(共27张PPT)
全章热门考点整合应用
沪科版 八年级下
第十八章 勾股定理
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下面几组数中，为勾股数的一组是( )
A．5，6，7
B．3，－4，5
C．0．5，1．2，1．3
D．20，48，52
1
D
数组3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41……都是勾股数．若奇数n为直角三角形的一直角边，用含n的代数式表示斜边和另一直角边，并写出接下来的两组勾股数．
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3
A
在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边．当a2＋b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2＋b2≠c2时，利用代数式a2＋b2和c2的大小关系，可以判断△ABC的形状．(按角分类)
(1)请你通过画图探究并判断：
①当△ABC三边长分别为6，8，9时，△ABC为________三角形；
4
画图略．
锐角
②当△ABC三边长分别为6，8，11时，△ABC为________三角形．
(2)小明同学根据上述探究，有下面的猜想：“当a2＋b2>c2时，△ABC为锐角三角形；当a2＋b2钝角
如图，长方体的底面相邻两边的长分别为1 cm和3 cm，高为6 cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要多长？如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短时，其长度的平方是多少？
5
解：将长方体的侧面展开，如图所示．
∵AA′＝1＋3＋1＋3＝8(cm)，A′B′＝6 cm，
∴AB′2＝AA′2＋A′B′2＝82＋62＝102. ∴AB′＝10 cm.
∴用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，所用细线最短需要10 cm.如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短时，其长度的平方为(8n)2＋62＝64n2＋36.
【点拨】
将长方体的侧面展开，把折线段转化为直线段，即可用勾股定理求解．
如图，有一块Rt△ABC的绿地，量得两直角边AC＝8 m，BC＝6 m．现在要将这块绿地扩充成等腰三角形ABD，且扩充部分(△ADC)是以8 m为直角边长的直角三角形，求扩充后等腰三角形ABD的周长．
(1)在图①中，当AB＝AD＝10 m时，
△ABD的周长为________m；
(2)在图②中，当BA＝BD＝10 m时，
△ABD的周长为___________m；
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(3)在图③中，当DA＝DB时，求△ABD的周长．
如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，求∠BE′C的度数．
7
解：如图，连接EE′. 由题意可知△ABE≌△CBE′，
∴CE′＝AE＝1，BE′＝BE＝2，∠ABE＝∠CBE′.
∵∠ABE＋∠EBC＝90°，
∴∠CBE′＋∠EBC＝90°.
即∠EBE′＝90°，则由勾股定理，得EE′2＝8.
在△EE′C中，CE′2＋EE′2＝1＋8＝9＝CE2.
如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC边上的中线AD＝12．求：
(1)AC的长度；
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解：∵AD是BC边上的中线，BC＝10，
∴BD＝CD＝5.
∵52＋122＝132，∴BD2＋AD2＝AB2.
∴∠ADB＝90°. ∴∠ADC＝90°.
∴AC2＝AD2＋CD2＝169. ∴AC＝13.
(2)△ABC的面积．
将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆顶到地面的高度为320 cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①所示．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h．(彩旗完全展开时的尺寸是如图②所示的长方形)
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解：彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h也就是旗杆的高度减去彩旗的对角线的长，
∵1202＋902＝22 500，
∴彩旗的对角线长为150 cm.
∴h＝320－150＝170(cm)．
答：彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h为170 cm.
如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我国海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距5 n mile的A，B两个基地前去拦截，6 min后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇的速度为40 n mile/h，乙巡逻艇的速度为30 n mile/h，且乙巡逻艇的航向为北偏西37°，求甲巡逻艇的航向．
10
解：由题意得AC＝40×(6÷60)＝4(n mile)，
BC＝30×(6÷60)＝3(n mile)．
∵AB＝5 n mile，∴AB2＝BC2＋AC2.
∴∠ACB＝90°.
∵∠CBA＝90°－37°＝53°，∴∠CAB＝37°.
答：甲巡逻艇的航向为北偏东53°.(共31张PPT)
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第十八章 勾股定理
练素养
勾股定理解题的十种常见题型
课题
集训课堂
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如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC边的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F．若AE＝4，FC＝3，求EF的长．
1
解：如图，连接BD.
