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4.3 对数
【学习要求】
1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算
2.了解换底公式，能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数．
【思维导图】
【知识梳理】
1．对数的概念：若ax＝N(a＞0，且a≠1)，则数x叫做以a为底N的对数，a叫做对数的底数，N叫做真数，记作x＝logaN.
【注】对数式logaN可看作一种记号，表示关于x的方程ax＝N(a＞0，且a≠1)的解；也可以看作一种运算，即已知底为a(a＞0，且a≠1)，幂为N，求幂指数的运算，因此，对数式logaN又可看作幂运算的逆运算．
2．常用对数和自然对数
(1)常用对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lgN.
(2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.71828…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为lnN.
3．对数与指数的关系：当a＞0，且a≠1时，ax＝N x＝logaN.
4．对数的基本性质
(1)零和负数没有对数．(2)loga1＝0(a＞0，且a≠1)．(3)logaa＝1(a＞0，且a≠1)．
6．对数的运算性质
条件 a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0
性质 loga(MN)＝logaM＋logaN
loga＝logaM－logaN
logaMn＝nlogaM(n∈R)
7．换底公式：logab＝(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；b＞0)．
【知识拓展】 (1)可用换底公式证明以下结论：
①logab＝；②logab·logbc·logca＝1；③loganbn＝logab；④loganbm＝logab；⑤logb＝－logab.
(2)对换底公式的理解：换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子．
【高频考点】
高频考点1. 对数的运算性质的应用
【方法点拨】对数式化简或求值的常用方法和技巧：对于同底数的对数式，化简的常用方法是：
①“收”，即逆用对数的运算性质将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数，即把多个对数式转化为一个对数式；②“拆”，即正用对数的运算性质将对数式“拆”成较小真数的对数的和(差).
【例1】（2021·江苏高一专题练习）计算下列各式的值：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【变式1-1】（2021秋 南开区校级期中）（ ）
A． B．2 C．0 D．1
【变式1-2】（2021·广东高一课前预习）求下列式子值．
（1）________；（2）________．
【变式1-3】（2021·安徽芜湖一中高一月考）计算（1）
（2）
【变式1-4】（2021春 浦城县月考）lg5（lg8+lg1000）lglg600＝（ ）
A．10 B．2 C．5 D．6
高频考点2 . 换底公式的应用
【方法点拨】
【例2】（2021 湖北期末）若2a＝3，3b＝4，4c＝ab，则abc＝（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【变式2-1】（2021 北京模拟）已知ln2＝a，ln3＝b，那么log32用含a，b的代数式表示为（ ）
A．a+b B．a﹣b C．ab D．
【变式2-2】（2021春 商丘期末）已知，则log4228＝（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2021·上海高一专题练习）已知，用含的式子表示_________.
【变式2-4】（2021·上海高一期中）已知：lg2=a，lg3=b，则a，b表示=_____________；
高频考点3 . 指数式与对数式的互化
【方法点拨】根据所给条件，利用指数式和对数式的转化法则进行互化即可.
【例3】（2021·山东高一课时练习）指数式和对数式互相转化：
（1）____________．（2）____________．
（3）____________．（4）____________．
【变式3-1】（2021 嘉定区期中）若a＞0且a≠1，将指数式a2b＝N转化为对数式为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2021 崇明区期中）以下对数式中，与指数式5x＝6等价的是（ ）
A．log56＝x B．log5x＝6 C．log6x＝5 D．logx6＝5
【变式3-3】（2021 咸阳期末）若2a＝4，则loga的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．
【变式3-4】（2021 揭阳期末）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）
A．e0＝1与ln1＝0 B．与
C．log39＝2与3 D．log77＝1与71＝7
高频考点4. 指、对数方程的求解
【方法点拨】
【例4】（2021 广西高一月考）方程log2x＝log4（2x+3）的解为（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣1或3
【变式4-1】（2021·全国高一课前预习）求下列各式中的x的值．
（1）； （2）．
【变式4-2】（2021秋 大理市校级期中）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2020秋 延吉市校级期中）x1，x2是方程（lgx）2+（lg2+lg3）lgx+lg2lg3＝0的两个根，求x1x2等于（ ）
A．lg2+lg3 B．lg2lg3 C． D．﹣6
【变式4-4】（2021 庐阳区校级模拟）设a＞1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax+logay＝c，则a的取值集合为（ ）
A．{a|2≤a≤3} B．{3} C．{a|a≥2} D．{2}
高频考点5 . 带附加条件的指、对数问题
【方法点拨】带附加条件的指、对数问题主要是已知一些指数值、对数值或其等量关系，利用这些条件来表示所要求的式子，解此类问题要充分利用指数、对数的转化，同时，还要注意整体思想的应用.
