黑龙江省黑河市逊克县第一高级中学2021届高三上学期期中考试数学（文）试卷（Word版含答案解析）
文档属性
| 名称 | 黑龙江省黑河市逊克县第一高级中学2021届高三上学期期中考试数学（文）试卷（Word版含答案解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-12 19:39:28 | ||
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文档简介
逊克县第一高级中学2021届高三上学期期中考试
数学（文科）试卷
考试时间：120分钟
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2. 设，则= （ ）
A.2 B. C. D.1
3. 某口罩生产工厂为了了解口罩的质量，现将生产的50个口罩编号为01，02，…，50，利用如下随机数表从中抽取10个进行检测.若从下表中第1行第7列的数字开始向右依次读取2个数据作为1个编号，则被抽取的第8个个体的编号为（ ）
72 84 71 14 35 19 11 58 49 26 50 11 17 17 76 86 31 57 20 18 95 60 78 46 75
88 78 28 16 84 13 52 53 94 53 75 45 69 30 96 73 89 65 70 31 99 14 43 48 76
A．18 B．17 C．11 D．50
4．函数的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于直线对称
C．关于点对称 D．关于直线对称
5．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示.若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中的酒量”，即输出值是输入值的，则输入的（ ）
A． B． C． D．
6．已知实数满足不等式组，则目标函数的最大值为（ ） （第5题图）
A． B． C． D．
7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱为（ ）
A．4 B．
C． D．2
8．已知，且不等式对任意恒成立，则的最大值为（ ） （第7题图）
A． B． C． D．
9.“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“阶幻方”是由前个正整数组成的—个阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）．则“5阶幻方”的幻和为（ ） （第9题图）
A．75 B．65 C．55 D．45
10．函数的图象可能是（ ）
A B C D
11．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为（ ）
A . 7 B. 8 C. 9 D. 10
12．已知函数，则的大小关系（ ）
A . B.
C. D.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 等差数列的前项和为，若，则
14．设平面上向量，，若，则角α的大小为
15．已知定义在上的函数对任意都满足，且当时，，则函数的零点个数为
16. 在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分.）
17. (本小题满分12分)在中,角的对边分别为,且.
(1)求角;
(2)若的面积为,求的最小值.
18. (本小题满分12分)已知数列的前项和为，若，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求.
19．(本小题满分12分)2020年寒假，因为“新冠”疫情全体学生只能在家进行网上学习，为了研究学生网上学习的情况，某学校随机抽取名学生对线上教学进行调查，其中男生与女生的人数之比为，抽取的学生中男生有人对线上教学满意，女生中有名表示对线上教学不满意.
（1）完成列联表，并回答能否有的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”；
（2）从被调查的对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取名学生，再在这名学生中抽取名学生，作线上学习的经验介绍，求其中抽取一名男生与一名女生的概率.
附：.
20．(本小题满分12分) 如图，矩形中，，，、是边的三等分点.现将、分别沿、折起，使得平面、平面均与平面垂直.
（1）若为线段上一点，且，求证：平面；
（2）求多面体的体积.
21. （本小题满分12分）已知函数，.
（1）求的单调区间；
（2）已知有两个极值点，且，求证：.
22.（本小题满分10分）（选修4—4：极坐标与参数方程）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.
（1）写出曲线，的普通方程；
（2）过曲线的左焦点且倾斜角为的直线交曲线于，两点，求.
23.（本小题满分10分）（选修4-5：不等式选讲）
已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若存在满足，求实数的取值范围.
答案
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．【答案】D
2. 【答案】D
3. 【答案】B
4. 【答案】A
5. 【答案】C
时，；时，；时，；时，退出循环.此时，，解得.故选C
6．【答案】D
【解析】如图
由，令，则目标函数的一条等值线为
当该等值线经过点时，目标函数有最大值
所以
故选：D
7．【答案】B
【解析】
由三视图可得，该几何体是如图所示的四棱锥，底面是边长为2的正方形，侧面是边长为2的正三角形，且侧面底面．
根据图形可得四棱锥中的最长棱为和，结合所给数据可得，所以该四棱锥的最长棱为．
故选B．
8．【答案】C
【解析】由题意不等式对任意恒成立
又∴a+b≤6则 当且仅当 成立
故
故选：C
9.【答案】B
【解析】依题意“5阶幻方”的幻和为，故选B.