∵在等腰直角三角形ABC中，点D为AC边的中点，∠ABC＝90°，∴BD⊥AC，BD平分∠ABC.
∴∠ABD＝∠CBD＝45°.
又易知∠C＝45°，∴∠ABD＝∠CBD＝∠C.
∴BD＝CD.
∵DE⊥DF，BD⊥AC，∴∠FDC＋∠BDF＝∠EDB＋∠BDF. ∴∠FDC＝∠EDB.
如图，在四边形ABFC中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＝2AB2－CD2．求证：AB＝BC．
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证明：∵CD⊥AD，
∴∠ADC＝90°，即△ADC是直角三角形．
由勾股定理得AD2＋CD2＝AC2.
又∵AD2＝2AB2－CD2，∴AD2＋CD2＝2AB2.
∴AC2＝2AB2.
∵∠ABC＝90°，∴△ABC是直角三角形．
由勾股定理得AB2＋BC2＝AC2，∴AB2＋BC2＝2AB2.
∴BC2＝AB2，即AB＝BC.
【点拨】
当已知条件中有线段的平方关系时，应选择用勾股定理说明，应用勾股定理说明两条线段相等的一般步骤：(1)找出图中说明结论所要用到的直角三角形；(2)根据勾股定理写出三边长的平方关系；(3)联系已知，等量代换，求之即可．
如图，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于点P．
求证：BP2＝BC2＋AP2．
3
证明：如图，连接BM.
∵PM⊥AB，∴△BMP和△AMP均为直角三角形．
∴BP2＋PM2＝BM2，AP2＋PM2＝AM2.
同理可得BC2＋CM2＝BM2，
∴BP2＋PM2＝BC2＋CM2.
又∵CM＝AM，∴CM2＝AM2＝AP2＋PM2.
∴BP2＋PM2＝BC2＋AP2＋PM2.
∴BP2＝BC2＋AP2.
4
如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠D＝150°，四边形ABCD的周长为32，求BC和CD的长度．
解：如图，连接BD.
∵AB＝AD，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形．
∴BD＝AB＝8，∠ABD＝∠1＝60°.
又∠1＋∠2＝150°，则∠2＝90°.
设BC＝x，则CD＝16－x，由勾股定理得x2＝82＋(16－x)2，解得x＝10.
∴BC＝10，CD＝6.
【点拨】
当已知条件比较分散且无法直接使用时，往往通过作辅助线构造特殊三角形进行计算．
如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′处．若AB＝6，BC＝9，求BF的长．
5
解：∵折叠前后两个图形的对应线段相等，∴CF＝C′F.
设BF＝x，∵BC＝9，∴CF＝9－x. ∴C′F＝9－x.
由题意得BC′＝3.
在Rt△C′BF中，根据勾股定理可得C′F2＝BF2＋C′B2，
即(9－x)2＝x2＋32，解得x＝4.
∴BF的长是4.
【点拨】
根据折叠前后，重合的图形全等，得到相等的线段、相等的角．在新增的Rt△C′BF中，利用折叠的性质，表示出各边长，列方程求解．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度移动，设运动的时间为t s．
(1)求BC边的长；
6
解：在Rt△ABC中，BC2＝AB2－AC2＝52－32＝16，∴BC＝4 cm.
(2)当△ABP为直角三角形时，借助图①求t的值；
解：由题意知BP＝t cm，
当△ABP为直角三角形时，有两种情况：
Ⅰ.如图①，当∠APB为直角时，点P与点C重合，
BP＝BC＝4 cm，则t＝4.
Ⅱ.如图②，当∠BAP为直角时，BP＝t cm，
CP＝(t－4)cm，AC＝3 cm，
(3)当△ABP为等腰三角形时，借助图②求t的值．
解：当△ABP为等腰三角形时，有三种情况：
Ⅰ.如图③，当BP＝AB时，t＝5；
Ⅱ.如图④，当AB＝AP时，BP＝2BC＝8 cm，则t＝8；
Ⅲ.如图⑤，当BP＝AP时，AP＝BP＝t cm，
CP＝|4－t|cm，AC＝3 cm，
如图，某学校(A点)到公路(直线l)的距离为300 m，到公交站(D点)的距离为500 m．现要在公路边上建一个商店(C点)，使之到学校A及公交站D的距离相等，求商店C与公交站D之间的距离．
7
解：设CD＝x m(x＞0)，则AC＝x m，作AB⊥l于点B，则AB＝300 m.