【例5】（2021 天津）若2a＝5b＝10，则（ ）
A．﹣1 B．lg7 C．1 D．log710
【变式5-1】（2021·河北高一课时练习）设，且，则（ ）
A． B．10 C．20 D．100
【变式5-2】（2021秋 淮安期中）（1）已知m＝lg2，10n＝3，计算的值．
（2）log327+lg25+lg4log32 log43．
【变式5-3】（2021秋 南京期中）（1）求值：（）log25﹣log220；
（2）若4x＝9y＝6，求的值．
【变式5-4】（2021 谯城区校级期末）（1）计算：（2）（lg5）0+（）；
（2）设4a＝5b＝100，求2（）的值．
高频考点6 . 对数的实际应用
【方法点拨】对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类：
(1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化；
(2)建立指数函数型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算.
【例6】（2021 烟台期末）某种放射性物质在其衰变过程中，每经过一年，剩余质量约是原来的．若该物质的剩余质量变为原来的，则经过的时间大约为（ ）（lg2≈0.301，lg3≈0.477）
A．2.74年 B．3.42年 C．3.76年 D．4.56年
【变式6-1】（2021 双台子区校级开学）音乐是有不同频率的声音组成的，若音1（do）的频率为f，则简谱中七个音1（do）、2（er）、3（mi）、4（fa）、5（so）、6（la）、7（si）组成的音阶频率分别是f、、、、、、．其中相邻两个音的频率比是一个到另一个音的台阶，上述“七声音阶”只有两个不同的值，记为α、β（α＞β），α称为全阶，β称为半音，则下列关系式成立的是（ ）（参考数据：lg2≈0.3010、lg3≈0.4771）
A．α＝2β B．α＝β2 C．|lgα﹣lgβ|＜0.01 D．|lgα﹣2lgβ|＜0.01
【变式6-2】（2021 凉山州模拟）a克糖水中含有b克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加m克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为（a＞b＞0，m＞0）．若x1＝log32，x2＝log1510，x3＝log4520，则（ ）
A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x3＜x1＜x2 D．x3＜x2＜x1
【变式6-3】（2021·湖南月考）太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量大约是千克.地球是太阳系八大行星之一，其质量大约是千克.下列各数中与最接近的是（ ）
（参考数据：，）
A． B． C． D．
【变式6-4】（2021 新乡期末）20世纪30年代，查尔斯 里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大．这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差）．当地震发生时，震源中心以地震波的形式放出的能量的指示参数E＝104.8+1.5M，震级越大，震源放出的能量就越大．1989年美国旧金山地震中，一个测震仪记录的最大振幅为8000，此时的标准地震的振幅是0.0001，则预计此次地震震源放出的能量（单位：焦耳）约为（ ）（lg2≈0.3，100.65≈4.5）
A．4.517 B．4.516 C．4.5×1016 D．4.5×1017
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021秋 南开区校级期中）（ ）
A． B．2 C．0 D．1
2．（2021秋 徐汇区校级期中）设a＝log35，b＝log57，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·北海市教育教学研究室期末）（ ）
A．2 B． C． D．6
4．（2021·渝中·重庆巴蜀中学高三月考）定义在上的偶函数满足，且时，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2021 岳麓区校级月考）已知正数x，y满足lgx+lgy＝2lg（x﹣2y），则4y的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．（2021·山东省成武第一中学二模）设，且，则（ ）
A． B．10 C．20 D．100
7．（2021·天水市第一中学期末）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了（ ）附：
A．10% B．20% C．50% D．100%
8．（2021·湖北开学考试）形如(是非负整数)的数称为费马数，记为数学家费马根据，，，，都是质数提出了猜想：费马数都是质数.1732年，欧拉算出，也就是说不是质数，宣布了费马的这个猜想不成立，它不能作为一个求质数的公式.后来，人们又陆续找到了不少反例.如不是质数那么的位数为（ ）
(参考数据：)
A．21 B．20 C．19 D．18
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2021 长寿区校级模拟）下列运算法则正确的是（ ）
A．logb2logab B．（an）am
C．logab（b＞0，a＞0且a≠1） D．am+n＝am an（a≠0，m、n∈N+）
10．（2021 东城区校级期中）下列指数式与对数式互化正确的是（ ）
A．54＝625与log4625＝5 B．10﹣2＝0.01与lg0.01＝﹣2
C．与 D．与
11．（2021秋 鼓楼区校级期中）设10a＝2，lg3＝b，则下列四个等式中正确的是（ ）
A．lg12＝2a+b B．log615 C．10a+b＝6 D．2
12．（2021 辽宁模拟）在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作[H+]）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作[OH﹣]）的乘积等于常数10﹣14．已知pH值的定义为pH＝﹣lg[H+]，健康人体血液的pH值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的可以为（ ）（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）
A． B． C． D．
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·广东高一课时练习）已知，则的值为____．
14．（2021·广西南宁·高一期末）已知函数，则___________.