10．【答案】C
【详解】
设，定义域为，，所以为奇函数，
故排除选项B；又，排除选项A；，排除选项D.
故选：C
11. 【答案】C
【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此
12．【答案】A
【解析】令，所以是偶函数；
当时，，在上是增函数，
将图像向右平移一个单位得到图像，
所以关于直线对称，且在单调递增.
∵，，，
∴，
∴，
又∵关于直线对称，∴，
∴.故选：A
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.【答案】9
【解析】由等差数列性质可知：，解得：
14．【答案】
【解析】因为，，所以，
因为，所以，
所以即，
所以，所以，由可得.
15．【答案】3
【解析】当时，则，
此时有，
∵，∴，
∴函数是周期为2的周期函数．
令，则，
由题意得函数的零点个数即为函数的图象与函数的图象交点的个数．
在同一坐标系内画出函数和函数的图象（如图所示），
结合图象可得两函数的图象有三个交点，
∴函数的零点个数为3．
16.【答案】
【解析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，
所以可在其每个面补上一个以，2，为三边的三角形作为底面，且以分别x，y，z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2＝3，x2+z2＝5，y2+z2＝4，则有（2R）2＝x2+y2+z2＝6（R为球的半径），得2R2＝3，
所以球的表面积为S＝4πR2＝6π．
故答案为．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.【答案】(1)；(2) 12.
【解析】
(1)由正弦定理及已知可得 ……………… 2分
， …… 4分
……………………… 6分
(2) ……………………… 8分
， ，当且仅当时等号成立.
故的最小值为12. ……………………… 12分
18.【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）①，
当时，，解得 ……………………… 1分
当时，②，
①减去②得，
整理得，即， ……………………… 3分
，，，
以上各式相乘得，又，所以 ……………… 6分
（2）由（1）得，………… 8分
……………… 12分
19.【答案】（1）填表见解析；有的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”；（2）.
【解析】（1）列联表如下：
满意 不满意 合计
男生 30 15 45
女生 45 10 55
合计 75 25 100
……………… 3分
又， ……………… 5分
这说明有的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”. ……………… 6分
（2）由题可知，从被调查中对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取名学生，
其中男生名，设为、；女生人设为，
则从这名学生中抽取名学生的基本事件有：，，，，，，，，，，共个基本事件， ……………… 8分
其中抽取一名男生与一名女生的事件有，，，，，，共个基本事件， ……………… 10分
根据古典概型，从这名学生中抽取一名男生与一名女生的概率为. … 12分
20．【答案】(1)见证明(2)
【解析】（1）分别取，的中点，，连接，，，，
因为，，所以，且.
因为，，所以，且.
因为面、面均与面垂直，
所以面，面，
所以，且. ……………… 2分
因为，所以，
所以是以为斜边的等腰直角三角形，故，
而，则， ……………… 4分
故面面，
则面. ……………… 6分
（2）如图，连接，，由（1）可知，，且，
则四边形为平行四边形，故.
因为 ， …………… 8分
所以 . ……………… 12分
（其他方法酌情给分）。
21.解：【分析】
（1）首先求函数的导数，根据导数的正负，确定函数的单调区间；（2）根据条件转化为的两个根，，即，代入，得到，构造函数，利用导数证明不等式.