在Rt△ABD中，AD2＝AB2＋BD2，AB＝300 m，AD＝500 m，∴BD＝400 m.
∴BC＝(400－x)m.
在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2，
∴x2＝3002＋(400－x)2，解得x＝312.5.
答：商店C与公交站D之间的距离为312.5 m.
【2020·广西北部湾经济区】《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读kǔn，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图①②(图②为图①的平面示意图)，推开双门，双门间隙C，D的距离为2寸(1寸≈3．33厘米)，点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺＝10寸)，
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则AB的长是( )
A．50.5寸
B．52寸
C．101寸
D．104寸
C
如图，圆柱形玻璃容器高10 cm，底面周长为30 cm，在外侧距下底1 cm的点S处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1 cm的点F处有食物，求蚂蚁要吃到食物所走最短路线的长度．
9
如图，已知长方体的长为4 cm，宽为2 cm，高为8 cm．
一只蟑螂如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么最
短的路程是多少？
10
解：分三种情况．
情况一：如图①，
连接AB′. AB′2＝AB2＋BB′2＝100；
情况二：如图②，
连接AB′. AB′2＝AC2＋B′C2＝116；
情况三：如图③，
连接AB′. AB′2＝AD2＋B′D2＝148.
综上所述，最短的路程应为如图①所示的情况，此时AB′2＝100，
即AB′＝10 cm，故最短的路程是10 cm.(共15张PPT)
勾股定理在实际中的应用
沪科版 八年级下
第十八章 勾股定理
18.1.1
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有诗曰：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士好奇，算出索长有几．”(注：一步等于五尺，示意图如图)( )
A．12尺 B．13.5尺
C．14.5尺 D．15.5尺
1
C
【中考·长沙】我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里、12里、13里，问这块沙田的面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝500米，则该沙田的面积为( )
A．7.5平方千米 B．15平方千米
C．75平方千米 D．750平方千米
A
2
两艘海警船在某岛进行巡航．一艘以12 n mile/h的速度离开该岛向北偏西45°方向航行，另一艘同时以16 n mile/h的速度离开该岛向北偏东45°方向航行，经过1．5 h后两船相距( )
A．25 n mile B．30 n mile
C．32 n mile D．40 n mile
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B
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C
如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为( )
A．0.7米 B．1.5米
C．2.2米 D．2.4米
如图，高速公路上有相距25 km的A，B两点，C，D为两村庄，已知DA＝10 km，CB＝15 km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E的距离相等，则AE的长是( )
A．5 km
B．10 km
C．15 km
D．25 km
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C
【点拨】
设AE＝x km，则BE＝(25－x) km.由勾股定理得，在Rt△ADE中，DE2＝AD2＋AE2＝102＋x2；在Rt△BCE中，CE2＝BC2＋BE2＝152＋(25－x)2.由题意可知DE＝CE，所以102＋x2＝152＋(25－x)2，解得
x＝15.所以AE＝15 km.
如图，A，B两块试验田相距200 m，C为水源地，
AC＝160 m，BC＝120 m，为了方便灌溉，现有以下两种方案修筑水渠．
甲方案：从水源地C直接修筑两条
水渠分别到试验田A，B；
乙方案：过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到线段AB上的点H处，再从H分别向试验田A，B修筑水渠．
6
(1)请判断△ABC的形状(要求写出推理过程)；
解：∵AC2＋BC2＝1602＋1202＝40 000，AB2＝2002＝40 000，
∴AC2＋BC2＝AB2.
∴△ABC是直角三角形．
(2)两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．
【中考·河北】勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图(单位：km)．笔直铁路经过A，B两地．
(1)A，B间的距离为______km；
7
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【点拨】
由A，B两点的纵坐标相同可知AB∥x轴，
所以AB＝12－(－8)＝20(km)．
(2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为________km．
13
【点拨】
如图，过点C作l⊥AB于点E，连接AC，作AC的垂直平分线交l于点D，连接AD.