15．（2021 黄浦区二模）方程2log4x+1＝3的解x＝ ．
16．（2021 邢台开学）若m＝a×10n（1≤a＜10），则称m的数量级为n．已知金星的质量为M千克，且lgM＝23+lg48.69，则M的数量级为 ．
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2021 五华区校级期中）计算下列各式的值：
（1）8（）﹣2+（）（﹣2021）0；（2）（lg2）2+lg5（lg2+1）+4log4 log32．
18．（2021 南京期中）（1）求值：（）log25﹣log220；
（2）若4x＝9y＝6，求的值．
19．（2021秋 普陀区校级期中）（1）已知1，求的值．
（2）若lga，lgb是方程2x2﹣4x+1＝0的两个实根，求ab的值．
20．（2020秋 芙蓉区校级期中）（1）计算；
（2）解方程．
21．（2020春 黄浦区期末）（1）证明对数换底公式：（其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，N＞0）（2）已知log32＝m，试用m表示log3218．
22．（2020 辽宁期末）地震是一种自然现象，地震的震级是震波最大振幅来确定的震级单位是“里氏”，通常用字母M表示，其计算公式为：M＝lg，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差），例如：用A8.0和A9.0分别表示震级为8.0和9.0的最大振幅．
（1）若一次地震中的最大振幅是50，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）；（2）2008年5月12日，我国汶川发生了8.0级地震；2011年3月11日在日本东北部太平洋海城发生了9.0级地震．试计算9.0级地震的最大振幅是8.0级地震的最大振幅的多少倍？（以下数据供参考：lg2≈0.3010）
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4.3 对数
【学习要求】
1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算
2.了解换底公式，能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数．
【思维导图】
【知识梳理】
1．对数的概念：若ax＝N(a＞0，且a≠1)，则数x叫做以a为底N的对数，a叫做对数的底数，N叫做真数，记作x＝logaN.
【注】对数式logaN可看作一种记号，表示关于x的方程ax＝N(a＞0，且a≠1)的解；也可以看作一种运算，即已知底为a(a＞0，且a≠1)，幂为N，求幂指数的运算，因此，对数式logaN又可看作幂运算的逆运算．
2．常用对数和自然对数
(1)常用对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lgN.
(2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.71828…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为lnN.
3．对数与指数的关系：当a＞0，且a≠1时，ax＝N x＝logaN.
4．对数的基本性质
(1)零和负数没有对数．(2)loga1＝0(a＞0，且a≠1)．(3)logaa＝1(a＞0，且a≠1)．
6．对数的运算性质
条件 a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0
性质 loga(MN)＝logaM＋logaN
loga＝logaM－logaN
logaMn＝nlogaM(n∈R)
7．换底公式：logab＝(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；b＞0)．
【知识拓展】 (1)可用换底公式证明以下结论：
①logab＝；②logab·logbc·logca＝1；③loganbn＝logab；④loganbm＝logab；⑤logb＝－logab.
(2)对换底公式的理解：换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子．
【高频考点】
高频考点1. 对数的运算性质的应用
【方法点拨】对数式化简或求值的常用方法和技巧：对于同底数的对数式，化简的常用方法是：
①“收”，即逆用对数的运算性质将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数，即把多个对数式转化为一个对数式；②“拆”，即正用对数的运算性质将对数式“拆”成较小真数的对数的和(差).
【例1】（2021·江苏高一专题练习）计算下列各式的值：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【答案】（1）；（2）1；（3）；（4）1．
【解析】（1）；
（2）；
（3）
；
（4）
．
【变式1-1】（2021秋 南开区校级期中）（ ）
A． B．2 C．0 D．1
【分析】根据对数的运算性质计算即可．
【解析】解：＝log62+log63＝log66＝1，故选：D．
【变式1-2】（2021·广东高一课前预习）求下列式子值．
（1）________；（2）________．
【答案】0； 4
【解析】（1）原式＝；
（2）．
【变式1-3】（2021·安徽芜湖一中高一月考）计算（1）
（2）
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）
.
