余弦函数
当角α不是锐角时，我们必须对sinα，cosα，tanα的值进行推广，以适应任意角的需要.如何定义任意角的三角函数呢
对于锐角α，角α的终边与单位圆交于点P(u,v),故u是由锐角唯一确定的，v也是由锐角α唯一确定的.
过点P向x轴作垂线,垂足为M.在Rt OMP中,OP=1,OM=u,MP=v,有
由此可知，对于锐角α来说，点P的纵坐标v
是该角的正弦函数值，记作v=sinα;点P的横
坐标u是该角的余弦函数值，记作u=cosα.
给定任意角α，作单位圆，角α的终边与单位圆的交点为P(u,v),点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的.仿照上述锐角三角函数的定义，把点P的纵坐标v定义为
角α的正弦值，记作v=sinα;把点P的横坐标
u定义为角α的余弦值,记作u=cosα.
探究点2 任意角的正弦函数和余弦函数
如果角的大小用弧度表示，那么，正弦v=sinα，余弦u=cosα分别是以角的大小为自变量，以单位圆上的点的纵坐标、横坐标为函数值的函数，其定义域为全体实数，其值域为实数的子集合.这样定义的正弦函数和余弦函数就与高中引入的函数概念一致了.
例1 已知任意角α终边上除原点外的一点Q(x,y),求角α的正弦函数值、余弦函数值.
解 先考虑角α的终边不在坐标轴上的情况.
设角α的终边与单位圆交于点P，则点P的
坐标为(cosα,sinα),且OP=1.
点Q(x,y)在角α的终边上,则OQ= .
分别过点P,Q作x轴的垂线PM，QN垂足为M,N.
易知△POM∽△QON.所以 ，即 .
因为点P和点Q在同一象限，所以sinα和y的符号相同，于是得到 . 同理, .当角α的终边在坐标轴上时，容易验证上述等式仍然成立.
抽象概括
设角终边上除原点外的一点Q（x，y），则
例2 在单位圆中， .
(1)画出角α；
(2)求角α的正弦函数值和余弦函数值.
解(1)以原点为角的顶点,以x轴的非负半轴为始边，顺时针旋转 .与单位圆交于点P,过点P作x轴的垂线交x轴于点M.于是 即为所作的角.
(2)设点P(u,v),则
1. 角α的终边经过点P(0, b),则( )
A.sin α=0 B.sin α=1
C.sin α=-1 D.sin α=±1
D
A
-8
重要的不是知识的数量，而是知识的质量，有些人知道很多很多，但却不知道最有用的东西.
——列夫 托尔斯泰