易知CE＝1－(－17)＝18(km)，AE＝12 km.
设CD＝x km，则AD＝CD＝x km.
由勾股定理得x2＝(18－x)2＋122，
解得x＝13.
所以CD＝13 km.(共17张PPT)
勾股定理
沪科版 八年级下
第十八章 勾股定理
18.1.1
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下列说法中正确的是( )
A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2＋b2＝c2
B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以a2＋b2＝c2
D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以a2＋b2＝c2
1
C
若一个直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，则下列关于a，b，c的关系式不正确的是( )
A．b2＝c2－a2
B．a2＝c2－b2
C．b2＝a2－c2
D．c2＝a2＋b2
C
2
【2021·马鞍山月考】在Rt△ABC中，∠C＝90°，且c2＝2b2，则两直角边a，b的关系是( )
A．a＞b
B．a＝b
C．a＜b
D．a＋b＝c
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B
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【中考·雅安】对角线互相垂直的四边形叫做“垂
美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AD＝2，BC＝4，则AB2＋CD2＝________．
【点拨】
∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°.
由勾股定理得AB2＋CD2＝AO2＋BO2＋CO2＋DO2，AD2＋BC2＝AO2＋DO2＋BO2＋CO2，
∴AB2＋CD2＝AD2＋BC2.
∵AD＝2，BC＝4，
∴AB2＋CD2＝22＋42＝20.
【2021·成都】如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为________．
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如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积和是( )
A．16
B．25
C．144
D．169
6
B
【点拨】
如图所示．
在Rt△ABC中，AC＝13，BC＝12，根据勾股定理，得AB2＝AC2－BC2＝132－122＝52，∴AB＝5.
∴EF＝AB＝5.
∵S正方形QEPM＝EP2，S正方形PSTF＝PF2，
在Rt△EPF中，EP2＋PF2＝EF2，
∴阴影部分的面积和是25.
一直角三角形的三边长分别为2，3，x，那么以x为边长的正方形的面积为( )
A．13
B．5
C．13或5
D．4
7
C
【点拨】
本题中斜边长不确定，故需分类讨论，
当x为斜边长时，x2＝22＋32＝13；
当3为斜边长时，x2＝32－22＝5，
故以x为边长的正方形的面积为13或5.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则a，b，c满足的关系为________________．
(1)以直角三角形的三边为边作正方形，如图①所示，你能发现S1，S2，S3之间有什么关系吗？
8
a2＋b2＝c2
解：由题意得S1＝b2，S2＝a2，S3＝c2.
∵a2＋b2＝c2，∴S1＋S2＝S3.
(2)分别以直角三角形的三边为直径作半圆，如图②所示，(1)中的结论是否仍成立？请说明理由．
(3)分别以直角三角形的三边为斜边作等腰直角三角形，如图③所示，(1)中的结论仍成立吗(直接写出结论，不需要给出理由)？
解：成立．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E，F分别为AC，BC的中点．
求证：AE2＋BF2＝EF2．
9
证明：∵点E，F分别为AC，BC的中点，
∴AE＝CE，BF＝CF.
在Rt△CEF中，∵CE2＋CF2＝EF2，
∴AE2＋BF2＝EF2.