（2）
原式.
【变式1-4】（2021春 浦城县月考）lg5（lg8+lg1000）lglg600＝（ ）
A．10 B．2 C．5 D．6
【分析】利用对数的运算性质以及lg2+lg5＝1对代数式进行化简求值即可．
【解析】解：原式＝lg5（3lg2+3）+3lg22﹣lg6+lg6+2＝3lg2lg5+3lg5+3lg22+2
＝3lg2（lg5+lg2）+3lg5+2＝3lg2+3lg5+2＝3（lg2+lg5）+2＝3+2＝5．故选：C．
高频考点2 . 换底公式的应用
【方法点拨】
【例2】（2021 湖北期末）若2a＝3，3b＝4，4c＝ab，则abc＝（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【分析】根据题意，由指数式与对数式的关系可得a＝log23，b＝log34，进而由换底公式可得ab的值，由对数的运算性质可得c的值，计算可得答案．
【解析】解：根据题意，2a＝3，3b＝4，则a＝log23，b＝log34，
则有ab＝log23 log342，则c＝log4ab＝log42，故abc＝1；故选：B．
【变式2-1】（2021 北京模拟）已知ln2＝a，ln3＝b，那么log32用含a，b的代数式表示为（ ）
A．a+b B．a﹣b C．ab D．
【分析】由已知中ln2＝a，ln3＝b，用换底公式可将log32化用自然对数表示的形式，代入ln2＝a，ln3＝b，即可得到答案．
【解析】解：∵ln2＝a，ln3＝b，又∵log32∴log32故选：D．
【变式2-2】（2021春 商丘期末）已知，则log4228＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用对数的运算法则及换底公式求解即可．
【解析】解：由4b＝6，得b＝log46，∴log4228．故选：D．
【变式2-3】（2021·上海高一专题练习）已知，用含的式子表示_________.
【答案】
【解析】.故答案为：
【变式2-4】（2021·上海高一期中）已知：lg2=a，lg3=b，则a，b表示=_____________；
【答案】；
【解析】因为lg2=a，lg3=b，所以，故答案为：；
高频考点3 . 指数式与对数式的互化
【方法点拨】根据所给条件，利用指数式和对数式的转化法则进行互化即可.
【例3】（2021·山东高一课时练习）指数式和对数式互相转化：
（1）____________．（2）____________．
（3）____________．（4）____________．
【答案】
【解析】.故答案为：，，，.
【变式3-1】（2021 嘉定区期中）若a＞0且a≠1，将指数式a2b＝N转化为对数式为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意利用指数式和对数式的转化法则，计算求得结果．
【解析】解：若a＞0且a≠1，将指数式a2b＝（a2）b＝N转化为对数式为 b，故选：C．
【变式3-2】（2021 崇明区期中）以下对数式中，与指数式5x＝6等价的是（ ）
A．log56＝x B．log5x＝6 C．log6x＝5 D．logx6＝5
【分析】利用指数式与对数式的互化求解．【解析】解：把指数式5x＝6化为对数式得：log56＝x，
所以与指数式5x＝6等价的对数式为：log56＝x．故选：A．
【变式3-3】（2021 咸阳期末）若2a＝4，则loga的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．
【分析】求出a，利用对数运算法则化简求解即可．
【解析】解：2a＝4，可得a＝2则logalog21．故选：A．
【变式3-4】（2021 揭阳期末）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）
A．e0＝1与ln1＝0 B．与
C．log39＝2与3 D．log77＝1与71＝7
【分析】e0＝1 ln1＝0； ；log39＝2 32＝9，3 ；
log77＝1 71＝7．
【解析】解：e0＝1 ln1＝0，故A正确； ，故B正确；
log39＝2 32＝9，3 ，故C不正确；log77＝1 71＝7，故D正确．故选：C．
高频考点4. 指、对数方程的求解
【方法点拨】
【例4】（2021 广西高一月考）方程log2x＝log4（2x+3）的解为（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣1或3
【分析】根据对数的运算性质解方程即可．
【解析】解：log2x＝log4（2x+3），即为log2xlog2（2x+3），即log2x2＝log2（2x+3），
则，解得x＝3，故选：C．
