人教A版 选择性必修第二册 4.4 数学归纳法 课件(共39张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教A版 选择性必修第二册 4.4 数学归纳法 课件(共39张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 3.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-13 16:47:38 | ||
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文档简介
(共39张PPT)
第四章 数列
4．4* 数学归纳法
学习指导 核心素养
1.理解数学归纳法的定义，了解数学归纳法的原理． 2．能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题． 1.数学抽象：数学归纳法的原理．
2．逻辑推理：数学归纳法的应用．
数学归纳法的概念及步骤
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n＝______________时命题成立；
(2)(归纳递推)以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝________时命题也成立”．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成
立，这种证明方法称为数学归纳法．
n0(n0∈N*)
k＋1
1．在推导等差(比)数列的通项公式时，我们从a1，a2，a3，a4，…的规律归纳得到an，是否严谨？
提示：这是从个别情况推出一般结论，是不完全归纳法，从逻辑上来说是不严谨的．
2．数学归纳法的归纳奠基中的n0一定是1吗？
提示：n0是我们要证明的命题对象的最小正整数，并不一定是1.
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．( )
(2)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．( )
(3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．( )
(4)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.( )
×
√
×
×
√
答案：3
探究点1 用数学归纳法证明等式
[问题探究]
证明和正整数n有关的等式时，从n＝k到n＝k＋1时，是否等式两边都增加一项即可？
探究感悟：从n＝k到n＝k＋1等式两边的差异要明确，并不一定增加一项,要观察等式的特征和规律，确定证明目标．
用数学归纳法证明等式的方法
探究点2 用数学归纳法证明不等式
[问题探究]
用数学归纳法证明不等式的第二步中，没有用到归纳假设，直接利用放缩法证出n＝k＋1时的情况是否可以？
探究感悟：在第二步证明n＝k＋1命题成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1时命题也成立”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k) 中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．
用数学归纳法证明不等式的思路方法
(1)在应用归纳假设证明的过程中，方向不明确时，可采用分析法完成，经过分析找到推证的方向后，再用综合法、比较法等其他方法证明．
(2)在推证“n＝k＋1时的不等式也成立”的过程中，常常要将表达式作适当放缩变形，以便于应用归纳假设，变换出要证明的结论．
“归纳—猜想—证明”的一般环节
设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的正整数n都满足(Sn－1)2＝anSn.
(1)求S1，S2，S3的值，猜想Sn的表达式；
(2)用数学归纳法证明(1)中猜想的Sn的表达式的正确性．
√
√
证明：①当n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1).当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以当n＝k＋1时，等式也成立．由①②得，等式对任何n∈N*都成立．
生如蝼蚁当立鸿鹄之志
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第四章 数列
4．4* 数学归纳法
学习指导 核心素养
1.理解数学归纳法的定义，了解数学归纳法的原理． 2．能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题． 1.数学抽象：数学归纳法的原理．
2．逻辑推理：数学归纳法的应用．
数学归纳法的概念及步骤
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n＝______________时命题成立；
(2)(归纳递推)以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝________时命题也成立”．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成
立，这种证明方法称为数学归纳法．
n0(n0∈N*)
k＋1
1．在推导等差(比)数列的通项公式时，我们从a1，a2，a3，a4，…的规律归纳得到an，是否严谨？
提示：这是从个别情况推出一般结论，是不完全归纳法，从逻辑上来说是不严谨的．
2．数学归纳法的归纳奠基中的n0一定是1吗？
提示：n0是我们要证明的命题对象的最小正整数，并不一定是1.
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．( )
(2)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．( )
(3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．( )
(4)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.( )
×
√
×
×
√
答案：3
探究点1 用数学归纳法证明等式
[问题探究]
证明和正整数n有关的等式时，从n＝k到n＝k＋1时，是否等式两边都增加一项即可？
探究感悟：从n＝k到n＝k＋1等式两边的差异要明确，并不一定增加一项,要观察等式的特征和规律，确定证明目标．
用数学归纳法证明等式的方法
探究点2 用数学归纳法证明不等式
[问题探究]
用数学归纳法证明不等式的第二步中，没有用到归纳假设，直接利用放缩法证出n＝k＋1时的情况是否可以？
探究感悟：在第二步证明n＝k＋1命题成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1时命题也成立”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k) 中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．
用数学归纳法证明不等式的思路方法
(1)在应用归纳假设证明的过程中，方向不明确时，可采用分析法完成，经过分析找到推证的方向后，再用综合法、比较法等其他方法证明．
(2)在推证“n＝k＋1时的不等式也成立”的过程中，常常要将表达式作适当放缩变形，以便于应用归纳假设，变换出要证明的结论．
“归纳—猜想—证明”的一般环节
设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的正整数n都满足(Sn－1)2＝anSn.
(1)求S1，S2，S3的值，猜想Sn的表达式；
(2)用数学归纳法证明(1)中猜想的Sn的表达式的正确性．
√
√
证明：①当n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1).当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以当n＝k＋1时，等式也成立．由①②得，等式对任何n∈N*都成立．
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