【点拨】
线段AE，BF，EF不在同一个直角三角形中，所以不能直接利用勾股定理，但AE＝CE，BF＝CF，故可考虑利用相等线段进行转化．(共18张PPT)
验证勾股定理
沪科版 八年级下
第十八章 勾股定理
18.1.1
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【2021·山西】在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图所示的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，
1
它体现的数学思想是( )
A．统计思想
B．分类思想
C．数形结合思想
D．函数思想
C
历史上对勾股定理的一种验证方法采用了如图所示的图形，其中两个全等直角三角形的两边AE，EB在一条直线上．验证过程中用到的面积相等的关系式是( )
A．S△EDA＝S△CEB
B．S△EDA＋S△CEB＝S△CDE
C．S四边形CDAE＝S四边形CDEB
D．S△EDA＋S△CDE＋S△CEB＝S四边形ABCD
D
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【2021·岳阳】《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线长度恰好为1丈(如图)．问门高、宽各是多少？(1丈＝10尺，1尺＝10寸)如图，设门高AB为x尺，根据题意，可列方程为________________．
3
(x－6.8)2＋x2＝102
4
【2021·襄阳】我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭(jiā)生其中，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何．”(丈、尺是长度单位，1丈＝10尺)其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇
拉向水池一边的中点，它的顶端恰好
到达池边的水面(如图)，水的深度是多少？
C
则水深为( )
A．10尺
B．11尺
C．12尺
D．13尺
【点拨】
设水深为h尺，则芦苇长为(h＋1)尺．
根据勾股定理，得(h＋1)2－h2＝(10÷2)2，
解得h＝12.
所以水深为12尺．
已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长为( )
5
C
现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，
BC＝a，AB＝c，请你利用这个图形解决下列问题：
(1)求证：a2＋b2＝c2；
6
(2)如果大正方形的面积是6，小正方形的面积是2，求
(a＋b)2的值．
在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若∠C为直角，则由勾股定理可得a2＋b2＝c2．
(1)若∠C为锐角，求证：a2＋b2＞c2；
7
证明：过点A作AD⊥BC于点D，如图①所示，
则BD＝BC－CD＝a－CD.
在Rt△ABD中，AB2－BD2＝AD2.
在Rt△ACD中，AC2－CD2＝AD2，
∴AB2－BD2＝AC2－CD2，即c2－(a－CD)2＝b2－CD2，
整理，得a2＋b2＝c2＋2a·CD.
∵a＞0，CD＞0，∴a2＋b2＞c2.
(2)若∠C为钝角，试猜想a2＋b2与c2之间的数量关系，并说明理由．
解：a2＋b2＜c2.理由如下：
过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，如图②所示，则BD＝BC＋CD＝a＋CD.
在Rt△ABD中，AD2＝AB2－BD2；
在Rt△ACD中，AD2＝AC2－CD2，
∴AB2－BD2＝AC2－CD2，
即c2－(a＋CD)2＝b2－CD2，
整理，得a2＋b2＝c2－2a·CD.
∵a＞0，CD＞0，
∴a2＋b2＜c2.(共14张PPT)
勾股定理的逆定理的应用
沪科版 八年级下
第十八章 勾股定理
18.1.2
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2
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王伟准备用一段长30 m的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔．已知第一条边长为a m，由于受地势限制，第二条边长比第一条边长的2倍多2 m．
(1)请用a表示第三条边长．
1
解：第一条边长为a m，第二条边长为(2a＋2)m，
所以第三条边长为30－a－(2a＋2)＝(28－3a)(m)．
(2)问第一条边长可以为7 m吗？请说明理由，并直接写出a的取值范围．
(3)能否使得围成的小圈是直角三角形的形状，且各边长均为整数米？若能，说明你的围法；若不能，请说明理由．
解：能．可以围成一个三边长分别为5 m，12 m，13 m的直角三角形．
如图，已知在正方形ABCD中，E是BC的中点，F在AB上，且AF：FB＝3：1．
(1)请你判断EF与DE的位置关系，并说明理由；
2
(2)若此正方形的面积为16，求DF的长．
某县某中学有一块四边形空地ABCD，如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ADC＝90°，CD＝6 m，AD＝8 m，AB＝26 m， BC＝24 m．
(1)求出空地ABCD的面积；
3
(2) 若每种植1 m2草皮需要200元，问共需投入多少元？
解：96×200＝19 200(元)．
答：共需投入19 200元．
4
如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点A，B，C，D均在格点上．
(1)求四边形ABCD的面积．
(2)你能判断AD与CD的位置关系吗？请说出你的理由．
解：AD⊥CD.理由如下：
∵AD2＝12＋22＝5，CD2＝22＋42＝20，AC2＝52＝25，
∴AD2＋CD2＝AC2.