【变式4-1】（2021·全国高一课前预习）求下列各式中的x的值．
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为，所以，所以；
（2）由得，所以，所以．
【变式4-2】（2021秋 大理市校级期中）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【分析】把对数式化为指数式即可得出．
【解析】解：方程，化为：x．故选：D．
【变式4-3】（2020秋 延吉市校级期中）x1，x2是方程（lgx）2+（lg2+lg3）lgx+lg2lg3＝0的两个根，求x1x2等于（ ）
A．lg2+lg3 B．lg2lg3 C． D．﹣6
【分析】根据题意，对于方程（lgx）2+（lg2+lg3）lgx+lg2lg3＝0，设t＝lgx，由换元法求出x1，x2的值，进而计算可得答案．
【解析】解：根据题意，对于方程（lgx）2+（lg2+lg3）lgx+lg2lg3＝0，
设t＝lgx，则有t2+（lg2+lg3）t+lg2lg3＝0，则有t1＝﹣lg2＝lg，t2＝﹣lg3＝lg，
若x1，x2是方程（lgx）2+（lg2+lg3）lgx+lg2lg3＝0的两个根，
则x1，x2；则x1x2．故选：C．
【变式4-4】（2021 庐阳区校级模拟）设a＞1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax+logay＝c，则a的取值集合为（ ）
A．{a|2≤a≤3} B．{3} C．{a|a≥2} D．{2}
【分析】由logax+logay＝c可以用x表达出y，转化为函数的值域问题求解．
【解析】解：∵logax+logay＝c，∴logaxy＝c∴xy＝ac，∴y，函数是单调递减函数，
所以当x∈[a，2a]时，y∈[，ac﹣1]，∴，∴，
∵有且只有一个常数c符合题意，∴2+loga2＝3，解得a＝2，∴a的取值的集合为{2}．故选：D．
高频考点5 . 带附加条件的指、对数问题
【方法点拨】带附加条件的指、对数问题主要是已知一些指数值、对数值或其等量关系，利用这些条件来表示所要求的式子，解此类问题要充分利用指数、对数的转化，同时，还要注意整体思想的应用.
【例5】（2021 天津）若2a＝5b＝10，则（ ）
A．﹣1 B．lg7 C．1 D．log710
【分析】对已知的指数式化为对数式，再利用对数的运算性质求解．
【解析】解：∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，
∴log102+log105＝lg10＝1，故选：C．
【变式5-1】（2021·河北高一课时练习）设，且，则（ ）
A． B．10 C．20 D．100
【答案】A
【解析】由，可得，，由换底公式得，，
所以，又因为，可得．故选：A.
【变式5-2】（2021秋 淮安期中）（1）已知m＝lg2，10n＝3，计算的值．
（2）log327+lg25+lg4log32 log43．
【分析】利用有理数指数幂和对数的运算性质求解．
【解析】解：（1）因为m＝lg2，所以10m＝2，原式．
（2）原式2lg5+2lg2﹣23+2﹣2．
【变式5-3】（2021秋 南京期中）（1）求值：（）log25﹣log220；
（2）若4x＝9y＝6，求的值．
【分析】（1）根据指数幂和对数的运算性质即可求出；
（2）利用换底公式和指数式与对数式的转化即可求出．
【解析】解：（1）原式＝（）log25﹣log25﹣log24＝32；
（2）4x＝9y＝6，则x＝log46，y＝log96，∴log64，log69，∴log64+log69＝log636＝2．
【变式5-4】（2021 谯城区校级期末）（1）计算：（2）（lg5）0+（）；
（2）设4a＝5b＝100，求2（）的值．
【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算即可；（2）分别求出a，b，再求出，，计算即可．
【解析】解：（1）原式＝（）（lg5）0+[（）3]14；
（2）∵4a＝100，∴a＝log4100．同理可得，b＝log5100，
则log1004，log1005，
∴log1004+2log1005＝log100（4×52）＝log100100＝1，∴2（）＝2．
高频考点6 . 对数的实际应用
【方法点拨】对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类：
(1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化；
(2)建立指数函数型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算.
