人教版七年级数学下册5.1.2 垂线教案
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文档简介
5.1.2 垂 线
一、内容和内容解析
1.内容
垂线的概念和性质，点到直线的距离。
2.内容解析
垂线的概念、画法和性质是“图形和几何”领域的基本内容之一，在生活中有着广泛的应用。对它的学习是在相交线、对顶角等知识的基础上进行的，它也是进一步学习空间里的垂直关系，研究三角形、四边形等平面图形以及平面直角坐标系等知识的基础。
垂线是相交的特殊情形，它是利用角的特殊数量关系来刻画的。当两条直线相交所成的四个角中的任意一个等于90度时，两条直线垂直。垂线有两个性质，第一个性质是“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，体现了垂线的存在性和唯一性，这是垂线作图的保证。垂线的第二个性质是“垂线段最短”，是定义点到直线距离的依据。
本节课的教学重点：垂线的概念和性质。
二、目标和目标解析
1.目标
（1）理解垂线、垂线段的概念，运用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。理解点到直线的距离的概念，能度量点到直线的距离。掌握垂线的性质。
（2）通过观察、思考、探究等活动归纳出垂线的概念和性质，利用所学知识进行说理，体会从一般到特殊的方法，提高逻辑思维能力。通过利用垂线的性质解决简单的实际问题，提高应用意识。
2.目标解析
达成目标（1）的标志是:会用文字语言、图形语言、符号语言表示垂线、垂线段的概念。会用三角尺或量角器过一点画已知直线、射线和线段的垂线。知道点到直线距离的概念，能度量点到直线的距离。掌握垂线的性质，并会利用垂线的性质进行说理。
达成目标（2）的标志是：经历观察、思考、探究等活动发现结论并对结论进行说明、解释的过程，归纳得出垂线的概念和性质，体会从一般到特殊的方法以及利用角的数量关系研究直线的位置关系的研究几何图形的思路。通过利用垂线的性质进行说理，提高逻辑思维能力。通过利用垂线的性质解决简单的实际问题，体会数学在实际生活中的应用，培养学生的应用意识。
三、教学重难点
教学重难点：垂线的画法及归纳垂线的性质。
四、教学策略分析
1.教学方法
①直观式教学与探究式教学相结合，直接调动学生眼、手、耳、脑等多种感官来探索发现几何结论；
②具体——抽象——具体。
2.教学程序
思——创设情境，导入新课； 做——动手操作，探索新知；
说——结合实例，巩固新知； 画——多种方法，突出重点；
想——经验积累，突破难点； 忆——知识小结，形成习惯；
练——分层互促，落实新知.
五、教学过程设计
1.情境导入
问题1：在灌溉时，要把河流ι中的水引到农田P处，如果你是水利工程师该设计怎样的水渠挖掘方案？如何挖渠能使渠道最短？
图1
师生活动：学生代表回答并在黑板上画出，教师点评后导入新课。
设计意图：用生活中实际例子及复习了相交线有关知识，也为垂线概念的得到进行铺垫。
2.垂线概念
问题2：如图3，取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定木条a,转动木条b.
(1）在木条b的转动过程中，什么量也随之发生改变？
(2）木条a与b所成角为的位置有几个？此时，
木条a与b所在的直线有什么位置关系？ 图2
师生活动：教师演示教具并提出问题，学生观察、思考并回答，其他学生给予纠正或补充。教师引导学生结合小学对垂直的认识和对相交线模型的观察叙述垂直的概念，教师指出垂直的符号语言及图形语言的表示。
（1）垂直的概念：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，叫做这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。记法：如图3，
AB⊥CD，垂足为O.