∴△ADC是直角三角形，且∠ADC＝90°，
即AD⊥CD.(共19张PPT)
勾股定理的逆定理
沪科版 八年级下
第十八章 勾股定理
18.2.1
C
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5
A
北偏东50°
6
7
8
A
答 案 呈 现
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B
D
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10
B
D
在三角形中，三边长a，b，c满足
(a－b)2＋|b－2|＋(c2－8)2＝0，则此三角形为( )
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．直角三角形
1
C
如图，每个小正方形的边长为1，则网格中的△ABC是( )
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．以上都不对
A
2
在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且(a＋b)(a－b)＝c2，则( )
A．∠A为直角
B．∠B为直角
C．∠C为直角
D．△ABC不是直角三角形
3
A
4
B
【中考·绍兴】长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形(木棒允许连接，但不允许折断)，得到的三角形的最长边长为( )
A．4
B．5
C．6
D．7
【点拨】
①三边长度分别为5，3，4，能构成三角形，且最长边长为5；
②三边长度分别为2，6，4，不能构成三角形；
③三边长度分别为2，7，3，不能构成三角形；
④三边长度分别为3，3，6，不能构成三角形．
综上所述，得到的三角形的最长边长为5.
【2021·玉林】如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿____________方向航行．
5
北偏东50°
【点拨】
由题意可知，AP＝12，BP＝16，AB＝20，
∠APN＝40°.
∵122＋162＝202，
∴△APB是直角三角形，且∠APB＝90°.
∴∠BPN＝90°－∠APN＝90°－40°＝50°，
即乙船沿北偏东50°方向航行．
下面几组数中，为勾股数的一组是( )
A．4，5，6
B．12，16，20
C．－10，24，26
D．2．4，4．5，5．1
6
B
下列几组数：①9，12，15；
②8，15，17；
③7，24，25；
④n2－1，2n，n2＋1(n是大于1的整数)．
其中是勾股数的有( )
A．1组 B．2组
C．3组 D．4组
7
D
下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的一组是( )
A．a＝3，b＝4，c＝5
B．a＝1.5，b＝2，c＝2.5
D．a＝6，b＝7，c＝8
8
D
【点拨】
在判断勾股数时，不只要验证勾股定理，还要注意勾股数是正整数这一条件；而判断以某三个数为边长能否构成直角三角形时，只需将所给数据分别平方，再看结果是否满足勾股定理的形式即可．
【中考·河北】已知：整式A＝(n2－1)2＋(2n)2，整式B>0．
尝试 化简整式A．
发现 A＝B2，求整式B．
联想 由上可知，B2＝(n2－1)2＋(2n)2，当n>1时，
n2－1，2n，B为直角三角形的三边长，如图所示，填写下表中B的值．
9
解：尝试 A＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1＝(n2＋1)2.
发现 因为A＝B2，B>0，
所以B＝n2＋1.
联想 17；37
在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，点P为△ABC内一点，将CP绕点C顺时针旋转α得到CD，连接AD．
(1)如图①，当α＝60°，PA＝10，PB＝6，PC＝8时，求∠BPC的度数；
10
解：如图①，连接DP.
由题意可知CD＝CP，∠PCD＝60°，
∴△DCP是等边三角形．
∴DP＝DC＝PC＝8，∠POC＝60°.
易得△CPB≌△CDA，∴∠BPC＝∠ADC，AD＝BP＝6.
∴AD2＋DP2＝AP2. ∴∠ADP＝90°.
∴∠ADC＝150°. ∴∠BPC＝150°.
(2)如图②，当α＝90°，PA＝3，PB＝1，PC＝2时，求∠BPC的度数．
解：如图②，连接DP，易得△DCP为等腰直角三角形，∴∠CDP＝45°. 易得△CPB≌△CDA，
∴∠BPC＝∠ADC，AD＝BP＝1.
∴AD2＋DP2＝AD2＋(CD2＋CP2)＝9.
∵AP2＝9，∴AD2＋DP2＝AP2.