【例6】（2021 烟台期末）某种放射性物质在其衰变过程中，每经过一年，剩余质量约是原来的．若该物质的剩余质量变为原来的，则经过的时间大约为（ ）（lg2≈0.301，lg3≈0.477）
A．2.74年 B．3.42年 C．3.76年 D．4.56年
【分析】该物质的剩余质量变为原来的，设经过的时间大约为n年，设该种放射性物质原来质量为a，列出方程，再由对数的运算能求出结果．
【解析】解：该物质的剩余质量变为原来的，设经过的时间大约为n年，
设该种放射性物质原来质量为a，则a （）n＝a ，
∴n3.42（年）．故选：B．
【变式6-1】（2021 双台子区校级开学）音乐是有不同频率的声音组成的，若音1（do）的频率为f，则简谱中七个音1（do）、2（er）、3（mi）、4（fa）、5（so）、6（la）、7（si）组成的音阶频率分别是f、、、、、、．其中相邻两个音的频率比是一个到另一个音的台阶，上述“七声音阶”只有两个不同的值，记为α、β（α＞β），α称为全阶，β称为半音，则下列关系式成立的是（ ）（参考数据：lg2≈0.3010、lg3≈0.4771）
A．α＝2β B．α＝β2 C．|lgα﹣lgβ|＜0.01 D．|lgα﹣2lgβ|＜0.01
【分析】由题意先求出相邻两个音的频率比，然后利用对数的运算性质依次判断四个选项即可．
【解析】解：由题意可知，相邻两个音的频率比分别为：，
，故选项A错误，选项B错误；
由0.0287＞0.01，故选项C错误；
|12lg3﹣19lg2|≈0.0062＜0.01，故选项D正确．故选：D．
【变式6-2】（2021 凉山州模拟）a克糖水中含有b克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加m克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为（a＞b＞0，m＞0）．若x1＝log32，x2＝log1510，x3＝log4520，则（ ）
A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x3＜x1＜x2 D．x3＜x2＜x1
【分析】根据题意，由对数的运算性质可得，，，结合题目中所给的不等式分析可得答案．
【解析】解：根据题意，由题目中的不等式，
，，，则有x1＜x3＜x2，故选：B．
【变式6-3】（2021·湖南月考）太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量大约是千克.地球是太阳系八大行星之一，其质量大约是千克.下列各数中与最接近的是（ ）
（参考数据：，）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，得到，两边同时取以10为底的对数，根据题中条件，进行估算，即可得出结果.
【详解】因为，所以.
故.故选：D.
【点睛】本题主要考查对数的运算，属于基础题型.
【变式6-4】（2021 新乡期末）20世纪30年代，查尔斯 里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大．这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差）．当地震发生时，震源中心以地震波的形式放出的能量的指示参数E＝104.8+1.5M，震级越大，震源放出的能量就越大．1989年美国旧金山地震中，一个测震仪记录的最大振幅为8000，此时的标准地震的振幅是0.0001，则预计此次地震震源放出的能量（单位：焦耳）约为（ ）（lg2≈0.3，100.65≈4.5）
A．4.517 B．4.516 C．4.5×1016 D．4.5×1017
【分析】根据公式即可求出M约为7.9，然后代入E＝104.8+1.5M中即可得出答案．
【解析】解：，
∴E＝104.8+1.5×7.9＝1016.65＝100.65 1016≈4.5×1016．故选：C
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021秋 南开区校级期中）（ ）
A． B．2 C．0 D．1
【分析】根据对数的运算性质计算即可．
【解析】解：＝log62+log63＝log66＝1，故选：D．
2．（2021秋 徐汇区校级期中）设a＝log35，b＝log57，则（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用对数的运算性质和换底公式求解．
【解析】解：∵a＝log35，b＝log57，∴ab＝log37，
∴log1549﹣log1545＝2log157﹣log155﹣2log153
，
故选：D．
3．（2021·北海市教育教学研究室期末）（ ）
A．2 B． C． D．6
【答案】B
【分析】化简原式为，即得解.
【详解】原式.故选：B
【点睛】本题主要考查对数的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4．（2021·渝中·重庆巴蜀中学高三月考）定义在上的偶函数满足，且时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，则有，结合函数为偶函数可得，所以是以4为周期的周期函数，利用周期和偶函数的性质可求解出答案.
【详解】由为偶函数，则，
又，则有，
所以是以4为周期的周期函数.
则故选：C.
【点睛】本题考查函数周期的推导，考查利用周期和偶函数的性质求解函数值，属于中档题.