【详解】（1）的定义域为，
因为当时，，
所以在，上是增函数. ……………… 4分
（2）因为有两个极值点，，
所以，是，即的两个根，，
所以，是的两个零点，
由（1）可知在和内分别至多有一个零点，
又，所以，且，即， ……………… 6分
所以
，
令，则，
所以在上为减函数， ……………… 8分
因为，即，即，
所以，
所以，即，所以. ……………… 12分
22..解：（1），即曲线的普通方程为. ……………………3分
∵，，，曲线的方程可化为，即 ………5分
（2）曲线左焦点为（-4，0）直线的倾斜角为，，
∴直线的参数方程为（为参数）将其代入曲线整理可得， …………………………8分
∴，设，对应的参数分别为，，则∴，，
∴.…………………………10分
23..解：（1）当时，，
①当时，不等式等价于，解得，即；
②当时，不等式等价于，解得，即；
③当时，不等式等价于，解得，即，
综上所述，原不等式的解集为 …………………………5分
（2）由，即，得，
又，∴，即，解得 …………………………10分
数学（文科）试卷
考试时间：120分钟
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2. 设，则= （ ）
A.2 B. C. D.1
3. 某口罩生产工厂为了了解口罩的质量，现将生产的50个口罩编号为01，02，…，50，利用如下随机数表从中抽取10个进行检测.若从下表中第1行第7列的数字开始向右依次读取2个数据作为1个编号，则被抽取的第8个个体的编号为（ ）
72 84 71 14 35 19 11 58 49 26 50 11 17 17 76 86 31 57 20 18 95 60 78 46 75
88 78 28 16 84 13 52 53 94 53 75 45 69 30 96 73 89 65 70 31 99 14 43 48 76
A．18 B．17 C．11 D．50
4．函数的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于直线对称
C．关于点对称 D．关于直线对称
5．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示.若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中的酒量”，即输出值是输入值的，则输入的（ ）
A． B． C． D．
6．已知实数满足不等式组，则目标函数的最大值为（ ） （第5题图）
A． B． C． D．
7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱为（ ）
A．4 B．
C． D．2
8．已知，且不等式对任意恒成立，则的最大值为（ ） （第7题图）
A． B． C． D．
9.“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“阶幻方”是由前个正整数组成的—个阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）．则“5阶幻方”的幻和为（ ） （第9题图）
A．75 B．65 C．55 D．45
10．函数的图象可能是（ ）
A B C D
11．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为（ ）
A . 7 B. 8 C. 9 D. 10
12．已知函数，则的大小关系（ ）
A . B.
C. D.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 等差数列的前项和为，若，则
14．设平面上向量，，若，则角α的大小为
15．已知定义在上的函数对任意都满足，且当时，，则函数的零点个数为
16. 在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分.）
17. (本小题满分12分)在中,角的对边分别为,且.
(1)求角;
(2)若的面积为,求的最小值.
18. (本小题满分12分)已知数列的前项和为，若，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求.
19．(本小题满分12分)2020年寒假，因为“新冠”疫情全体学生只能在家进行网上学习，为了研究学生网上学习的情况，某学校随机抽取名学生对线上教学进行调查，其中男生与女生的人数之比为，抽取的学生中男生有人对线上教学满意，女生中有名表示对线上教学不满意.
（1）完成列联表，并回答能否有的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”；
（2）从被调查的对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取名学生，再在这名学生中抽取名学生，作线上学习的经验介绍，求其中抽取一名男生与一名女生的概率.
附：.
20．(本小题满分12分) 如图，矩形中，，，、是边的三等分点.现将、分别沿、折起，使得平面、平面均与平面垂直.
（1）若为线段上一点，且，求证：平面；
（2）求多面体的体积.
21. （本小题满分12分）已知函数，.
（1）求的单调区间；
（2）已知有两个极值点，且，求证：.
22.（本小题满分10分）（选修4—4：极坐标与参数方程）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.
（1）写出曲线，的普通方程；
（2）过曲线的左焦点且倾斜角为的直线交曲线于，两点，求.
23.（本小题满分10分）（选修4-5：不等式选讲）
已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若存在满足，求实数的取值范围.
答案
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．【答案】D
2. 【答案】D
3. 【答案】B
4. 【答案】A
5. 【答案】C
时，；时，；时，；时，退出循环.此时，，解得.故选C
6．【答案】D
【解析】如图
由，令，则目标函数的一条等值线为
当该等值线经过点时，目标函数有最大值
所以
故选：D
7．【答案】B
【解析】
由三视图可得，该几何体是如图所示的四棱锥，底面是边长为2的正方形，侧面是边长为2的正三角形，且侧面底面．
根据图形可得四棱锥中的最长棱为和，结合所给数据可得，所以该四棱锥的最长棱为．
故选B．
8．【答案】C
【解析】由题意不等式对任意恒成立
又∴a+b≤6则 当且仅当 成立
故
故选：C
9.【答案】B
【解析】依题意“5阶幻方”的幻和为，故选B.
10．【答案】C
【详解】
设，定义域为，，所以为奇函数，
故排除选项B；又，排除选项A；，排除选项D.