∴∠ADP＝90°. ∴∠ADC＝135°. ∴∠BPC＝135°.(共30张PPT)
沪科版 八年级下
第十八章 勾股定理
测素质
勾股定理及其应用
课题
集训课堂
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答 案 呈 现
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10dm
答 案 呈 现
下列各组线段中，不能够组成直角三角形的是( )
A．6，8，10
B．3，4，5
C．4，5，6
D．5，12，13
1
C
若△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)(a2＋b2－c2)＝0，则△ABC是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰三角形或直角三角形
D
2
【2021·扬州】如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
3
B
4
C
如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝9，BC＝4，则正方形ABDE的面积为( )
A．18
B．36
C．65
D．72
【2021·自贡】如图，A(8，0)，C(－2，0)，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为( )
A．(0，5)
B．(5，0)
C．(6，0)
D．(0，6)
5
D
如图，把长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm至点D，则橡皮筋被拉长了( )
A．2 cm
B．3 cm
C．4 cm
D．5 cm
6
A
如图，在长方形ABCD中，AB＝3 cm，AD＝9 cm，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则△ABE的面积为( )
A．3 cm2
B．4 cm2
C．6 cm2
D．12 cm2
7
C
【2021·烟台】由12个有公共顶点O的直角三角形拼成的图形如图所示，∠AOB＝∠BOC＝…＝∠LOM＝30°，若OA＝16，则OG的长为( )
8
A
请你任意写出两组勾股数：______________________________________．
9
3，4，5；6，8，10(答案不唯一)
在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则
AB2＋AC2＋BC2＝________．
10
50
【中考·辽阳】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，分别以点A和B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AC于点E，连接BE，若CE＝3，则BE的长为________．
11
5
如图，在离水面高度为8 m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17 m，此人以每秒1 m的速度收绳，7 s后船移动到点D的位置，则船向岸边移动了________m(假设绳子是直的)．
12
9
13
如图，圆柱底面的周长为6 dm，圆柱高为4 dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的长度最小为________．
14
10 dm
(7分)如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°，求∠DAB的度数．
15
解：如图，连接AC.
∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，
∴AC2＝AB2＋BC2＝8，∠BAC＝45°.
又∵CD＝3，DA＝1，
∴AC2＋DA2＝8＋1＝9，CD2＝9.
∴AC2＋DA2＝CD2.
∴△ACD是直角三角形，且∠CAD＝90°.
∴∠DAB＝45°＋90°＝135°.
16
(10分)如图，已知等腰三角形ABC的底边BC的长为10，D是AC上的一点，其中BD＝8，CD＝6．
(1)求证：BD⊥AC；
证明：∵BC＝10，BD＝8，CD＝6，
∴BD2＋CD2＝82＋62＝102＝BC2.
∴△BDC是直角三角形，且∠BDC＝90°，即BD⊥AC.
(2)求AB的长．
(7分)如图，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开与旗杆底部相距5米时，发现绳子下端刚好接触地面，求旗杆的高度．
17
解：设旗杆的高度为x米，由题意知绳子的长度为(x＋1)米．
由勾股定理列方程x2＋52＝(x＋1)2，
解得x＝12.
答：旗杆的高度为12米．
(10分)一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法．如图①，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AEFG的位置，连接CF，AB＝a，BC＝b，AC＝c．
(1)请你结合图②用文字和符号语言分别叙述勾股定理；
18
解：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，则有a2＋b2＝c2.
(2)请利用直角梯形BCFG的面积证明勾股定理：a2＋b2＝c2．
(10分)定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
(1)若AM＝1.5，MN＝2.5，BN＝2，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
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解：点M，N是线段AB的勾股分割点．
理由：∵AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，
MN2＝2.52＝6.25，
∴AM2＋BN2＝MN2.
∴以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形．
∴点M，N是线段AB的勾股分割点．
(2)已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝24，AM＝6，求BN的长．
解：设BN＝x，则MN＝24－AM－BN＝18－x，分两种情况进行讨论：
①当MN为最长线段时，依题意，得MN2＝AM2＋NB2，即(18－x)2＝x2＋36，解得x＝8；
②当BN为最长线段时，依题意，得BN2＝AM2＋MN2，即x2＝36＋(18－x)2，解得x＝10.
综上所述，BN的长为8或10.