5．（2021 岳麓区校级月考）已知正数x，y满足lgx+lgy＝2lg（x﹣2y），则4y的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】由lgx+lgy＝2lg（x﹣2y）可得xy＝（x﹣2y）2，且x﹣2y＞0，化简可得（x﹣y）（x﹣4y）＝0，从而可得x＝4y，化简4y4y，利用基本不等式求最值即可
【解析】解：∵lgx+lgy＝2lg（x﹣2y），∴xy＝（x﹣2y）2，且x﹣2y＞0，
由xy＝（x﹣2y）2化简可得（x﹣y）（x﹣4y）＝0，
故x＝4y，则4y4y≥2，（当且仅当4y，即x＝1，y时，等号成立）
故4y的最小值为2，故选：A．
6．（2021·山东省成武第一中学二模）设，且，则（ ）
A． B．10 C．20 D．100
【答案】A
【分析】先根据，得到，再由求解.
【详解】因为，所以，
所以，，又，．故选：A
【点睛】本题主要考查指数式与对数式的互化以及对数的运算，属于基础题.
7．（2021·天水市第一中学期末）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了（ ）附：
A．10% B．20% C．50% D．100%
【答案】B
【分析】根据题意，计算出的值即可；
【详解】当时，，当时，，
因为
所以将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了20%，故选：B.
【点睛】本题考查对数的运算，考查运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运用.
8．（2021·湖北开学考试）形如(是非负整数)的数称为费马数，记为数学家费马根据，，，，都是质数提出了猜想：费马数都是质数.1732年，欧拉算出，也就是说不是质数，宣布了费马的这个猜想不成立，它不能作为一个求质数的公式.后来，人们又陆续找到了不少反例.如不是质数那么的位数为（ ）
(参考数据：)
A．21 B．20 C．19 D．18
【答案】B
【分析】由，结合换底公式有即可求出的位数.
【详解】由题意知：，
∴，
故故选：B
【点睛】本题考查了对数的运算，根据对数的换底公式，结合指对数互化有求位数；
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2021 长寿区校级模拟）下列运算法则正确的是（ ）
A．logb2logab B．（an）am
C．logab（b＞0，a＞0且a≠1） D．am+n＝am an（a≠0，m、n∈N+）
【分析】根据指数式的运算法则可判断B、D两个选项；再根据对数式的运算公式可以判断A、C两个选项．
【解析】解：对数运算的重要公式log成立的条件是a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R．显然当a＝2，b＝﹣1时loglog； 而log无意义，A错误．
（an）am成立的前提条件是a＞0，显然当a＝﹣3、n＝2、m＝1时，（an）（9）3；am＝﹣3，不满足相等，则B错误．
logab（b＞0，a＞0且a≠1）是对换底公式的运用，C正确．当m，n∈N+时，无论a＞0还是a＜0，am+n＝am an都成立，D正确．故选：CD．
10．（2021 东城区校级期中）下列指数式与对数式互化正确的是（ ）
A．54＝625与log4625＝5 B．10﹣2＝0.01与lg0.01＝﹣2
C．与 D．与
【分析】直接化指数式为对数式，化对数式为指数式后核对四个选项得答案．
【解析】解：对于选项A：由54＝625得log5625＝4，故选项A错误，
对于选项B：由10﹣2＝0.01得lg0.01＝﹣2，故选项B正确，
对于选项C：由16得，故选项C错误，
对于选项D：由得，故选项D正确，故选：BD．
11．（2021秋 鼓楼区校级期中）设10a＝2，lg3＝b，则下列四个等式中正确的是（ ）
A．lg12＝2a+b B．log615 C．10a+b＝6 D．2
【分析】由已知可得a＝lg2，10b＝3，再利用对数的运算性质逐一判断各个选项即可．
【解析】解：∵10a＝2，∴a＝lg2，∵lg3＝b，∴10b＝3，
∴lg12＝lg3+lg4＝lg3+2lg2＝b+2a，故选项A正确，
log615，故选项B错误，
10a+b＝10a 10b＝2×3＝6，故选项C正确，
2，故选项D正确，故选：ACD．
12．（2021 辽宁模拟）在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作[H+]）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作[OH﹣]）的乘积等于常数10﹣14．已知pH值的定义为pH＝﹣lg[H+]，健康人体血液的pH值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的可以为（ ）（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）
A． B． C． D．
【分析】由题设，即10﹣7.45≤[H+]≤10﹣7.35，10﹣0.9≤1014[H+]2≤10﹣0.7，结合选项，即可求解．
【解析】解：由题设，
∵10﹣7.45≤[H+]≤10﹣7.35，∴10﹣0.9≤1014[H+]2≤10﹣0.7，
∵，，，∴故，或，符合题意．
故选：CD．
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·广东高一课时练习）已知，则的值为____．
【答案】
【解析】由，得，所以，
即，所以，，所以．故答案为：
14．（2021·广西南宁·高一期末）已知函数，则___________.
