北师大版（2019）数学-必修第二册-第一章 三角函数-§4.3 诱导公式与对称、4.4诱导公式与旋转 课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
§4.3 诱导公式与对称、
4.4诱导公式与旋转
风车最早出现在波斯,起初是立轴翼板式风车,后来又发明了水平轴风车.如图所示的风车是由4个扇叶组成,相邻两个扇叶之间的角度为直角,若将风车扇叶的最外侧看作一个质点, 那么四个质点之间存在什么关系？在平面直角坐标系中坐标之间有什么关系
设角ɑ终边上除原点外的一点Q（x，y），则
正弦函数v=sinα和余弦函数u=cosα的定义
1.了解正弦函数、余弦函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些正弦函数、余弦函数的求值、化简和证明问题.
1.借助诱导公式的推导，培养逻辑推理素养．
2.通过诱导公式的应用，提升数学运算素养.
课标要求
素养要求
1.角α与-α的正弦函数、余弦函数关系
在平面直角坐标系中，设任意角α和-α的终边与单位圆的交点分别为点P和点P＇.不难看出这两个角的终边OP，OP＇关于x轴对称，因此点P和点P＇的横坐标相等，纵坐标的绝对值相等且符号相反.即
sin(-α)=-sinα,所以正弦函数v=sinα是奇函数;
cos(-α)=cosα,所以余弦函数u=cosα是偶函数.
探究点1 诱导公式与对称
2.角α与α±π的正弦函数、余弦函数关系
在平面直角坐标系中，设任意角α的终边与单位圆的交点为点P,当点P沿逆(顺)时针方向旋转π弧度至点P＇时，点P＇就是α±π的终边与单位圆的交点，不难看出点P＇与点P关于原点对称.因此它们的横坐标的绝对值相等且符号相反,纵坐标的绝对值也相等且符号相反.即
sin(α+π)=-sinα,sin(α-π)=-sinα;
cos(α+π)=-cosα,cos(α-π)=-cosα.
3.角α与π-α的正弦函数、余弦函数关系
在平面直角坐标系中，任意角α与
π-α的终边关于y轴对称，因此，点P和点
P＇的纵坐标相等,横坐标的绝对值相等且符
号相反.即
sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα.
解 如图, 的终边与单位圆的交点关于原点对称;
的终边与单位圆的交点关于y轴对称;
例5 画出下列各组中的两个角的终边与单位圆的交点，说出它们的对称关系.
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
的终边与单位圆的交点关于x轴对称;
的终边与单位圆的交点关于y轴对称.
⑶ ⑷
例6 求下列三角函数值：
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
例6 求下列三角函数值：
⑶ ⑷
设锐角α的终边与单位圆交于点P(u,v),将终边绕点O沿逆时针方向旋转
得到点P＇,即 的终边与单位圆交与点P＇，由平面几何知识可知：点P＇的坐标为(-v,u)，所以
点P的横坐标cosα与点P＇的纵坐标sin(α+ )相等,即
点P的纵坐标 sinα与点P＇的横坐标cos(α+ )的绝对值相等且符号相反,即
以上结论对任意角α都成立，即对任意角α，有
探究点2 诱导公式与旋转
例7 证明：
证明 设锐角α的终边与单位圆交于点P(u,v),点P的横坐标cosα与点P＇纵坐标sin(α- ）的绝对值相等且符号相反，即sin(α- ）=-cosα.
点P的纵坐标 sinα与点P＇的横坐标cos(α- )相等,
即cos(α- )=sinα
以上结论对任意角α都成立，即对任意角α，有
综上，诱导公式中的角都可看成 n∈Z的形式，其中对于n，“奇变偶不变，符号看象限”.
例8 求下列函数值：
⑴ ⑵ ⑶
例8 求下列函数值：
⑵ ⑶
例9 化简：
A
B
C
悲观的人虽生犹死，乐观的人永生不老.
——拜伦