(2）符号语言： 图3 图4
如图4，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O。
① 因为∠AOD=90°（已知）
所以AB⊥CD（垂直的定义）
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么，∠AOD=90°。
② 因为AB⊥CD （已知）
所以∠AOD=90°（垂直的定义）
设计意图:结合相交线的模型，让学生理解两条直线垂直的位置关系，体会它是两条直线相交的特殊情况，两条直线垂直是利用两条直线相交所成的角的数量关系来刻画的。结合文字语言、图形语言、符号语言使学生从不同角度认识垂直，加深对垂直的认识和理解。
问题3： 举例说出日常生活中两条互相垂直的直线
木窗户上的横梁与边框所在直线、围栏中的木条与地面所在直线、交叉的道路所在直线、方格本的横线和竖线所在直线、建筑工地上大型起吊机的横梁与竖塔所在直线、建筑物上的横梁与立柱所在直线等等。
设计意图:让学生明确平面内两条直线的位置关系，结合生活中的实例加深对垂直关系的理解，体会数学与实际生活的紧密联系。
3.垂线画法及垂线性质1
问题4：如图5用三角尺或量角器画已知直线ι的垂线。
（1)用三角尺或量角器画已知直线ι的垂线，这样的垂线能画出几条？
（2)经过一点画已知直线ι的垂线，这样的垂线能画出几条？
图5
师生活动：学生动手操作，领悟画图的方法与技巧，思考并回答问题（1），得出可以画出无数条已知直线ι的垂线。
追问1 经过一点画已知直线ι的垂线有几种情况？
追问2 通过画图，你发现过一点可以画几条直线与已知直线垂直？
师生活动：学生思考问题，明确这个点可以在直线ι上，也可以在直线ι外，并动手画图，在教师的引导下归纳得出垂线性质1.
垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
设计意图：让学生通过动手操作，掌握垂线的画法，并进一步归纳得出垂线的性质1.
4.垂线性质2
问题5：如图6在灌溉时，要把河流ι中的水引到农田P处，可以有多少种引法？在方格纸上画出来，如何挖渠能使渠道最短，为什么？
图6 图7
引导学生思考：
（1）如图7，在直线上有无数个点，试着取几个点与点P相连，比较一下他们的大小关系，你有什么收获？
（2）你能猜想一下最短的位置会在哪？它是唯一的吗？
（3）能用一句话总结出观察得出的结论吗
（4）结合图形说明垂线与垂线段的区别与联系。
师生活动：（1)引导学生将实际问题转化为数学问题，画出图形。
（2）引导学生通过动手操作，讨论，找到最短的位置。
（3）学生讨论，在教师的引导下归纳得出垂线的性质2.
垂线性质2 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简单说成：垂线段最短。
教师给出点到直线的距离的定义。
点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离。
设计意图：让学生在解决一个实际问题的情景中经过讨论，归纳得出垂线的性质2，并以此为依据学习点到直线的距离的概念，加深对知识的理解，进一步体会数学在实际生活中的应用。
5.小结
教师与学生一起回顾本节课所学知识，并请学生回答以下问题：
(1).本节课学习了哪些主要内容？
(2).解决了哪些实际问题
设计意图：通过归纳小结，提升对所学知识的认识和理解。
6.布置作业
教科书习题5.1第3、5、6、7题。
六、目标检测设计
1.两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是( )
（A）有两个角相等 （B）有两对角相等 （C）有三个角相等 （D）有四对邻补角
设计意图：考察学生对垂线定义的理解。
2.如图, AC⊥BC, ∠C=900 ,线段AC、BC、CD中最短的是( )
(A)AC (B)BC (C)CD (D) 不能确定
设计意图：考察学生对垂线段最短的理解。 （第2题）
3.过点P 向线段AB 所在直线引垂线，正确的是（ ）
（第3题）
设计意图：考察学生对垂线的画法的掌握。
4、如图 ，已知AB. CD相交于O, OE⊥CD于O,∠AOC=36°，
求∠BOE。
（第4题）