【答案】8
【解析】由，则故答案为：8
15．（2021 黄浦区二模）方程2log4x+1＝3的解x＝ ．
【分析】由题意利用对数的性质，求得x的值．
【解析】解：方程2log4x+1＝3，即方程log4x＝1，∴x＝4，故答案为：4．
16．（2021 邢台开学）若m＝a×10n（1≤a＜10），则称m的数量级为n．已知金星的质量为M千克，且lgM＝23+lg48.69，则M的数量级为 ．
【分析】由lgM＝23+lg48.69＝24+lg4.869＝lg（4.869×1024），能求出M的数量级．
【解析】解：因为lgM＝23+lg48.69＝24+lg4.869＝lg（4.869×1024），
所以M＝4.869×1024，则M的数量级为24．故答案为：24．
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2021 五华区校级期中）计算下列各式的值：
（1）8（）﹣2+（）（﹣2021）0；（2）（lg2）2+lg5（lg2+1）+4log4 log32．
【分析】（1）利用有理数指数幂的运算性质求解．（2）利用对数的运算性质求解．
【解析】解：（1）原式41＝4﹣41．
（2）原式＝（lg2）2+（1﹣lg2）（1+lg2）+4（lg2）2+1﹣（lg2）2+1＝2．
18．（2021 南京期中）（1）求值：（）log25﹣log220；
（2）若4x＝9y＝6，求的值．
【分析】（1）根据指数幂和对数的运算性质即可求出；
（2）利用换底公式和指数式与对数式的转化即可求出．
【解析】解：（1）原式＝（）log25﹣log25﹣log24＝32；
（2）4x＝9y＝6，则x＝log46，y＝log96，∴log64，log69，
∴log64+log69＝log636＝2．
19．（2021秋 普陀区校级期中）（1）已知1，求的值．
（2）若lga，lgb是方程2x2﹣4x+1＝0的两个实根，求ab的值．
【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算即可；（2）根据根与系数的关系求出lga+lgb＝2，根据指数幂的运算性质求出ab的值即可．
【解析】解：（1）∵1，∴3；
（2）若lga，lgb是方程2x2﹣4x+1＝0的两个实根，
则lga+lgb＝2，则lg（ab）＝2，故ab＝100．
20．（2020秋 芙蓉区校级期中）（1）计算；
（2）解方程．
【分析】（1）利用对数的运算性质求解即可；
（2）先将方程进行变形，然后利用对数的定义以及对数相等，列出关系，求解即可．
【解析】解：（1）原式3+14+8＝25；
（2）方程可变形为，
所以，解得x＝4．
21．（2020春 黄浦区期末）（1）证明对数换底公式：（其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，N＞0）（2）已知log32＝m，试用m表示log3218．
【分析】（1）设logbN＝x，写成指数式bx＝N．两边取以a为底的对数，得xlogab＝logaN，两边可除以logab，即可证明；（2）利用对数换底公式即可得解．
【解析】解：（1）证明：设logbN＝x，写成指数式bx＝N．
两边取以a为底的对数，得xlogab＝logaN．因为b＞0，b≠1，logab≠0，
因此上式两边可除以logab，得．所以，．
（2）因为log32＝m，因此．
22．（2020 辽宁期末）地震是一种自然现象，地震的震级是震波最大振幅来确定的震级单位是“里氏”，通常用字母M表示，其计算公式为：M＝lg，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差），例如：用A8.0和A9.0分别表示震级为8.0和9.0的最大振幅．
（1）若一次地震中的最大振幅是50，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）；（2）2008年5月12日，我国汶川发生了8.0级地震；2011年3月11日在日本东北部太平洋海城发生了9.0级地震．试计算9.0级地震的最大振幅是8.0级地震的最大振幅的多少倍？（以下数据供参考：lg2≈0.3010）
【分析】（1）代入公式M＝lg即可得出．
（2）由可得，，代入M，可得：A8.0，A9.0，即可得出其比值．
【解析】解：（1）
因此，这次地震的震级约为里氏4.7级．
（2）由可得，
当M＝8.0时，地震的最大振幅为
当M＝9.0时，地震的最大振幅为
所以，两次地震的最大振幅之比是：
答：9.0级地震的最大振幅约为8.0级地震的最大振幅的10倍
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