北师大版（2019）数学-必修第二册-第一章 三角函数-§5.2余弦函数的图象与性质再认识 课件(共30张PPT)

(共30张PPT)
§5.2余弦函数的图象与性质再认识
图象的平移变换（a＞0，b＞0）
向上平移 b个单位长度
向下平移 b个单位长度
f（x）
向左平移a个单位长度
向右平移a个单位长度
f（x）-b
f（x）+b
f（x+a）
f（x-a）
图象的对称变换
f（x）
关于x轴对称
-f（x）
f（-x）
关于y轴对称
1.能正确使用“五点法”、“图象变换法”画出余弦函数的简图2.掌握余弦函数的性质，会求余弦函数的最小正周期，单调区间和最值.
1.通过画余弦函数的图象，培养直观想象素养．
2.通过余弦函数的性质的应用，培养数学运算素养.
课标要求
素养要求
在区间[0，2π]上取一系列的x值，例如0， ， ， ，··· ， 2π列表(如表).
探究点1 余弦函数的图象
利用表中的数据，先在平面直角坐标系内描点，结合对函数y=cosx性质的了解，用光滑曲线将它们顺次连接起来，就可以得到区间[[0，2π]上y=cosx的图象(如图).
由周期性可知，函数y=cosx在区间[2kπ， 2(k+1)π]，k∈Z，k≠0上与在区间[0， 2π]上的函数图象形状完全相同，只是位置不同，将函数y=cosx，x ∈[0， 2π]的图象向左、右平移(每次平移2π个单位长度)，就可以得到余弦函数y=cosx，x ∈R的图象(如图).
余弦函数y=cosx，x ∈R的图象称作余弦曲线.
图中给出了余弦曲线的基本形状.在一个周期内，例如区间[0， 2π]，以下五个关键点(0，1) (，0)， (π，-1)， (，0) ， (2π，1)这起着关键的作用，它们分别表示了余弦曲线与x轴的交点(，0)， (，0)，余弦函数取得最大值时的点为(0，1)，(2π，1)，取得最小值时的点为(π，-1).
根据余弦曲线的基本性质，描出这五个点后，函数y=cosx在区间x∈[0，2π]的图象就基本确定了(如图).
因此，在精确度要求不太高时，常常先描出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们顺次连接起来，就得到余弦函数的简图.这种作余弦曲线的方法也称为“五点(画图)法”.
由诱导公式cosx=sin 可知，y=cosx的图象就是函数y=sin 的图象.即余弦函数y=cosx的图象可以通过将正弦曲线y=sinx向左平移个单位长度得到(如图).
例4 画出函数y=cos(x-π)在一个周期上的图象.
解 按五个关键点列表(如表).
于是得到函数y=cos(x-π)在区间[π，3π]上的五个关键点为
(π，1)，(，0)， (2π，-1) ，(，0)， (3π，1).
描点，并用光滑曲线将它们顺次连接起来，就画出函数y=cos(x-π)在一个周期上的图象(如图).
例4 画出函数y=cos(x-π)在一个周期上的图象.
解 也可以利用诱导公式y=cos(x-π) =cosx，画出y=cosx的图象.
思考交流
画出下列函数在区间上的图象：
(1)y=2+cosx； (2) y=3cosx.
类比对正弦函数性质再认识的学习方式，通过观察图得到余弦函数y=cos x在x∈R上的主要性质.
探究点2 余弦函数性质的再认识
1.定义域
余弦函数的定义域是R.
2.周期性
由于余弦函数y=cos x的图象是由正弦曲线y=sinx向左平移个单位长度得到的.可以证明，余弦函数是周期函数，它的最小正周期是2π.
因此，为了研究问题方便，通常选取区间[0，2π]讨论其性质，然后延拓到它的定义域R上.
3.单调性
由图看到，当x由-π增大到0时，cosx的值由-1增大到1；当x由0增大到π时，cosx的值由1减小到-1.因此，余弦函数在区间[-π ，0]上单调递增，在区间[0， π]上单调递减.由余弦函数的周期性可知，余弦函数在区间[(2k-1)π，2kπ] ，k∈Z上都单调递增，在每一个区间[2kπ，(2k+1)π] ， k∈Z上都单调递减.
当x= 2kπ，k∈Z时，余弦函数取得最大值1；
当x= (2k+1)π ，k∈Z时，余弦函数取得最小值-1.
余弦函数的值域是[-1，1].
4.最大(小)值和值域
5.奇偶性
余弦曲线关于y轴对称(如图).由诱导公式cos(-x)=cosx可知，余弦函数是偶函数.
例5 画出函数y=cosx-1在一个周期上的图象，并根据图象讨论函数的性质.
解 函数y=cosx-1的最小正周期是2π，按五个关键点列表(如表).
于是得到函数y=cosx-1在区间[0，2π]的五个关键点为(0，0) ，(，-1)，(π，-2)，(，-1)，(2π，0).
描点，并用光滑曲线将它们顺次连接起来，就画出函数y=cosx-1在区间[0，2π]上的图象，如图.
由函数y=cosx-1的图象得到它的主要性质(如表).
思考交流
请借助余弦函数y=cosx的图象，求满足不等式cosx≥的x的取值范围.
取值范围： [2kπ -， +2kπ]
A
D
-9
白发无凭吾老矣！青春不再汝知乎？年将弱冠非童子，学不成名岂丈夫？
——俞良弼