设计意图：考察学生利用垂直的定义、对顶角相等求出角的度数。
5.过点p画出线段AB或射线AB的垂线。
(第5题)
6.在一张半透明的纸上画一条直线ι，在ι上任取一点P，在ι外任取一点Q，折出过点P且与ι垂直的直线，这样的直线能折出几条？为什么？过点Q呢？
（1)为什么折出的折痕是直线ι的垂线
（2)过点P或过点Q，分别折出几条直线与直线ι垂直？
设计意图：让学生明确画一条线段或射线的垂线就是画它们所在直线的垂线，让学生通过折纸作垂线，通过动手操作，体会垂线的存在性和唯一性。
一、内容和内容解析
1.内容
垂线的概念和性质，点到直线的距离。
2.内容解析
垂线的概念、画法和性质是“图形和几何”领域的基本内容之一，在生活中有着广泛的应用。对它的学习是在相交线、对顶角等知识的基础上进行的，它也是进一步学习空间里的垂直关系，研究三角形、四边形等平面图形以及平面直角坐标系等知识的基础。
垂线是相交的特殊情形，它是利用角的特殊数量关系来刻画的。当两条直线相交所成的四个角中的任意一个等于90度时，两条直线垂直。垂线有两个性质，第一个性质是“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，体现了垂线的存在性和唯一性，这是垂线作图的保证。垂线的第二个性质是“垂线段最短”，是定义点到直线距离的依据。
本节课的教学重点：垂线的概念和性质。
二、目标和目标解析
1.目标
（1）理解垂线、垂线段的概念，运用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。理解点到直线的距离的概念，能度量点到直线的距离。掌握垂线的性质。
（2）通过观察、思考、探究等活动归纳出垂线的概念和性质，利用所学知识进行说理，体会从一般到特殊的方法，提高逻辑思维能力。通过利用垂线的性质解决简单的实际问题，提高应用意识。
2.目标解析
达成目标（1）的标志是:会用文字语言、图形语言、符号语言表示垂线、垂线段的概念。会用三角尺或量角器过一点画已知直线、射线和线段的垂线。知道点到直线距离的概念，能度量点到直线的距离。掌握垂线的性质，并会利用垂线的性质进行说理。
达成目标（2）的标志是：经历观察、思考、探究等活动发现结论并对结论进行说明、解释的过程，归纳得出垂线的概念和性质，体会从一般到特殊的方法以及利用角的数量关系研究直线的位置关系的研究几何图形的思路。通过利用垂线的性质进行说理，提高逻辑思维能力。通过利用垂线的性质解决简单的实际问题，体会数学在实际生活中的应用，培养学生的应用意识。
三、教学重难点
教学重难点：垂线的画法及归纳垂线的性质。
四、教学策略分析
1.教学方法
①直观式教学与探究式教学相结合，直接调动学生眼、手、耳、脑等多种感官来探索发现几何结论；
②具体——抽象——具体。
2.教学程序
思——创设情境，导入新课； 做——动手操作，探索新知；
说——结合实例，巩固新知； 画——多种方法，突出重点；
想——经验积累，突破难点； 忆——知识小结，形成习惯；
练——分层互促，落实新知.
五、教学过程设计
1.情境导入
问题1：在灌溉时，要把河流ι中的水引到农田P处，如果你是水利工程师该设计怎样的水渠挖掘方案？如何挖渠能使渠道最短？
图1
师生活动：学生代表回答并在黑板上画出，教师点评后导入新课。
设计意图：用生活中实际例子及复习了相交线有关知识，也为垂线概念的得到进行铺垫。
2.垂线概念
问题2：如图3，取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定木条a,转动木条b.
(1）在木条b的转动过程中，什么量也随之发生改变？
(2）木条a与b所成角为的位置有几个？此时，
木条a与b所在的直线有什么位置关系？ 图2
师生活动：教师演示教具并提出问题，学生观察、思考并回答，其他学生给予纠正或补充。教师引导学生结合小学对垂直的认识和对相交线模型的观察叙述垂直的概念，教师指出垂直的符号语言及图形语言的表示。
（1）垂直的概念：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，叫做这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。记法：如图3，
AB⊥CD，垂足为O.
