北师大版（2019）数学-必修第二册-第一章 三角函数-§4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
§4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
水车又称孔明车,是我国最古老的农业灌溉工具,相传,水车在汉灵帝时由毕岚造出雏形,三国时经孔明改造完善后在蜀国推广使用,隋唐时广泛用于农业灌溉,至今已有1 700余年历史.
如果将水车边缘看成一个圆,如何确定水车边缘上的点呢
设角ɑ终边上除原点外的一点Q（x，y），则
正弦函数v=sinα和余弦函数u=cosα的定义
1.掌握单位圆与正弦、余弦函数的基本性质；
2.掌握正弦函数、余弦函数在各个象限内的符号.
1.通过单位圆与正弦、余弦函数基本性质的学习，培养数学抽象素养．
2.通过正弦函数、余弦函数在各个象限内的符号判断，培养逻辑推理素养.
课标要求
素养要求
设任意角的终边与单位圆交于点P(u,v),当自变量变化时,点P的横坐标、纵坐标也在变化.因此,根据正弦函数v=sinα和余弦函数u=cosα的定义,不难看出它们具有以下基本性质：
探究点1 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
正弦函数、余弦函数的定义域均为R.
1、定义域
2、最大(小)值、值域
当自变量ɑ∈R时,0≤∣sinɑ∣≤1,0≤∣cosɑ∣≤1.
当ɑ=2kπ+ ,k∈z时,正弦函数v=sinɑ取得最大值1;
当ɑ=2kπ- ,k∈z时,正弦函数取得最小值-1.
当ɑ=2kπ,k∈z时,余弦函数u=cosɑ取得最大值1;
当ɑ=(2k+1)π,k∈z时,余弦函数取得最小值-1.
因为函数v=sinɑ，u=cosɑ均能取到-1和1之间的任意值，所以它们的值域均为[-1,1].
3、周期性
由正弦函数、余弦函数的定义可知：
终边相同的角的正弦函数值相等，
即对任意k∈z，sin(ɑ+2kπ)=sinɑ,ɑ∈R;
终边相同的角的余弦函数值相等，
即对任意k∈z，cos(ɑ+2kπ)=cosɑ,ɑ∈R;
正弦函数v=sinɑ和余弦函数u=cosɑ均是周期函数.
对任何k∈z且k≠0，2kπ均是它们的周期，最小正周期为2π.
4、单调性
在单位圆中，当角ɑ由- 增加 到时，sinɑ的值由-1增加到1；当角ɑ由 增加到 时，sinɑ的值由1减小到-1.因此
正弦函数在区间 上单调递增,在区间 上单调递减.
由正弦函数的周期性可知，对任意的k∈z，
正弦函数在区间 上单调递增，
在区间 上单调递减.
4、单调性
在单位圆中，当角ɑ由0增加π到时，cosɑ的值由1减小到-1；当角ɑ由-π增加到0时，cosɑ的值由-1增加到1.因此
余弦函数在区间[0,π]上单调递减,在区间[-π,0]上单调递增.
由余弦函数的周期性可知，对任意的k∈z，
余弦函数在区间[2kπ,(2k+1)π]上单调递减，
在区间[(2k-1)π,2kπ]上单调递增.
在平面直角坐标系中，
当点P(u,v)在上半平面时,正弦函数(v=sinα)值为正;
即点P在第一、第二象限或y轴的正半轴时，正弦函数值为正；
当点P在x轴上时,正弦函数值为零;
当点P在平面直角坐标系的下半平面时,正弦函数值为负,
即点P在第三、第四象限或y轴的负半轴时，正弦函数值为负.
探究点2 正弦函数值和余弦函数值的符号
当点P在平面直角坐标系的右半平面时,余弦函数(v=cosα)值为正.
即点P在第一、第四象限或x轴的正半轴时，余弦函数值为正；
当点P在y轴上时,余弦函数值为零.
当点P在平面直角坐标系的左半平面时,余弦函数值为负,
即点P在第二、第三象限或x轴的负半轴时，余弦函数值为负.
解 (1)函数v=sinα在区间 上单调递增;
(2)函数v=sinα在区间 上单调递增,
在区间 上单调递减.
例3 借助单位圆，讨论函数v=sinα在给定区间上的单调性.
解 当 时,函数v=cosα取得最大值,
最大值为
当α=π时,函数v=cosα取得最小值,
最小值为cosπ=-1.
例4 求函数v=cosα在区间 上的最大值和最小值,并写出取得最大值和最小值时自变量α的值.
B
C
三
把别人的幸福当做自己的幸福，把鲜花奉献给他人，把棘刺留给自己！
——巴尔德斯