北师大版（2019）数学-必修第二册-第一章 三角函数-§5.1正弦函数的图象与性质再认识 课件(共37张PPT)

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§5.1正弦函数的图象与性质再认识
公元5世纪到12世纪,印度数学家对三角学做出了较大的贡献.尽管当时三角学仍然是天文学的一个计算工具,但是三角学的内容却由于印度数学家的努力而得到大大的丰富.三角学中“正弦”的概念是由印度数学家首先引进的.
当我们遇到一个新函数时,它总具有许多基本性质,要直观、全面了解基本特性,自然是从它的图象入手,画出它的图象,观察图象的形状,看它的特殊点,并借助它的图象研究它的性质,如值域、单调性、奇偶性、最值等.今天我们就来一起学习正弦函数的图象和性质.
1.能用“五点法”画正弦函数在[0,2π]上的图象.2.理解正弦曲线的意义.3.掌握正弦函数的性质，会求正弦函数的最小正周期，单调区间和最值.
1.通过画正弦函数的图象，培养直观想象素养．
2.通过正弦函数性质的应用，培养数学运算素养.
课标要求
素养要求
在§3中引入了弧度制，在§4中我们借助单位圆学习了正弦函数、余弦函数的概念、性质和诱导公式.
从现在起，正弦函数和余弦函数分别表示为y=sinx和y=cosx，并在平面直角作标系中讨论它们的图象和性质.
探究点1 正弦函数的图象
应该注意到，由于自变量x是用弧度表示的，这里讨论的函数y=sinx和y=cosx都是R的两个子集中元素之间的对应，它们都是周期函数，自变量x可以与角度无关.
因此，自然界大量的周期现象(如简谐振动、潮汐现象等)都可以用这类函数来描述.
先画出正弦函数y=sinx 在区间x∈[0，2π]上的图象.在区间[0，2π]上取一系列的x值，例如，
并借助单位圆获得对应的正弦函数值（如图）.
列表(如表).
利用表中的数据，先在平面直角坐标系内描点，结合对函数y=sinx性质的了解，用光滑曲线顺次连接，就可以得到函数y=sinx在区间[0，2π]上的图象(如图).
思考：
根据函数y=sinx，x∈[0， 2π]的图象，你能想象函数y=sinx，x∈R的图象吗？
将函数y=sinx，x∈[0， 2π]的图象向左、右平移(每次平移2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y=sinx，x ∈ R的图象(如图).正弦函数的图象称作正弦曲线.
这就是正弦函数图象的几何画法
请观察正弦函数的图象(如图)，进一步理解正弦函数的性质.
探究点2 正弦函数性质的再认识
1.定义域
正弦函数的定义域是R.
2.周期性
从正弦函数的图象(如图)可以看到，当自变量x的值增加2π的整数倍时，函数值重复出现.即正弦函数是周期函数，它的最小正周期为2π.同样，也可以从诱导公式sin(x+2kπ)=sin x，k∈Z中得到正弦函数的最小正周期为2π.
2.周期性
因此，为了研究问题方便，可以任意选取一个2π长度的区间，讨论y=sinx的性质，然后延拓到定义域R上.
3.单调性
在正弦函数的图象中，选取长度为2π的区间 观察图，可以看出：当x由 增加到 时，sinx的值由-1增加到1；当x由 增加到 时，sinx的值由1减小到-1.
3.单调性
正弦函数在区间 上单调递增,在区间 上单调递减.
3.单调性
由正弦函数的周期性可知，
正弦函数在每一个区间 k∈z上都单调递增，
在每一个区间 k∈z上都单调递减.
4.最大(小)值和值域
设集合A={x|x=2kπ+ k∈z },B={x|x=2kπ+ k∈z },
当x∈A时,正弦函数y=sinx取得最大值1;反之，当正弦函数y=sinx达到最大值1时,x∈A.
当x∈B时,正弦函数y=sinx取得最小值-1;反之，当正弦函数y=sinx达到最小值-1时,x∈B.
4.最大(小)值和值域
从正弦函数的图象(如图)可以看出，正弦曲线夹在两条平行线y=1和y=-1之间，所以正弦函数的值域是[-1，1].
5.奇偶性
正弦曲线关于原点对称，如图.由诱导公式sin(-x)=-sinx可知，正弦函数是奇函数.
思考：探索正弦函数图象的对称性.它有对称轴吗 有对称中心吗
提示：有，对称轴是x=kπ+ ，k∈z；对称中心是（kπ，0）.
例1 比较下列各组三角函数值的大小：
(1) 与 ；(2) 与 .
思考:在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？
探究点3 五点(画图)法
在一个周期内，例如[[0，2π]，从正弦函数的图象(如图)可以看出:x=0，π， 2π是y=sinx的零点； ， 分别是y=sinx的最大值点、最小值点.它们在正弦曲线中起着关键作用.
根据正弦曲线的基本性质，描出 (0，0) ( ，1)， (π，0) ，( ，-1)， (2π，0)这五个关键点后，函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象就基本确定了(如图).
因此，在精确度要求不太高时，常常先描出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们顺次连接起来，就得到正弦函数的简图.这种作正弦曲线的方法称为“五点(画图)法”.
例2 画出函数y=-sinx在区间[0，2π]上的图象.
解 按照五个关键点列表：
得到五个关键点：
解 按照五个关键点列表：
得到五个关键点：
描点连线：
例3 画出函数y=sinx-1的图象，并讨论它的性质.
解：函数y=sinx的周期是2π，按五个关键点列表(如表).
于是得到函数y=sinx-1在[0，2π]上的五个关键点为
描点，并用光滑曲线将它们顺次连接起来，就画出函数y=sinx-1在区间[0，2π]上的图象.将其按周期延拓到R上得到y=sinx-1在实数集上的图象，如图.
观察图象得出y=sinx-1的性质(如表).
D
A
被人揭下面具是一种失败，自己揭下面具却是一种胜利.
——雨果