(2）符号语言： 图3 图4
如图4，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O。
① 因为∠AOD=90°（已知）
所以AB⊥CD（垂直的定义）
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么，∠AOD=90°。
② 因为AB⊥CD （已知）
所以∠AOD=90°（垂直的定义）
设计意图:结合相交线的模型，让学生理解两条直线垂直的位置关系，体会它是两条直线相交的特殊情况，两条直线垂直是利用两条直线相交所成的角的数量关系来刻画的。结合文字语言、图形语言、符号语言使学生从不同角度认识垂直，加深对垂直的认识和理解。
问题3： 举例说出日常生活中两条互相垂直的直线
木窗户上的横梁与边框所在直线、围栏中的木条与地面所在直线、交叉的道路所在直线、方格本的横线和竖线所在直线、建筑工地上大型起吊机的横梁与竖塔所在直线、建筑物上的横梁与立柱所在直线等等。
设计意图:让学生明确平面内两条直线的位置关系，结合生活中的实例加深对垂直关系的理解，体会数学与实际生活的紧密联系。
3.垂线画法及垂线性质1
问题4：如图5用三角尺或量角器画已知直线ι的垂线。
（1)用三角尺或量角器画已知直线ι的垂线，这样的垂线能画出几条？
（2)经过一点画已知直线ι的垂线，这样的垂线能画出几条？
图5
师生活动：学生动手操作，领悟画图的方法与技巧，思考并回答问题（1），得出可以画出无数条已知直线ι的垂线。
追问1 经过一点画已知直线ι的垂线有几种情况？
追问2 通过画图，你发现过一点可以画几条直线与已知直线垂直？
师生活动：学生思考问题，明确这个点可以在直线ι上，也可以在直线ι外，并动手画图，在教师的引导下归纳得出垂线性质1.
垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
设计意图：让学生通过动手操作，掌握垂线的画法，并进一步归纳得出垂线的性质1.
4.垂线性质2
问题5：如图6在灌溉时，要把河流ι中的水引到农田P处，可以有多少种引法？在方格纸上画出来，如何挖渠能使渠道最短，为什么？
图6 图7
引导学生思考：
（1）如图7，在直线上有无数个点，试着取几个点与点P相连，比较一下他们的大小关系，你有什么收获？
（2）你能猜想一下最短的位置会在哪？它是唯一的吗？
（3）能用一句话总结出观察得出的结论吗
（4）结合图形说明垂线与垂线段的区别与联系。
师生活动：（1)引导学生将实际问题转化为数学问题，画出图形。
（2）引导学生通过动手操作，讨论，找到最短的位置。
（3）学生讨论，在教师的引导下归纳得出垂线的性质2.
垂线性质2 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简单说成：垂线段最短。
教师给出点到直线的距离的定义。
点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离。
设计意图：让学生在解决一个实际问题的情景中经过讨论，归纳得出垂线的性质2，并以此为依据学习点到直线的距离的概念，加深对知识的理解，进一步体会数学在实际生活中的应用。
5.小结
教师与学生一起回顾本节课所学知识，并请学生回答以下问题：
(1).本节课学习了哪些主要内容？
(2).解决了哪些实际问题
设计意图：通过归纳小结，提升对所学知识的认识和理解。
6.布置作业
教科书习题5.1第3、5、6、7题。
六、目标检测设计
1.两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是( )
（A）有两个角相等 （B）有两对角相等 （C）有三个角相等 （D）有四对邻补角
设计意图：考察学生对垂线定义的理解。
2.如图, AC⊥BC, ∠C=900 ,线段AC、BC、CD中最短的是( )
(A)AC (B)BC (C)CD (D) 不能确定
设计意图：考察学生对垂线段最短的理解。 （第2题）
3.过点P 向线段AB 所在直线引垂线，正确的是（ ）
（第3题）
设计意图：考察学生对垂线的画法的掌握。
4、如图 ，已知AB. CD相交于O, OE⊥CD于O,∠AOC=36°，
求∠BOE。
（第4题）
设计意图：考察学生利用垂直的定义、对顶角相等求出角的度数。
5.过点p画出线段AB或射线AB的垂线。
(第5题)
6.在一张半透明的纸上画一条直线ι，在ι上任取一点P，在ι外任取一点Q，折出过点P且与ι垂直的直线，这样的直线能折出几条？为什么？过点Q呢？
（1)为什么折出的折痕是直线ι的垂线
（2)过点P或过点Q，分别折出几条直线与直线ι垂直？
设计意图：让学生明确画一条线段或射线的垂线就是画它们所在直线的垂线，让学生通过折纸作垂线，通过动手操作，体会垂线的存在性和唯一性。