故选：C
11. 【答案】C
【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此
12．【答案】A
【解析】令，所以是偶函数；
当时，，在上是增函数，
将图像向右平移一个单位得到图像，
所以关于直线对称，且在单调递增.
∵，，，
∴，
∴，
又∵关于直线对称，∴，
∴.故选：A
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.【答案】9
【解析】由等差数列性质可知：，解得：
14．【答案】
【解析】因为，，所以，
因为，所以，
所以即，
所以，所以，由可得.
15．【答案】3
【解析】当时，则，
此时有，
∵，∴，
∴函数是周期为2的周期函数．
令，则，
由题意得函数的零点个数即为函数的图象与函数的图象交点的个数．
在同一坐标系内画出函数和函数的图象（如图所示），
结合图象可得两函数的图象有三个交点，
∴函数的零点个数为3．
16.【答案】
【解析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，
所以可在其每个面补上一个以，2，为三边的三角形作为底面，且以分别x，y，z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2＝3，x2+z2＝5，y2+z2＝4，则有（2R）2＝x2+y2+z2＝6（R为球的半径），得2R2＝3，
所以球的表面积为S＝4πR2＝6π．
故答案为．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.【答案】(1)；(2) 12.
【解析】
(1)由正弦定理及已知可得 ……………… 2分
， …… 4分
……………………… 6分
(2) ……………………… 8分
， ，当且仅当时等号成立.
故的最小值为12. ……………………… 12分
18.【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）①，
当时，，解得 ……………………… 1分
当时，②，
①减去②得，
整理得，即， ……………………… 3分
，，，
以上各式相乘得，又，所以 ……………… 6分
（2）由（1）得，………… 8分
……………… 12分
19.【答案】（1）填表见解析；有的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”；（2）.
【解析】（1）列联表如下：
满意 不满意 合计
男生 30 15 45
女生 45 10 55
合计 75 25 100
……………… 3分
又， ……………… 5分
这说明有的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”. ……………… 6分
（2）由题可知，从被调查中对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取名学生，
其中男生名，设为、；女生人设为，
则从这名学生中抽取名学生的基本事件有：，，，，，，，，，，共个基本事件， ……………… 8分
其中抽取一名男生与一名女生的事件有，，，，，，共个基本事件， ……………… 10分
根据古典概型，从这名学生中抽取一名男生与一名女生的概率为. … 12分
20．【答案】(1)见证明(2)
【解析】（1）分别取，的中点，，连接，，，，
因为，，所以，且.
因为，，所以，且.
因为面、面均与面垂直，
所以面，面，
所以，且. ……………… 2分
因为，所以，
所以是以为斜边的等腰直角三角形，故，
而，则， ……………… 4分
故面面，
则面. ……………… 6分
（2）如图，连接，，由（1）可知，，且，
则四边形为平行四边形，故.
因为 ， …………… 8分
所以 . ……………… 12分
（其他方法酌情给分）。
21.解：【分析】
（1）首先求函数的导数，根据导数的正负，确定函数的单调区间；（2）根据条件转化为的两个根，，即，代入，得到，构造函数，利用导数证明不等式.
【详解】（1）的定义域为，
因为当时，，
所以在，上是增函数. ……………… 4分
（2）因为有两个极值点，，
所以，是，即的两个根，，
所以，是的两个零点，
由（1）可知在和内分别至多有一个零点，
又，所以，且，即， ……………… 6分
所以
，
令，则，
所以在上为减函数， ……………… 8分
因为，即，即，
所以，
所以，即，所以. ……………… 12分
22..解：（1），即曲线的普通方程为. ……………………3分
∵，，，曲线的方程可化为，即 ………5分
（2）曲线左焦点为（-4，0）直线的倾斜角为，，
∴直线的参数方程为（为参数）将其代入曲线整理可得， …………………………8分
∴，设，对应的参数分别为，，则∴，，
∴.…………………………10分
23..解：（1）当时，，
①当时，不等式等价于，解得，即；
②当时，不等式等价于，解得，即；
③当时，不等式等价于，解得，即，
综上所述，原不等式的解集为 …………………………5分
（2）由，即，得，
又，∴，即，解得 …………………………10分
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